利润最大化与二次函数

1、利润最大化与二次函数二次函数在市场经济的今天，用途特别广泛。禾I润最大问题，就是一个典型。下面就举例说明。1、住宿问题某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200元时，房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出 20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.求：(1)房间每天的入住量 y (间)关于x (元)的函数关系式.(2)该宾馆每天的房间收费 z (元)关于X (元)的函数关系式.(3)该宾馆客房部每天的利润 w (元)关于x (元)的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时， w有最大值？

2、最大值是多少？ (2008年贵阳市)分析：因为，每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，现在增加x元，折合-x个10元，所以，有Jx个房间空闲；1010空房间数+入住房间数=60,这样第一问就解决了；房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了；在解答第三问时，关键是理解禾IJ润的意义，利润=每天的房间收费数-每个房间每天支出的各种费用。解：x(1)房间每天的入住量 y (间)关于x (兀)的函数关系式是： y=60-,10x(2)宾馆每天的房间收费 z (兀)关于x (兀)的函数关系式是： z= (200+x) (60-A),10(3)宾馆客房部每

3、天的利润 w (元)关于x (元)的函数关系式是：W= (200+x) (60- - ) -20 (60),10101 O整理，得：W=- x2 +42x+1080010=- (x2-420x) +1080010=(x-210 ) 2+15210,10因为，a= < 0,所以，函数有最大值，10并且，当x=210时，函数 W有最大值，最大值为 15210,当每个房间的定价为每天 410元时，w有最大值，最大值是 15210元。2、投资问题例2、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润yi与投资量x

4、成正比例关系，如图12-所示；种植花卉的利润 y2与投资量X成二次函数关系，如图12-图12所示(注：利润与投资量的单位：万元)(1)分别求出利润yi与y2关于投资量x的函数关系式;(2)如果这位专业户以 8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取 的最大利润是多少？ ( 2008年?南宁市)分析：根据图像和题意知道 y1是x的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(1,2),这样就可以求出正比例函数的解析式；2仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如y=ax的形式。解：(1)因为，y1是x的正比例函数，设，y1=kx,因为，图像经过点

5、P(1, 2),所以，2=k,所以，利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x, x>0；2因为，y2是x的二次函数，设，y2=ax ,因为，图像经过点 Q(2, 2),所以，2=4a,1所以，a=一,2所以，利润y2关于投资量x的函数关系式是y2=1 x2 , x>0；2(2)这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x万元，他获得的利润是：y=yi+ y2= x +2 X ( 8-x ) = x -2x+1622=-(x-2 ) 2+14, 2一. 1 ，一，一，一因为，a=- >0,所以，函数有最小值，2并且，当x=2万元时，函数y有最小值，最小值为 14

6、万元；因为，对称轴是 x=2,当0WxW2时，y随x的增大而减小，所以，当x=0时，y有最大值，且为 y= (x-2) +14=16,2当2v xW 8时，y随x的增大而增大，当x=8时，y有最大值，且为 y=1 (x-2) 2+14=32,2所以，当x=8万元时，获得的利润最大，并且为 32万元。因此，这位专业户以 8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得14万元利润；他能获取的最大利润是32万元。3、存放问题例3、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌

7、时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有 3千克的野生菌损坏不能出售.(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式.(2)若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式.(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？(利润=销售总额一收购成本一各种费用)(08凉山州)分析：因为，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元，所以，x天就应该上涨xx 1=x元；市场价格30元+上涨价=x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，这样第一问就解决了；销售总额为P元

8、应该等于野生菌的价格乘以数量，这样第二问的等量关系也找到了； 在解答第三问时，关键是理解禾I润的意义，利润=销售总额-损坏的野生菌的费用。解：(1)由题意得y与x之间的函数关系式是：y x 30 (1 & x&160,且x整数)；由题意得P与x之间的函数关系式是：P (x 30)(1000 3x)3x2 910x 30000;(3)由题意得：一 2 一-W ( 3x910x 30000) 30 1000 310x3(x 100)2 30000因为，a=-3<0,所以，函数有最大值，并且，当x=100时，函数 W有最大值，最大值为 30000,所以，当100时，W最大300

9、00,因为，100天160天，所以，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元.4、定价问题例4、为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为 20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量w (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系：w= 2x+ 80.设这种产品每天的销售利润为y(元). 求y与x之间的函数关系式 .(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要

10、每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？ (2008恩施自治州)分析：利润=价格x销售数量，这是问题解答的关键。解：(1) y = (x 20) ? w=(x 20)( -2x+ 80) =-2x2+ 120x- 1600, 所以，y与x的函数关系式为： y= 2x2+ 120x 1600.因为，y=- 2x2+ 120x- 1600=-2 (x -30) 2+200,因为，a=-2<0,所以，函数有最大值，并且，当x=30时，函数y有最大值，最大值为 200,所以，当x=30时，y有最大值200.因此，当销售价定为 30元/千克时，每天可获最大销售利润 200元. 当 y= 1

11、50 时，可得方程一2 (x -30 ) 2 +200=150.解这个方程，得 x 1 = 25, x2= 35.根据题意，x2= 35不合题意，应舍去.所以，当销售价定为 25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元.5、补贴问题例5、某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口.为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴， 规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元.经调查，种植亩数y(亩)与补贴数额 x (元)之间大致满足如图1所示的一次函数关系.随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z (元)会相应降低，且 z与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系.（ 1 ）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益 z与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w （元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值.（2008 年泰安市） 市）分析：惠农政策是国家的基本政策，能进入中考，是对国家政策的正面宣传。解：1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000 800 2400000（元）；（2）由题意可设y与x的函数关系为y kx 800将 （50，1200） 代入上式得1200 5