计算方法第五讲2

1、 5.3 复化求积公式复化求积公式 , a b当积分区间的长度较大时，(1) 如果使用低阶的Newton-Cotes公式，误差将会较大；所谓复化求积法，就是所谓复化求积法，就是(3) 最后将每个小区间上的积分的近似值相加。为了提高公式的精度为了提高公式的精度,又使算法简单易行又使算法简单易行,往往使用往往使用复化求积法复化求积法.一、问题一、问题(1) 首先把整个积分区间分成若干个子区间（通常采用等分) ；(2) 然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式;(2) 如果使用高阶的Newton-Cotes公式，则系数复杂， 且公式的稳定性和收敛性也不能保证。二、复化求积公式二、复化求

2、积公式等份分割为的积分区间将定积分nbadxxfba,)(nkkhaxk, 1 ,0,nabh各节点为1,(0,1,1)Newton-Coteskkxxkn在子区间上使用公式badxxfI)(101)(nkxxkkdxxf1011)()(2nkkkkkxfxfxx101)()(2nkkkxfxfh bfxfafhnkk11)(22nT复化梯形公式复化梯形公式复化辛普森公式复化辛普森公式110( )kknxxkIf x dx12110()4 ()()6nkkkkhf xf xf x 1211014()2()6nnkkkkhf af xf xf bnS110( )kknxxkIf x dx1123

3、104447 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90nkkkkkkhf xf xf xf xf x1234441101h7 ( )32 () 12 ()32 () 14()7 ( )90nnkkkkkkf af xf xf xf xf b复化柯特斯公式复化柯特斯公式121 ,2kkxxh记4 12 3 ,4ikkixxhi记（， ， ）nC三、复化求积公式的截断误差三、复化求积公式的截断误差我们上一节知道，三个求积公式的截断误差分别为)(TR)(12)(3fab )(SR5(4)( )2880baf )(CR7(6)8()( )9454baf 单纯的求积公式单纯的求积公式复化求积公式在

4、每个小区间复化求积公式在每个小区间3()12khf 5(4)()2880khf 7(6)8()945 4khf 复化梯形公式的截断误差复化梯形公式的截断误差 )(12103 nkkfh1.( ) , ,fxa b设函数在连续 则nTI 103)(12nkkfh)(max)()(min10 xfnfxfbxankkbxa 由于使得由介值定理,ba)()(10fnfnkk nTI 103)(12nkknfnh)(123fnh 即有2()( )12bah f ()nR T复化复化simpson公式的截断误差公式的截断误差51(4)0()2880nkkhf4( ) , fxa b（ ）若函数在上连续，

5、则nSI 4(4)( )2880bah f 复化复化cotes公式的截断误差公式的截断误差71(6)08()9454nkkhf(6)( ) , fxa b若函数在上连续，则nCI )(4945)(2)6(6fhab()nR S()nR C()nnR TIT()nnR SIS()nnR CIC比较三种复化公式的的余项,( ),bnnnanT S CIf x dx 即当时，都收敛于而且收敛速度一个比一个快。阶无穷小量，的分别是642h)(2ho)(4ho)(6ho4(4)( )2880bah f )(4945)(2)6(6fhab2()( )12bah f 例例12123ln10 xdx要用复化梯

6、形公式计算 的值，要求误差不超过，则要将区间分成多少份？ xxfln3解解: xxf13 2 13xxf 212maxxMfx=3221131012nR Tn 252n55n 取 ，即将区间分成 份即可。 2()( )12nbaR Th f 例例2106sin1102xIdxx使用各种复化求积公式计算定积分，要求按复化辛普森公式计算时误差不超过。解解:0sinlim1xxx首先，由于，所以该积分不是广义积分。sin( )4xf xxM其次，为了满足精度要求，需要求函数=的 阶导数，并估计其最大值。为此将函数变为如下形式：10sin( )cosxf xtxdtx=10( )sinfxttxdt

7、120( )cosfxttxdt 1( )20( )coskkkfxttxdt1( )201( )cos1kkkfxttxdtk于是有 41( )5fxM （ ）取的一个上界。642 101n138.9, n 428805则只要取 即 = 即可。4(4)()( )2880nbaR Sh f 各节点的值如下面表格各节点的值如下表)(iixfx 0 10.125 0.99739780.25 0.98961580.375 0.97672670.5 0.95885100.625 0.93615560.75 0.90885160.875 0.8771925 1 0.8414709012345678Tra

8、pzxxxxxxxxx01021112212231324Simp.xxxxxxxxx010410230411141123142C o te sxxxxxxxxx8T )1()(2)0(16171kkfxff分别由复化梯形、复化辛普森。复化柯特斯公式有0.94569084S)1()(2)(4)0(241313021fxfxffkkkk0.94608322C112304441117 (0)32 () 12 ()32 ()180 14()7 (1)kkkkkkff xf xf xf xf0.94608308T0.94569084S0.94608322C0.9460830原积分的精确值为10sindx

9、xxI671839460830703. 0精度最高精度最高精度次高精度次高精度最低精度最低三个公式的结果比较三个公式的结果比较三种方法的工作量基本相同。收敛速度一个比一个快。实际应用时，较多地应用辛普森公式。四、自动选取积分步长四、自动选取积分步长(1) 高阶导数的估计往往是很困难的；“事后估计法事后估计法”的基本思想是的基本思想是(2) 利用前后两次的计算结果来判断误差是否满足精度要求， 从而确定n.为了改正上述缺点，实际常采用为了改正上述缺点，实际常采用“事后估计法事后估计法”事前确定步长的问题事前确定步长的问题(1) 求数值积分时，将区间逐次分半；下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次

10、减半求积法下面以复化梯形公式为例来介绍这种步长逐次减半求积法(2) 这种估计往往是很保守的，得到的n往往偏大。将区间a,b n等分，步长 ，复化梯形公式为11 ( )2()( ),2nnkkhTf af xf bbahn再将步长减半，增加新分点 ， 公式变为12112kkkxxx1211210 ( )2()2()( ),4nnnkkkkhTf af xf xf b12101(),22nnkkhTf x如何根据如何根据T Tn n和和T T2n2n来确定误差是否满足要求？来确定误差是否满足要求？nTI 2()( )12bah f nTI22( )( )122ba hf nnTITI241则有nn

11、TITI244)(3122nnnTTTI即222211()()34 1nnnnnnITTTTTT如果二阶导数在区间a,b上变化不大2221(), 3()3=nnnnnTTTTI T实际计算时，给定误差 ，若即，则停止计算，取；4nT否则，区间继续减半计算，并检验误差。为的近似值的截断误差约作为ISn22221()41nnnISSS为的近似值的截断误差约作为ICn22231()41nnnICCC类似地可以推得类似地可以推得例例3160sin1102xIdxx使用复化梯形公式和步长逐次减半法计算，要求误差不超过。解解:计算结果见下表2n T2n|T2n-Tn|2n T2n|T2n-Tn|10.92

12、07355 320.94605860.000073620.93979330.0190578 640.94607690.000018340.94451350.0047202128 0.94608150.000004680.94569090.0011774256 0.94608270.0000012160.94598500.0002941512 0.94608300.0000003 4.3 龙贝格龙贝格 （Romberg）算算法法 一、问题一、问题复化梯形公式简单，但计算精度较差有没有办法改善复化梯形公式的精度呢?由上节关于复化梯形公式的误差公式)(3122nnnTTTI222141333nnnn

13、nITTTTT可得此式可视作用误差对 作一种补偿，可以提高精度。2nT11 ( )2()( ),2nnkkhTf af xf b对上式进行计算1211210 ( )2()2()( ),4nnnkkkkhTf af xf xf b12101(),22nnkkhTf x24133nnTT1210221()333nnnkkThf xT1211102 ( )2()( )()63nnkkkkhf af xf bf x121110 ( )2()4()( )6nnkkkkhf af xf xf bnS为了便于记忆，将上式写成2414 14 1nnnSTT梯形加速公式梯形加速公式类似地可以推得22224141

14、41nnnCSS抛物线加速公式抛物线加速公式3233414141nnnRCC龙贝格求积公式龙贝格求积公式说明说明（1）根据上述公式，可以由序列）根据上述公式，可以由序列 求得序列求得序列 ， ， 。（2）上述将变步长的梯形法得到的积分值加工成精度）上述将变步长的梯形法得到的积分值加工成精度 较高的积分值的求积方法称为龙贝格求积算法。较高的积分值的求积方法称为龙贝格求积算法。2kT2kC2kS2kR（3）利用两个系数）利用两个系数 可以构造出新的求积公式，可以构造出新的求积公式， 但当但当m=4时，计算结果差别不大，但增加了计算量，时，计算结果差别不大，但增加了计算量， 故一般不用。故一般不用。

15、414141mmm与例例1106sinRomberg1102xIdxx下面使用算法计算，要求误差不超过。解解:计算结果见下表kT2kS2kC2kR2k00.92073550.94614590.94608300.946083110.93979330.94608690.94608310.946083020.94451350.94608340.946083030.94569090.946083040.9459850这里只用了 就得到了精度较高的 ，效果显著。124816TTTTT， ， ， ，2R 二、龙贝格求积公式的计算步骤二、龙贝格求积公式的计算步骤11( )( )f af bT（ ）计算，按梯

16、形公式计算 。2212 , ()a ba bfTS（ ）将区间对半分，计算和 ，进而 计算 。4213TSC（ ）将区间再对半分，计算 ，进而计算 ， 。84214TSCR（ ）将区间再对半分，计算 ，进而计算 ， 。1116842222541010.kkkmmTSCRRRR（ ）将区间再对半分，重复第 步过程，计算， 进而计算 ， 。反复进行此过程，直到 满足精度为止。此时，取 为积分近似值，精度达到例例21204Romberg1Idxx用算法计算积分，解解:按照上述步骤计算：241( )0,1,(0)4(1)21f xabffx（），11 (0)(1)32Tff211161112( )( )3.125222fTTf（ ），121413.1333333STT421311133( )( )( )( )442444 3.13118ffTTff（ ）算出，1211613.142121515CSS242413.1415733STT8413574( )( )( )( )8888111357( )( )( )( )3fffTTffff（ ）算出， 484413.1415933STT24216