[信息与通信]清华大学微积分全xppt课件

1、2022-3-271P128 习题习题4.4 513. 623. 作业作业复习复习 P97114预习预习 P115128 2022-3-272一、一、 幂级数的简单应用幂级数的简单应用第十四讲第十四讲 幂级数的应用、幂级数的应用、傅里叶级数傅里叶级数二、二、傅立叶级数傅立叶级数2022-3-273一、幂级数的简单应用一、幂级数的简单应用函数函数fx的幂级数展开的幂级数展开级数求和级数求和求函数在区间上的近似多项式求函数在区间上的近似多项式求函数的近似值求函数的近似值求积分的近似值求积分的近似值求极限求极限2022-3-274直直接接法法.1的的泰泰勒勒级级数数写写出出)()1(xf),()2(

2、RR 求求出出此此级级数数的的收收敛敛区区间间0)(lim:),(,),()3( xRxRxRRnnn是是否否满满足足泰泰勒勒余余项项考考察察内内任任意意一一点点对对收收敛敛区区间间.)4(敛敛性性考考察察级级数数在在端端点点处处的的收收一初等函数的幂级数展开式一初等函数的幂级数展开式2022-3-275 02!.!.!21.1nnnxnxnxxxe),( x 0121253! )12()1(.! )12()1(.!5!3sin.2knkkkkxkxxxxx),( x nxnnxxxf!)1()2)(1(!2)1(1)(.32 02)1()1(111.4nnnnnxxxxx1 R)1 , 1(

3、 x2022-3-276间间接接法法.2.,求求函函数数的的幂幂级级数数展展开开式式项项积积分分、逐逐项项微微分分等等算算、逐逐通通过过变变量量代代换换、四四则则运运的的幂幂级级数数展展开开式式利利用用已已知知式式的的唯唯一一性性根根据据函函数数的的幂幂级级数数展展开开).(!1,)()(,),()(30)(00000 xfnaxxaxfxRxRxxfnnnnn 则则即即幂幂级级数数处处的的能能展展成成在在：若若定定理理2022-3-277.)1ln(1的的幂幂级级数数展展开开式式求求函函数数例例x 1112) 1(.) 1(.2)1ln(nnnnnnxnxxxx xdttx011)1ln(因

4、因为为) 1 , 1() 1(11132 xxxxxxnn利利用用展展开开式式 00)1()1ln(nxnndxxx)11( x解解利用逐项积分性质利用逐项积分性质,得到得到即即2022-3-278),( x)(sincos xx因因为为由由展展开开式式 ! ) 12() 1(!5!3sin1253kxxxxxkk),( x.cos2的的幂幂级级数数展展开开式式求求函函数数例例x解解 02242)!2() 1(! )2() 1(!4!21coskkkkkkxkxxxx利用逐项微分性质利用逐项微分性质,得到得到2022-3-279211)(arctanxx 因因为为得得令令,2tx .arcta

5、n3的的幂幂级级数数展展开开式式求求函函数数例例x解解 nnxxxxx)1(11132利利用用展展开开式式 2216422)1(111nnttttt)1, 1( t)1, 1( x作变量代换作变量代换:2022-3-2710 xdttx0211arctan 12) 1(753121753nxxxxxnn再利用逐项积分性质再利用逐项积分性质,得到得到1, 1:,1, 因因此此收收敛敛域域为为处处收收敛敛右右端端幂幂级级数数在在由由莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法知知x的的近近似似公公式式可可得得到到计计算算时时当当 ,1 x 121)1(5131141nn 2022-3-2711.3ln40处处展展

6、开开成成幂幂级级数数在在点点将将例例 xx解解)331(3ln x)3(3ln x xln)331ln(3ln x nuuuunn132)1(323ln nnnnxxxx3)3()1(33)3(32)3(2)3(3ln13322)1ln(3lnu )60( x)11( u33 xu令令展开展开变量复原变量复原2022-3-2712.)4(3252的的幂幂级级数数展展开开成成将将例例 xxxx解解)3311(41322 xxxxx341131)4(3111 xxx 03)4(31nnnx)1, 7( x741171)4(7131 xxx 07)4(71nnnx)3,11( x 0112)4)(7

7、331(4132nnnnxxxx)1,7( x2022-3-2713.,2ln1精精确确到到小小数数四四位位的的近近似似值值求求例例解解 11)1(312112lnnn交织级数交织级数11 nrn10000 n需需取取收敛速度太慢！0001. 0 nr要要使使) 11(1) 1(2)1ln(12 xnxxxxnn由由)11(132)1ln(132 xnxxxxxn)53(211ln)1ln(53 xxxxxx 相相减减与与31 x令令)3)12(135133131(22ln1253 nn二幂级数的其他应用二幂级数的其他应用有有2022-3-2714)3)12(135133131(22ln125

8、3 nn3)52(13)32(13) 12(1 20523212 nnnnnnnr)31311 (3) 12(124212 nn1231123)12(41113)12(22 nnnn0001. 03)12(4112 nn令令4 n试试算算得得6931. 0)37135133131(22ln753 2022-3-2715.0001. 0,sin210精精确确到到的的近近似似值值求求定定积积分分例例 dxxx解解得得的麦克劳林展开式的麦克劳林展开式由由,sin x),(!7!5!31sin642 xxxxx得得逐逐项项积积分分, !77! 55! 33sin7530 xxxxdtttx得得到到令令

9、, 1 x ! ) 12() 12() 1(!771!551!3311sin10nndxxxn0001. 0)!12() 12(1 nnrn令令3, n试试算算得得9461. 0! 551! 3311sin10 dxxx2022-3-2716.! )32()1()1(302的的和和函函数数幂幂级级数数求求例例 nnnxnn解解).(),(xS设设和和函函数数为为收收敛敛域域为为 ),(! )32()1()1()(02 xxnnxSnnn即有即有奇数阶乘 032112012! )32() 1(! ) 12() 1(! ) 12() 1(sinnnnnnnnnnnxxnxxnxx考考虑虑)0(si

10、n1! )32() 1(022 xxxnxnnn于于是是逐项求导逐项求导,得到得到)sincos(1! )32() 1)(1( 22120 xxxxxnnnnn 2022-3-2717故故有有为为连连续续函函数数因因为为,)(xS61)cos(sin21lim)0(30 xxxxSx 时时当当时时当当所所以以0610)cos(sin21)(3xxxxxxxS)0()cos(sin21! )32() 1)(1()(320 xxxxxxnnxSnnn即即2022-3-2718)11ln(lim42xxxx 求求极极限限例例展展开开为为级级数数：先先将将解解)11ln(x ,)1(41)1(31)1

11、(211)11ln(,11432 xxxxxx时时当当)11ln(lim2xxxx 于于是是)1(31)1(211lim322 xxxxxx2114113121lim2 xxx2022-3-2719xixeixsincos5 证证明明欧欧拉拉公公式式例例,1,2 iCz设设证证利利用用)(21sin),(21cosixixixixeeixeex .!.!212 nzzzenz易易得得xixeixsincos 由由此此得得xyirzarctan),sin(cos. 3 其其中中,. 2,. 122yxrrezRyxiyxzCzi 其其中中复复数数的的三三种种表表示示： 2022-3-2720 傅

12、立叶级数历史上是由于研究傅立叶级数历史上是由于研究周期现象周期现象的的需要而产生的需要而产生的,如今傅立叶级数已经成为表示如今傅立叶级数已经成为表示和研究函数的有效工具。和研究函数的有效工具。 在许多实际问题中在许多实际问题中,常常会遇到周期现象。常常会遇到周期现象。例如弹簧的自由振动、交流电的电流和电压、例如弹簧的自由振动、交流电的电流和电压、构件在周期性外力作用下发生的振动等。构件在周期性外力作用下发生的振动等。二、傅立叶级数二、傅立叶级数2022-3-2721 以以T为周期为周期, 最简单的周期运动是简谐振动最简单的周期运动是简谐振动,通常用正弦函数表示：通常用正弦函数表示：)sin(

13、tA初初相相位位振振幅幅:,: A 振振动动频频率率T 2 次次谐谐波波ntnAn)sin( tnbtnann sincos )cos,sin( nnnnAbAa 一般周期函数可表示为简单周期函数的一般周期函数可表示为简单周期函数的叠加叠加 10)sincos(2)(nnnnntbtaatf 2022-3-2722内内积积满满足足的的内内积积。与与为为则则称称上上的的可可积积函函数数是是定定义义在在设设函函数数的的内内积积定定义义)()()()(),(,)(),()(:1xgxfdxxgxfgfbaxgxfba ).,)(,(),(3;,),(),(),(2);,(),(122121ggffg

14、fRgfgfgfffggf ）柯柯西西不不等等式式：（）线线性性性性质质：（）对对称称性性：（ 一正交函数系一正交函数系2022-3-2723的的范范数数。为为则则称称上上的的可可积积在在设设函函数数的的范范数数定定义义)()(),(,)()(:2212122xfdxxffffbaxfba 22222223;,2;00, 01gfgfRfffff ）三三角角不不等等式式：（）齐齐次次性性：（）非非负负性性：（满满足足： 2022-3-2724.,)()(0)()(),(,), 2, 1, 0()(,0),(,)(),()(:3上上的的正正交交函函数数系系是是则则称称如如果果上上的的可可积积函函

15、数数系系是是定定义义在在又又设设上上正正交交。在在与与则则称称，上上可可积积，若若在在设设正正交交函函数数与与正正交交函函数数系系定定义义baxnmdxxxbanxbagfgfbaxgxfnbanmnmn ), 2, 1, 0(0)(2 ndxxban 同同时时假假定定2022-3-2725.,)(), 2, 1, 0(1)()()(:4212上上的的规规范范正正交交函函数数系系为为则则称称满满足足的的各各函函数数如如果果一一个个正正交交函函数数系系规规范范正正交交函函数数系系定定义义baxndxxxnbannn 2022-3-2726基基本本三三角角函函数数系系例例 1)1(,sin,cos

16、,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx:,2有有如如下下性性质质有有共共同同的的周周期期 有有对对于于任任意意整整数数,0 n dxnxnxdx22cos1cos2, 0sincos nnxnxdx 21 dx dxnxnxdx22cos1sin22022-3-2727由由已已知知公公式式)sin()sin(21cossin )cos()cos(21coscos )cos()cos(21sinsin 有有和和对对于于任任意意整整数数,mn0)sin()sin(21cossin dxxmnxmnmxdxnx, 0cossin nnxnxdx2022-3-2728有有时时当当,

17、mn 0)cos()cos(21coscos dxxmnxmnmxdxnx0)cos()cos(21sinsin dxxmnxmnmxdxnx.2 的的区区间间上上是是正正交交的的在在任任意意长长度度为为 )1(,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx基基本本三三角角函函数数系系2022-3-2729容易验证三角函数系容易验证三角函数系)2(,sin,cos,sin,cos, 1lxnlxnlxlx .2 的的区区间间上上是是正正交交的的在在任任意意长长度度为为 l2022-3-2730系系数数？确确定定怎怎样样可可以以展展开开成成三三角角级级数数时时当当,)

18、()2(xf两两个个问问题题：可可以以展展开开成成三三角角级级数数？满满足足什什麽麽条条件件时时数数一一个个周周期期函函,),()1(xf二周期函数的傅立叶级数二周期函数的傅立叶级数2022-3-2731)3()sincos(2)(10 nnnnxbnxaaxf.,)1(确确定定系系数数的的正正交交性性利利用用三三角角函函数数系系：上上可可以以展展开开成成三三角角级级数数在在区区间间为为周周期期的的函函数数以以假假设设,)(2 xf1.周期为周期为2 函数的傅立叶级数函数的傅立叶级数.,积积分分假假定定右右端端级级数数可可以以逐逐项项并并且且)sincos(2)(10 nxdxbnxdxadx

19、adxxfnnn 0a dxxfa)(10得得到到上上积积分分式式两两端端在在将将,)3( 2022-3-2732得得到到上上积积分分并并且且在在式式两两端端乘乘以以在在,cos)3( nx)cossincoscos(cos2cos)(10 nxdxkxbnxdxkxanxdxanxdxxfkkk), 2, 1(cos)(1 nnxdxxfan 得得到到交交性性并并利利用用三三角角函函数数系系的的正正上上积积分分并并且且在在式式两两端端乘乘以以在在,sin)2( nx), 2, 1(sin)(1 nnxdxxfbn na 2022-3-2733傅立叶系数傅立叶系数 dxxfa)(10), 2,

20、 1(cos)(1 nnxdxxfan ), 2, 1(sin)(1 nnxdxxfbn .傅傅立立叶叶级级数数角角级级数数称称为为由由傅傅立立叶叶系系数数组组成成的的三三 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf收敛性待讨论！收敛性待讨论！2022-3-2734上上满满足足狄狄里里克克雷雷条条件件：在在区区间间若若狄狄里里克克雷雷判判别别法法定定理理,)()( xf;)1(第第一一类类间间断断点点连连续续或或至至多多只只有有有有限限个个2.傅立叶级数的收敛性傅立叶级数的收敛性).()2(只只有有有有限限个个极极值值点点分分段段单单调调并且其和函数为并且其和函数为的傅立叶级数收敛的傅

21、立叶级数收敛则则,)(xf )()0()0(21)()0()0(21)()()(0000 xfffxxfxffxxfxS的的间间断断点点为为的的连连续续点点为为2022-3-2735内内表表达达式式为为且且在在为为周周期期以以设设例例),2)(1 xf xExxf000)(.,)(.0上上的的收收敛敛性性在在并并讨讨论论的的傅傅立立叶叶级级数数求求为为常常数数其其中中 xfEx)(xfy Eo 2 3 2 3 2022-3-2736解解EEdx 01 dxxfa)(10 nxdxxfancos)(1 0cos1nxdxE0 ),2,1( n nxdxxfbnsin)(1 0sin1nxdxE|

22、0cos nxnE ) 1(1 nnE 1 sin)1(12)(nnnxnEExf 求求傅傅里里叶叶系系数数写写出出傅傅里里叶叶级级数数2022-3-2737性性考考察察傅傅立立叶叶级级数数的的收收敛敛上上的的和和函函数数为为傅傅立立叶叶级级数数在在所所以以上上满满足足狄狄里里克克雷雷条条件件在在因因为为,)( xf ,0,20,0,0)(xExExxS上上的的傅傅立立叶叶展展开开式式为为：在在从从而而,)(, xf)7sin715sin513sin31(sin22)( xxxxEExf )00( xx及及分量分量直流直流基基波波谐谐波波三三次次2022-3-2738的的函函数数的的傅傅立立叶

23、叶展展开开周周期期为为 l2. 3 llnxdxlnxfla cos)(1 llnxdxlnxflb sin)(1 lldxxfla)(10),2,1( n)2(,sin,cos,sin,cos, 1lxnlxnlxlx 函函数数系系的的区区间间上上正正交交在在任任意意长长度度为为 l2 10)sincos(2)(nnnxlnbxlnaaxf 傅傅里里叶叶级级数数傅傅里里叶叶系系数数2022-3-2739傅傅立立叶叶级级数数上上展展开开成成在在区区间间试试将将函函数数例例1 , 1)(32 xxf解解为为周周期期的的函函数数上上成成为为以以使使其其在在将将函函数数作作周周期期性性开开拓拓首首先

24、先2),(, oxy11 22 33 计计算算傅傅立立叶叶系系数数 ldxxfla00)(2322102 dxx lnxdxlnxfla0cos)(2 2022-3-2740 102cos2xdxnx 224) 1( nn ),2,1( n lnxdxlnxfla0cos)(2 0 nb的的傅傅立立叶叶级级数数为为从从而而得得到到)(xf)33cos22cos1cos(431)(2222 xxxxf 和和函函数数为为此此级级数数的的在在端端点点处处上上连连续续在在因因为为,1 , 1)( xf) 1(1)01 () 01(21) 1( fffS上上的的傅傅立立叶叶展展开开式式为为在在函函数数由

25、由收收敛敛定定理理知知所所以以1 , 1)(,2 xxf)33cos22cos1cos(43122222 xxxx )11( x2022-3-2741数数有有什什麽麽特特点点？奇奇、偶偶函函数数的的傅傅立立叶叶级级问问题题 :有有为为偶偶函函数数时时当当,)()1(xf有有为为奇奇函函数数时时当当,)()2(xf aaadxxfdxxf0)(2)(0)( aadxxf四、正弦级数与余弦级数四、正弦级数与余弦级数奇奇、偶偶函函数数的的积积分分性性质质回回忆忆:2022-3-2742则则有有且且为为奇奇函函数数上上可可积积在在若若,)()1( xf0 na),2,1,0( n 0sin)(2nxdxxfbn 1sin)()(nnnxbxf