九章算数方田

1、九章算术 第一章 方田 方田：中国古代称正方形及矩形为方田方田 “方田方田者，田之正也。诸田不等，以方为正，故曰方田方田。” 第一章“方田”： 主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。 1、今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。解读：现有一块田，宽十五步，长十六步。问这块田的面积是多少？答：一亩数学表达式：1516/240=1（亩） 2、又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？ 答曰：一百六十八步。 方田術曰：廣從步數相乘得積

2、步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。 解读：有一块田，宽十二步，长十四步。问这块田的面积是多少？ 答：一百六十八步 数学表达式：1214=168（步） 广：宽 从：长 亩法：平方步化为亩时所用的除数240 术曰：廣從步數相乘得積步 刘徽对此注曰：“此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂 ”这里刘徽为了行文方便，先说结论，然后说大前提（幂的定义），而把九章算术的术文作为小前提。这里体现了刘徽思想中的演绎法（从普遍性结论或推导出个别性结论的论证方法）。 3、今有田廣一里，從一里。問為田幾何？ 答曰：三頃七十五畝。 解读：现有方田，宽一里，长一里。问这块田的面积是多少？ 答：三顷七十五亩 方田术语：

3、里法三百步 数学表达式：1 * 1 * 300 * 300 / 240 = 375 (亩)，即三顷七十五亩 4、又有田廣二里，從三里。問為田幾何？ 答曰：二十二頃五十畝。 里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。 解读： 又有一方田，宽两里，长三里。问此块田的面积是？ 答：二十二顷五十亩 里田计算方法：长宽里数相乘得积里。以三百七十五乘之，即亩数。 数学表达式：2 * 3 *375 = 2250（里积），即二十二顷五十亩。 田里：计算边长以里为单位的田地面积单位 积里：边长以里为单位的面积的平方数。 5、今有十八分之十二。問約之得幾何？ 答曰：三分之二。 解读： 现有十八分之十

4、二，问约分后等于多少？ 答：三分之二 数学表达式： 12/18 = 2/3 6、又有九十一分之四十九。問約之得幾何？ 答曰：十三分之七。 約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。 解读： 又有九十一分之四十九，问约分后等于多少？ 答：十三分之七 约分法：即先进行观察，如果分数的分子、分母有2的倍数，则可先在分子、分母中同约去2；然后再用分子、分母中较大的减去较小的，所得的差与上一步骤中的减数比较大小，并再从较大的数中减去较小的数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，该等数即为所求分子与分母的最大公约数，只需将分子分母同除以这个数，

5、即可将原来的分数化为最简分数。 7、今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？ 答曰：十五分之十一。 解读： 现有三分之一和五分之二，问两数相加等于多少？ 答：十五分之十一。 数学表达式：1/3 + 2/5 = 11/15 8、又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？ 答曰：得一、六十三分之五十。 解读： 又有三分之二、七分之四和九分之五，问这三个数相加等于多少？ 答：一又六十三分之五十。 数学表达式：2/3 + 4/7 + 5/9 = 1+50/63 9、又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？ 答曰：得二、六十分之四十三。 合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實

6、如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。 解读： 又有二分之一、三分之二、四分之三和五分之四，问这四个数相加等于多少？ 答：二又六十分之四十三。 合分法：两分数的分母和分子互乘，取它们的和作为分子，两分母相乘作为分母，分子分母相等时为一。 10、今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？ 答曰：四十五分之三十一。 解读: 现有九分之八，减去五分之一，问剩下多少？ 答：四十五分之三十一 数学表达式：8 /9 - 1/5 = 31/45 11、又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？ 答曰：十二分之五。 減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。 解读： 又有四分之三，减去

7、三分之一，问剩下多少？ 答：十二分之五 减分法：两分数分子与分母互乘，用较大者减去较小者的差作为分子，两分母相乘之积作为分母，分子等于分母时，值为一。 12、今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？ 答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。 解读： 现有八分之五，二十五分之十六，问哪个数大？大多少？ 答：二十五分之十六大，大二百分之三 数学表达式：5/8 6/7, 8/9 - 6/7 = 2/63 14、又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？幾何？ 答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。 課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。 解读： 又有二十一分

8、之八和五十分之十七，问哪个大？大多少？ 答：二十一分之八大，大一千五十分之四十三。 课分法：分子互乘分母，用较大的减去较小的，余数作为分子，分母相乘之积作为分母。当分子等于分母时，值为一，即是较大的分数。 课分：比较两数的大小，并考核表达分数比较小分数大多少 15、今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？ 答曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。 解读：现有三分之一、三分之二、四分之三，问减去多的补给少的各多少就一样了？ 答：减3/4二份，减2/3一份，并把这些补给1/3，就一样多，一样时为7/12 16、又有二分之一，三分之二，四分之三。問減

9、多益少，各幾何而平？ 答曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。 几何：多少 平分术：计算分数的平均算法 17、今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？ 答曰：人得一錢、二十一分錢之四。 解读： 现有七个人，均分八又三分之一钱。问每人分得多少钱？ 答：每人得一又二十一分之四钱。 18、又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？ 答曰：人得二錢、八分錢之一。 經分術曰：以人數為法，錢數為實

10、，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。 经分法：法与实皆为分数的除法，先将法、实皆化为假分数，然后以法的分母乘实的分子为实，似实的分母乘法的分子为法，相除即为所求。 经分数：分数相处的运算法则 重有分者同而通之：若分母、分子都带有分数的，均需化为假分数运算 19、今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？ 答曰：三十五分步之十二。 解读： 现有方田宽为七分之四，长为五分之三。问此块田的面积为？ 答：三十五分之十二步 20、有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？ 答曰：十一分步之七。 解读： 又有方田宽九分之七，长十一分之九。问该方田的面积是？ 答：十一分之七步 21、又有田廣

11、五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？ 答曰：九分步之四。 乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。 解读： 又有一块方田宽为五分之四，长为九分之五。问该方田的面积是？ 答：九分之四步。 22、今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？ 答曰：十八步。 解读： 现有块方田宽为三又三分之一步，长为五又五分之二步，问该块田的面积是？ 答：十八步。 23、又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？ 答曰：一百二十步、九分步之五。 解读：又有一块方田宽为七又四分之三步，长为十五又九分之五步。问该块方田的面积是？ 答：一百二十又九分之五步。 24、又有田廣十八步、

12、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？ 答曰：一畝二百步、十一分步之七。 大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。 解读： 又有一块方田宽为十八又七分之五步，长为二十三又十一分之六步。问该块方田的面积是？ 答：一亩两百又十一分之七步。 圭：三角形 广：三角形的底边长 正从：三角形底边长的高 25、今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？ 答曰：一百二十六步。 解读： 现有等腰三角形田边为十二步，高为二十一步。问该田面积是？ 答：一百二十六步。 数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * 12 * 21 = 126 26、又有圭田

13、廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問為田幾何？ 答曰：二十三步、六分步之五。 術曰：半廣以乘正從。 解读： 有等腰三角形田边长为五又二分之一步，高为八又三分之二步，问该块田的面积为多少？ 答：二十三又六分之五步。 数学表达式： S = 1/2 * l * h = 1/2 * (5+1/2) * (8+2/3) = 23 + 5/6 计算方法：底边长的一半乘以高。 圭田就是等腰三角形的田地。 广:底 正纵：高 刘徽注：半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。 这就是利用“出入相补原理”把等腰三角形通过分、割、移、补使之成为长方形，按长方形。面积计算法计算 刘徽注：按半广乘从，以取中平之

14、数，故广从相乘为积步。亩法除之，即得也。中平之数字面的意思就是平均数，但实际上也就是取等腰三角形左半边底与右半边底和的一半的意思 27、今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？ 答曰：九畝一百四十四步。 解读： 现有一块直角梯形田，上底边长三十步，下底边长为四十二步，高为六十四步。问该块田的面积是多少？ 答：九亩一百四十四步。 数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (30 + 42 ) * 64 = 2304(积步), 即九亩四十四步 28、又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？ 答曰：二十三畝七十步

15、。 術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。 解读： 又有一直角梯形田，正宽长为六十五步，一边长一百步，另一边长七十二步。问该田的面积是多少？ 答：二十三亩七十步。 数学表达式： S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (100 + 72) * 65 = 5590， 即二十三亩七十步 计算方法：取两边长的一半，乘以正从（宽）。也可取正从的一半做宽，再乘以两边长之和，用亩法归一制。 邪田：直角梯形 邪字即是斜字，是针对正来说的，斜田是与直田相对的 术曰：并兩邪而半之。两邪 当是指教体香的两底，由于其位置的不同，而名称也不一样，古时候称：东西为广

16、，南北为纵，称上下为头，左右为畔 刘徽注：并而半之者，以盈补虚也。 这里显然是并两邪而半之的省略 取高的一半，并不是底的一半 29、今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為田幾何？ 答曰：一畝一百三十五步。 解读： 现有一般梯形田，上底长二十步，下底长五步，高为三十步。问此块田的面积是多少？ 答：一亩一百三十五步 数学表达式：S = 1/2 * (b上 + b下) * h = 1/2 * (20 + 5) * 30 = 375(积步)，即一亩三十五步。 30、又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問為田幾何？ 答曰：四十六畝二百三十二步半。 術曰：并踵舌而半之，以乘

17、正從。畝法而一。 解读： 又有一块梯形田，上底长一百一十七步，下底长五十步，宽为一百三十五步。问该田的面积是多少？ 答：四十六亩二百三十二步半 计算方法：取上下底长的一半，乘以高，即得面积，用亩法归一制。 箕田：等腰梯形的田地 刘徽注:中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵、舌，半正从，以乘之。箕田面积公式=1/2x(踵广+舌广)x正纵 为了推证以上三种类型的图形面积，刘徽创造了“出入相补”原理。所谓“出入相补”原理，就是一般所说的“割补法”，即“以盈补虚法”虽然刘徽没有给予这种原理的具体记载，但从整个刘徽的注文来看，很容易就发现刘徽对此有清晰的认识。 31、今有圓田，周三十步，徑十步。問為

18、田幾何？ 答曰：七十五步。 解读： 现有圆形田，周长三十步，半径十步。问此田面积是？ 答：七十五步。 数学表达式：S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 10 = 75（积步） 32、又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？ 答曰：十一畝九十步、十二分步之一。 術曰：半周半徑相乘得積步。 又術曰：周徑相乘，四而一。 又術曰：徑自相乘，三之，四而一。 又術曰：周自相乘，十二而一。 解读： 又有一圆形田，周长一百八十一步，半径长六十又三分之一步。问此田的面积是？ 答：十一亩九十又十二分之一步 计算方法：半周长乘以半径长等于积步（面积）。 计算方法：周长乘以直径

19、，取其四分之一。 计算方法：直径相乘，然后乘以三，再取其四分之一。 计算方法：周长相乘，取其十二分之一。 数学表达式：S = 1/4 * L * r = 1/4 * 181 * (60+1/3) = 32761/12，即十一亩九十又十二分之一步。 刘徽注：按半周为从，半径为广，故广从相乘为积步也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也 把圆田算法看成半周为长，半径为宽的长方形，以长边x宽边得到长方形的面积，然后刘徽再加以证明。后一句说明，圆内接正六边形的一边与圆半径等长，而圆直径与圆内接正六边形的周长之比等于1:3 刘徽注：又按为图，以六觚之一面乘一弧半径，

20、三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。 以园内接正六边形一边x半径，再x3，得到园内接正12边行。再以内接正12边形的一边x半径，再x6得到内接正24边形的面积。照这样分割下去，分割的次数越多，分割的正多边形的边长越短，多边形与圆的面积之差越，一直到不可再分，其面积就没有区别了。 公式： 圆内接12边形面积=6x（1/2）x正六边形的一边x圆半径=3ar 圆内接24边形面积=12x（1/2）x正十二边形的一边x圆半径=6ar 刘徽注：觚面之外，又有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫

21、觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。 在正n边形各边之外，尚有余径；而余径是圆半径与正n边形边心距之差；经过多次分割，余径会越来越短，最后则不存在余径。正多边形之外没有余径，所计算出的面积则不大于圆面积，即幂不外出矣，以正多边形的一边乘以半径，并按此法计算面积，可以化正多边形为长方形，当分割次数增多而每每成倍增长时，则证明了“半周半径为积步” 刘徽注：此一周、径，谓至然之数，非周三径一之率也。周三者，从其六觚之环耳。以推圆规多少之觉，乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核；学者踵古，习其谬失。不有明据，辩之斯难。凡物类形

22、象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。 刘徽认为，按照上述方法计算出来的圆周长与圆直径之比，是较精密的数值，并不是周三径一的比率（=3）。古人所谓的实际上是圆内接正六边形计算出来的。若按此推算出来的圆周的大小之数，实乃弓弦与弓背的关系，两者是不能相结合的。然而这时从古传下来的，没有人仔细推敲过。而学者又迷信古人之说，于是便以讹传讹。如果没有确凿的证据，则难以明辨。 所有物体的形状非，非圆即方。如研究方与圆的各种关系，都是临近身边的显而易见的事物，以由此及彼、由近及远的观点来看，即使是远处的事物也可知一二。由此言之起作用是很大的。 33、今有宛田，下周三十步，徑十六

23、步。問為田幾何？ 答曰：一百二十步。 解读： 现有一侧面圆形田，下半周长为三十步，半径为十六步。问此田面积是？ 答：一百二十步 数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 30 * 16 = 120(积步) 34、又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？ 答曰：五畝六十二步、四分步之一。 術曰：以徑乘周，四而一。 解读： 又有一侧面圆形田，下周长九十九步，半径为五十一步。问此块田的面积是？ 答：五亩六十二又四分之一步。 术语：用半径乘以周长，取其四分之一。 数学表达式： S = 1/4 * l * r = 1/4 * 99 * 51 = 1262.25 (积步) 宛田

24、：扇形田。本应为球冠形，刘徽注：此术不验 。所以我们当做扇形来计算。 由于宛田的径是一圆弧，而圆锥的径是一折线，按照九的算法一定会“失之于少”，只能算出大概数值，不能算出比较确切之数，隐刺刘徽乃称“此术不验” 35、今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？ 答曰：一畝九十七步半。 解读： 现有一弓形田，弦长为三十步，矢长为十五步。问此田的面积是？ 答：一亩九十七步半。 数学表达式： S = 1/2 * (l *d + d*d) = 1/2 * (30*15 + 15*15) = 337.5，即一亩九十七步半。 36、又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？ 答曰：

25、二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。 術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。 解读： 又有一弓形田，炫长七十八又二分之一步，矢长十三又九分之七步。问此田的面积是？ 答：二亩一百五十五又八十一分之五十六步。 计算方法：用弦长乘以矢，矢又自乘，取两者和的一半。 弧田：弓形的田地 弧田面积=1/2x（弦x失+失x失） 这算法是一近似算法，利用割补术进行计算的。 刘徽注：方中之圆，圆里十二觚之幂，合外方之幂四分之三也。中方合外方之半，则朱青合外方四分之一也。弧田，半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之，则为黄幂，矢自乘而半之，则为二青幂。青、黄相连为弧体，弧体法当应规。今觚面不至外畔，失

26、之于少矣。圆田旧术以周三径一为率，俱得十二觚之幂，亦失之于少也，与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者，益复疏阔。宜句股锯圆材之术，以弧弦为锯道长，以矢为锯深，而求其径。既知圆径，则弧可割分也。割之者，半弧田之弦以为股，其矢为句，为之求弦，即小弧之弦也。以半小弧之弦为句，半圆径为弦，为之求股。以减半径，其余即小弦之矢也。割之又割，使至极细。但举弦、矢相乘之数，则必近密率矣。然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。 小弦=(大弦/2)+大失=b=（b/2）+h 小失=半径-（半径）-（小弦/2）=h=r-r-(b/2) 照这样分割下去，将所得三角形面积依次相加即得 S=1/2xbh+bh+2bh+4bh+8bh+. 至