半角模型专题专练

1、v1.0可编辑可修改半角模型例题F,且/ EAF= 45已知，正方形ABCDK / EAF两边分别交线段BC DC于点E、结论 1: BE+ DF= EF结论 2 ： SAABIE+ S ADF= SA AEF结论3: A+ AD结论4: zCEF的周长=2倍的正方形边长=2AB结论5:当BE= DF时，CEF勺面积最小结论 6: bM+ dN=mN结论7:三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8: EA FA是4CEF的外角平分线结论9:四点共圆 结论10: ANEW人乂笈等腰直角三角形（可通过共圆得到）结论11: MN= EF （可由相似得到） 结论12: SAAEF= 2SAAMN（

2、可由相似的性质得至U）结论5的证明：设正方形ABCD勺边长为1则 &aef= 1 -S1-S2- S3=1 ；x ：y ；（1 x）（1 y）=；-；xy所以当x = y时， AEF的面积最小结论6的证明:14将AADN顺时针旋转90使AD与AB重合 .DN BN易证 AM降AAMN.MN= MN在RtBMN中，由勾股定理可得:BM+ BN 2= MN2即 bM+ dN = mN结论7的所有相似三角形： AMN ADFNAMN ABMEAMN ABAN AMN ADMAAMN AAFE结论8的证明:因为 AMN AAFE ./3=/2因为 AMN ABAN /3=/4；/2=/4因为AB/ C

3、D / 1 = / 4 / 1 = / 2结论9的证明：因为/ EAN= / EB* 45A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C、E、N、F四点共圆A M F、D四点共圆C、E M F四点共圆*必会结论 图形研究正方形半角模型已知：正方形 ABCD , E、F分别在边 BC、CD上，且EAF 45 , AE、AF 分别交 BD 于 H、G ,连 EF .、全等关系(1)求证： DF BE EF ;DG+ BH= HG； AE平分 BEF , 二、相似关系(2)求证： CE V2DG ; CF 亚BH ; EF 2HG .BE DF 1(3)求证： AB2 BG DH ;

4、AG2 BG HG ;阱匕-.CE CF 2 三、垂直关系(4)求证： AG EG; AH FH ; tan HCF 幽.BE(5)、和差关系求证： BG DG 后BE ; AD DF V2DH ;AF平分 DFE . | BE DF | . 2 | BH DG |.例1、在正方形 ABCD,已知/ MAN 45 ,若 M N分别在边CB DC的延长线上移动， .试探究线段MN BM、DNfc间的数量关系. .求证：AB=AH.例 2、在四边形 ABCD, /B+/ D= 180 , AB=AD 若 E、F 分另U 在边BC CD上，且满足EF=BE +DF.求证：/ EA已g/BAD例 3、

5、在 ABC中，AB=AC /BAC=Z DAE=120 ,若 BD=5CE=8求DE的长。例4、请阅读下列材料： 已知：如图1在Rt ABC中，BAC 90 , AB AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若 DAE 45 .探 究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把 AEC绕点A顺时针旋转90 ,得到ABE ,连结ED ,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条件不变，中探 究的结论是否发生改变请说明你的

6、猜想并给予证明.例5、探究：(1)如图1,在正方形 ABCDfr, E、F分别是BC CD上的点，且/ EA已45 ,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：;(2)如图2,若把 问中的条件变为“在四边形 ABCm，AB= AD / B+ / D= 180 , E、F分别是边BC CD上的点,且/ EAF=1/BAD ,则(1)问中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明，2若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将 AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC CD长线上时,如图3所示，其它条彳不变，则(1)问中的结论是否发生变化若变化，请给出结论并予以证明练习巩

7、固1:如图，在四边形 ABCDfr, / B= / D= 90 在边BC CD上的点，且/ EA已;/BAD . 求证：EF=BE +DF.练习巩固2:如图，在五边形 ABCD中，AB= BC= CE DE= EA, /CAD=：/BAE 求 / BAE的度数练习巩固3: 已知：正方形ABCD中，MAN 45,绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB DC (或它们的延 长线)于点M N.(1)如图1,当 MAN绕点A旋转到BM DN时，有BM DN MN .当 MAN 绕点A旋转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当 MAN绕点

8、A旋转到如图3的位置时，线段BM, DN和MN之间有怎样的等量关系请写出你的猜想，并证明.练习巩固4(1)如图，在四边形 ABCm,AB= AD /B= /D= 90 , E、F分别是边BC CD上的点，且/ EA已BAD求证：EF BE FD ；(2)如图在四边形 ABCm，AB= AD Z B+ / D= 180 , E、F分别是边BC CD上的点，且/ EA已;/BAD (1)中的结论是否仍然成立不用 证明.(3)如图，在四边形 ABCm,AB= AD, Z B+ /ADO 180 , E、F 分 别是边BG CD延长线上的点，且/ EA已;/BAD (1)中的结论是否仍 然成立若成立，

9、请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并 证明.(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCDS EF折叠(点E、F 分别在边AB CD上),使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处, MNf CD交于点P,连接EP.(1)如图，若M为AD边的中点，4人的勺周长=cm；DFC求证：EP= AE+ DP;(2)随着落点M在AD4上取遍所有的位置(点 PDM勺周长是否发生变化请说明理由.M不与A、D重合)，(5).如图17,正方形ABCD E、F分别为BC CD4上一点.(1)若 / EAF= 45o .求证：EF= BE+ DF.(2)若4AEF绕A点旋转，保持/ EAF= 45o ,问，CEF勺周长是否随AEF位置的变化而变化(3)已知正方形 ABCD勺边长为1,如果，CEF的周长为2.求/ EAF的度数.练习巩固5、如图，已知在正方形 ABCDfr,MAN 45 ,连接求证：(1) MN= MB+ DN(2)点A到MN勺距离等于正方形的边长；(3) &CMN勺周长等于正方形 A