天津市2013届高三数学总复习之综合专题：圆锥曲线理教师版

1、圆锥曲线（理）考查内容：本小题主要考查圆锥曲线的标准方程及其简单的几何性质，直线的方 程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数 形结合的思想，考查运算和推理能力。1、长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，点在线段上，且为常数且。（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹类型；（2）当时，已知直线与原点的距离为，且直线与轨迹有公共点，求直线的斜率的取值范围。解：（1）设、，则，由此及，得，即；当时，方程的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆；当时，方程的轨迹是焦点为，长轴长为的椭圆；当时，方程的轨迹是焦点为以点为圆心，为半径的圆。（2）设直线的方程：，据题意有，即。由，得，因为直线与椭圆有

2、公共点，所以，又把代入上式得：。2、已知椭圆经过点，两个焦点为。（1）求椭圆的方程； （2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。解：（1）由题意，可设椭圆方程为，在椭圆上，解得，（舍）椭圆的方程为。（2）设的方程为：，代入得：，设，点在椭圆上，又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式以代，可得直线的斜率，即直线的斜率为定值。3、设、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。解：（1）依题易知，所以，设，则因为，故当，

3、即点为椭圆短轴端点时，有最小值2当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1。（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或；又，即，；故有或。4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴的端点和焦点所组成的四边形是正方形，且两准线间的距离为4。（1）求该椭圆的方程；（2）若直线过点，且与椭圆交于不同的两点，当面积取得最大值时，求该直线的方程，并求出面积的最大值。5、已知椭圆方程为，斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点。（1）求实数的取值范围；（2）求面积的最大值。解：（1）设直线的方程为，由可得。设，则，可得，设线段中点为，则点的

4、坐标为，由题意有，可得。可得，又，所以。 （2）设椭圆上焦点为，则所以的面积为，；设，则，可知在区间单调递增，在区间单调递减。所以，当时，有最大值。所以，当时，的面积有最大值。6、已知椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两准线间的距离为。（1）求椭圆的方程；（2）若存在过点的直线，使点关于直线的对称点在椭圆上，求的取值范围。解：（1）设椭圆的方程为由条件知且所以故椭圆的方程是。（2）依题意， 直线的斜率存在且不为0，记为，则直线的方程是设点关于直线的对称点为则解得，因为点在椭圆上，所以即设则因为，所以，于是，当且仅当上述方程存在正实根，即直线存在，解得所以，即的取值范围是。7、设椭圆，过点，且左焦

5、点为。（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时，在线段上取点，满足。证明：点总在某定直线上。解析：本题主要考查直线、椭圆的方程及几何性质、线段的定比分点公式等基础知识、基本方法和分析问题、解决问题的能力。解：（1）依题：解得，所求椭圆方程为。（2）设点，由题设知均不为零，记，则且。又四点共线，从而。于是，。从而.；. 又点在椭圆上，即，并结合，得，即点总在定直线上。8、椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程。（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明。解：（

6、1）椭圆的方程为，离心率（2）解：由（1）可得设直线的方程为由方程组，得依题意得设则.，.由直线的方程得于是.由得从而所以直线的方程为或（3）证明：。由已知得方程组，注意，解得，因为，故。而，所以。9、已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是。（1）求双曲线的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围。解：（1）设双曲线的方程为，由题设得解得，所以双曲线的方程为；（2）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将式代入式，得，整理得，此方程有两个不等实根，于是，且，整理得.由根与系数的关系可知线段的中点坐

7、标满足，从而线段的垂直平分线的方程为，此直线与轴，轴的交点坐标分别为，由题设可得，整理得，将上式代入式得，整理得，解得或，所以的取值范围是。10、在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点，已知为等腰三角形。（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程。11、已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值。解：（1）椭圆的方程为。12、已知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的

8、斜率；（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点，在的外接圆上，求的值。解：（1）依题意，整理，得，故离心率；（2）由（1）得，所以椭圆的方程可写为设直线的方程为，即由已知设，则它们的坐标满足方程组消去整理，得，依题意，而.，. 由题设知，点为线段的中点，所以.联立解得，将代入中，解得；（3）由（2）可知当时，得，由已知得线段的垂直平分线的方程为，由题可知，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为；直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由解得，故，当时，同理可得。13、设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一点，原点到直线的距离为。（1）证明；（2）设为椭圆上的两个动点，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程。（1）证明：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有，即，得从而得到，直线的方程为，整理得，由题设，原点到直线的距离为即，将代入上式并化简得即（