高等数学电子教案12

1、第十二章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念,了解函数项级数和函数的性质。8、掌握哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解哥级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、会利用哥级数的性质求和10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11

2、、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成哥级数。12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。13、掌握将定义在区间（一&nt上的函数展开为傅里叶级数的方法。14、会将定义在区间0,园上的函数展开为正弦或余弦级数。15、会将定义在区间（1,1）上的函数展开为傅里叶级数。教学重点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数5、函数展开成傅立叶级数。教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、哥级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、 泰勒级数；5、 函数展开成傅立叶级数8国

3、2,1常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项无穷级数：一般地，给定一个数列UiU2U3Un.则由这数列构成的表达式UiU2U3一，UnqQ叫做（常数项）无穷级数.简称（常数项）级数.记为fUn,即n1QOUn=U1U2U3''''Un-.n1其中第n项Un叫做级数的一般项.QC级数的部分和：作级数ZUn的前n项和n=!nsn=、'Ui=U1U2U3Uni1称为级数ZUn的部分和n1cd级数敛散性定义：如果级数zUn的部分和数列Sn有极限s.n=1即limsn=s.n1二二oO则称无穷级数£Un收敛.这时极限s叫做这级数的和.n1并写成

4、QOS=、Un=U1U2U3'Unn1QO如果Sn没有极限.则称无穷级数£Un发散，n1oO00余项：当级数£Un收敛时.其部分和Sn是级数ZUn的和S的近似值.它们之间的差值n=1n=1rn-S-Sn-Un1Un2.一叫做级数三Un的余项.n1例1讨论等比级数（几何级数）oO'、：aqn=aaqaq2+aqnn=0的敛散性.其中a?0.q叫做级数的公比解：如果q力.则部分和2n 1sn =a aq - aq aq_ a -aqni-qai-qaqni-q00当|q|<1时.因为limSn=-a.所以此时级数Zaqn收敛.其和为-a-,n1-qn=01

5、-q00当|q|>l时.因为lim&=0°.所以此时级数£aqn发散.二n=0QO如果q|M.则当q=时.Sn=naB.因此级数工aqn发散；n-0oO当q=1时.级数£aqn成为n=0a-aa-a时|q|N时.因为Sn随着n为奇数或偶数而等于a或零.qQ所以Sn的极限不存在.从而这时级数aqaqn也发散.n=000-a-；如果|q以,则级数aq aqn发散, 1-qn 上00综上所述.如果|q|<1,则级数aqaqn收敛.其和为nz：0a1-q 1cO仅当q国时.几何级数aaqna#0)收敛.其和为n=0例2证明级数1邦45+(2n-1)+-

6、是发散的证此级数的前n项部分和为sn=135(2n-1)=n(n1).显然.limsns.因此所给级数是发散的n门例3判别无穷级数1 2 23 34n(n 1)解由于.111un 二二n(n 1) n n 1因此s.L，.sn 1 2 2 3 34 n(n 1)交(2一3)从而nim&lim：。-马)=1所以这级数收敛.它的和是1.111提示un=n(n1)nn1二、收敛级数的基本性质O0O0性质1如果级数Unun收敛于和s.则它的各项同乘以一个常数k所得的级数£kun也收敛.n=1n=1且其和为ks,COQO证明：设2Un与£kUn的部分和分别为Sn与写.则n=n

7、1lim；:n=lim(kuiku2kun)=klim(uU2Un)=klimSn=ksn)：:n.n)二n尸co这表明级数£kun收敛.且和为ks,n=1表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。ooooCO性质2如果级数£un、£vn分别收敛于和s、。.则级数£(un士vn)也收敛.且其和为s15n=1n=1n=1证明:00oOoO如果£un、£vn、£(un土vn)的部分和分别为生、力二.则n1n1n=1limn=lim(Ui-M)(U2-V2卜(Un-Vn)n)-：n二=nim(u1u2un)-(

8、V1v2vn)=lim(sn-cn)二s二二.n二表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质3在级数中去掉、加上或改变有限项.不会改变级数的收敛性比如.级数+-+一1十是收敛的.122334n(n1),一“1111加一项后级数9895.-122334n(n1)减一项后级数1-+1-+，一+1一+,也是收敛的3445n(n1)qQ性质4如果级数£un收敛.则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛.且其和不变，n=1注意：如果加括号后所成的级数收敛.则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如.级数(1-1)+(11)+,收敛于零.但级数1T+11+却是发散的.推论：如果加括号后所成的级

9、数发散.则原来级数也发散.级数收敛的必要条件Q0性质5如果Zun收敛.则它的一般项un趋于零.即limun=0,nWn>0证：设级数ZUn的部分和为Sn.且limSn=s.则nVn>:limUn=lim(生-Sn二)=limSnTimSn=s-s=0n0nn)二n”,:注意：级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件.例如调和级数-1.111.1n+n23n1一尽管它的一般项lim=0,但它是发散的nn因为假若级数Z1收敛且其和为S.Sn是它的部分和n=1n显然有lim%=s及lim32n=s，于是lim(s2n-Sn)=0，nnn1二但另一方面1s2n _sn =n 111r =

10、2n 2111+，+>+2n2n2n故"m(S2n -si) #0 ,矛盾 n.二1，这矛盾说明级数必定发散,nWn§12,2常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论:O0定理1正项级数£Un收敛的充分必要条件它的部分和数列Sn有界,n1证设级数ULU2.Rn；是一个正项级数。其部分和为Sn显然Sn是一个单调增加数列，若部分和数列Sn有界,则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数1Un收敛；反之.若级数工Un收敛，则部分和数列Sn有极限，根据有极限

11、的数列是有界数列的性质可知Sn有界£vn收 n=1COoO定理2(比较审敛法)设£un和£vn都是正项级数.且UnWvn(n=1.2.,一),若级数n1ndooCOoo敛.则级数工Un收敛；反之.若级数£Un发散.则级数2Vn发散，n1nWnTooQO证设级数Zvn收敛于和仃、则级数工Un的部分和n=1n=1SnP1U2+：小；UnV1'V2+”万；Vn：=(n=1,2,).QO即部分和数列Sn有界.由定理1知级数工Un收敛.n1反之.设级数£Un发散.则级数工vn必发散.nWn1oOod因为若级数vnvn收敛.由上已证明的结论.将有级

12、数unun也收敛.与假设矛盾.n=1n=1oOoODO推论设£Un和£Vn都是正项级数.如果级数vnVn收敛.且存在自然数N.使当n>N时有n，nndQOUn业Vn(k>0)成立.则级数Un Un收敛；如果级数n =1oO£ Vn发散.且当n之N时有UnakVn(k>0)成立. nn =1 n10qQ则级数£un发散，n1例1讨论p支数；二1n,np2p3p4pnp二 1 山,-发散.由比较审敛法知.n =1n的收敛性.其中常数p>0.解设p<1,这时1->.而调和级数npnqQ当pM时级数£-发散.nTnP

13、设p>1，此时有1np5“父-1%”=吉昌百qQ对于级数V1-nJ(n-1产_1np“31-1；=1-1;3p-1np(n1)p-1(n1)p,因为limsn=lim11=1.n二n：(n1)poO所以级数Z一J-二收敛n£(n-1严npJ,从而根据比较审敛法的推论1可知.级数£。当pp>1时收敛,oO综上所述p垓数、n=1土当p>1时收敛.当p<1时发散,npqQ提示：级数£n-21(n-1)p1np的部分和为49111111Sn或-3得-高T-1v7=1-2p2p3pnp(n-1)P(n1)p因为limsn=lim1-1=1n,：nn&

14、quot;(n1)p所以级数£一1一一收敛，n(n-1)pnpp%数的收敛性：p数1当P>1时收敛.当P<1时发散.nWnpoO例2证明级数“.n111是发散的,*n(n1)证因为_1_1_1、n(n1).,(n1)2-n1而级数£工=1+1+'+是发散的.nn123n1根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理3(比较审敛法的极限形式)00OO设ZUn和£Vn都是正项级数.ndnTQOQO(1)如果lim=l(0目<依).且级数工Vn收敛.则级数工Un收敛；nvnn2n=1(2)如果lim un=l >0或lim un = +=c

15、.且级数£ vn发散.则级数工Un发散.n- vnn- v nn =1n=1证明 由极限的定义可知.对z=2 .存在自然数N .当n>N时.有不等式1u113l l < <l 十一l ,即一lvn <un <lvn .2vn222n再根据比较审敛法的推论1 .即得所要证的结论二1 ,例3判别级数Z tan 的收敛性.n 1n1 tan-解因为nqQ=1 ,而级数1 发散.n =1n根据比较审敛法的极限形式，一二1 级数v tan1发散n 1n:一1例4判别级数工nm(2n -1)(2n 1)的收敛性解因为limn 二（2n-虫2"1），.而级数

16、克收敛.4nd n根据比较审敛法的极限形式.级数Zn日(2n -1)(2n 1)收敛定理4（比值审敛法.达朗贝尔判别法）cO若正项级数工Un的后项与前项之比值的极限等于P：n1lim皿=7.niUn则当P<1时级数收敛；当P>1(或lim皿=七)时级数发散；n，un当P时级数可能收敛也可能发散一、一，111123 (n-1)例5证明级数1+1+112123是收敛的un1123(n-1)1,解因为lim=liml=lim一=0<1.n)：unn)二123nn)二n根据比值审敛法可知所给级数收敛例6判别级数+1§.|123+，_,+n；+的收敛性,1010210310n

17、解因为limun=lim(n：?!10-=limn-1=i,nUnn_10n1n!n>：10根据比值审敛法可知所给级数发散二1例7判别级数Z的收敛性.nm2n(2n1)Un12n(2n1)d解lim二lim二1n一"unnf：(2n1)(2n2)这时P=1.比值审敛法失效.必须用其它方法来判别级数的收敛性11因为<-y.而级数1；收敛.因此由比较审敛法可知所给级数收敛(2n-1)2nn2恒n2定理5(根值审敛法.柯西判别法)00设ZUn是正项级数.如果它的一般项Un的n次根的极限等于P：n1则当即时级数收敛；当今1(或limn/un=")时级数发散；n_.当FL

18、1时级数可能收敛也可能发散例8证明级数1+工十工+十。+是收敛的.2233nn并估计以级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差解因为limn/U7=limnMn=lim'=。.n)：:-n;nn)二n所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和Sn近似代替和S所产生的误差为kl=17-1_-1-(n1)n1(n2)n2(n3)n3111<-+-+-+(n1)n1(n1)n2(n1)n3_1n(n1)n'例9判定级数22.(”的收敛性，nV2n解因为lima=1防1&2+(1)n=1.nn22所以.根据根值审敛法知所给级数收敛.定理6(极限审敛法)O0设

19、63;Un为正项级数.n18(1)如果nmjun=l>0(或nmnun=+°°).则级数工un发散；QO(2)如果p>1.而limnPUn=l(0<l<七0).则级数工Un收敛.n.nT二：1例7判定级数Zln(1+/2)的收敛性.n1n解因为ln(1+2)(nT8).故nnlimn2un=limn2ln(112)=limn2工=1nnn2nn2根据极限审敛法.知所给级数收敛,例8判定级数£后天(1cos工)的收敛性,n2n33解因为limn±un=limn2Jn+1(1-cos工)=limn2Jn1-1()2=2ji2,n)：n

20、n>二'nn>：、n2n2根据极限审敛法.知所给级数收敛，二、交错级数及其审敛法交错级数：交错级数是这样的级数.它的各项是正负交错的.00cd交错级数的一般形式为Z(1)n,Un.或工(-1)nun其中un>0,n=1nW例如.£(-1)n41是交错级数,但克(fl-COSnH不是交错级数,ndnn1n定理7(莱布尼茨定理)od如果交错级数£(-1)n,un满足条件：n1(1)un浙书(n=1.2.3.)；(2)limun=0.n'.；则级数收敛.且其和s勺1.其余项rn的绝对值|n|Wun+1.证明：设前2n项部分和为S2n.由s2n=(

21、u1-u2)*u3-u4)+，*u2n172n).及S2n=u一(u2-u3).(u4-u5),'''(u2n-2-u2n4)-u2n看出数列s2n单调增加且有界(s2n<u).所以收敛，设s2rrsg-0).则也有s2n由F2n九2n一$(1).所以srW&0-).从而级数是收敛的.且sn:u1,因为n|=un+Fn七+,1也是收敛的交错级数.所以n|&n+.oO例9证明级数Z(-1)nn111收敛.并估计和及余项,n证这是一个交错级数,因为此级数满足Un1八(n=1,2,).(2)limUn=lim=0n.n)：:n由莱布尼茨定理.级数是收敛的

22、.且其和s<Ui=i余项|rn|MUn41=，n1三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛：若级数Z|Un|收敛.则称级数ZUn绝对收敛；0O例如级数£ (-1)n=1若级数UUn收敛.而级数工|Un|发散.则称级ZUn条件收敛，n4是绝对收敛的.而级数：£(-1)n,1是条件收敛的,nn+n定理8如果级数£Un绝对收敛.则级数uUn必定收敛.证明略注意：如果级数工|un|发散.我们不能断定级数Uun也发散，但是.如果我们用比值法或根值法判定级数co£ |Un|发散.n 1Q0£ Un也是发散的，n 1则我们可以断定级数£Un必

23、定发散.n二这是因为.此时|Un|不趋向于零.从而Un也不趋向于零.因此级数二-sinna一例11判别级数Z的收敛性,n4nsinna1二1=解因为|<.而级数Z丁是收敛的.nnn4n工(1+1)M的收敛性. 2nl n)QO例12判别级数E(-1)n所以级数£吗与也收敛.从而级数£吗na绝对收敛.n4nnq1n.有limn/|u7|=1lim(1+-)n=1e>1n.，,2n>：:n22可知limUn#0,因此级数Z(1)n3(1+1)n发散，n'nd2n§12.3哥级数一、函数项级数的概念函数项级数：给定一个定义在区间I上的函数列：U

24、1(x),U2(x),U3(x),Un(x)由这函数列构成的表达式U1(x)U2(x)U3(x):;>Un(x)qQ称为定义在区间I上的(函数项)级数.记为ZUn(x).n1cd对于区间I内的一定点xo.若常数项级数£Un(xo)收敛.则称n1aOQO点xo是级数£Un(x)的收敛点,若常数项级数£Un(xo)发散.则称n1n=1qQ点X0是级数£un(x)的发散点,。n=1qQ函数项级数£Un(X)的所有收敛点的全体称为它的收敛域n1所有发散点的全体称为它的发散域在收敛域上.函数项级数£un(x)的和是X的函数s(x).n1c

25、ooos(x)称为函数项级数UnUn(x)的和函数.并写成s(x)=£Un(X).n1n1qQ汇Un(x)是ZUn(x)的简便记法.以下不再重述,n1在收敛域上.函数项级数汇Un(x)的和是x的函数S(x).S(x)称为函数项级数汇Un(x)的和函数.并写成S(x)=EUn(x),这函数的定义就是级数的收敛域。函数项级数汇Un(x)的前n项的部分和记作Sn(x).即Sn(x)=Ul(x)U2(x)U3(x)+-Un(x).在收敛域上有nlimcSh(x)=Sx)或Sn(x/s(x)(n-),oO函数项级数ZUn(x)的和函数s(x)与部分和Sn(x)的差rn(x)K(x)-Sn(x)

26、n1qQ叫做函数项级数ZUn(x)的余项,rn(x)=S(x)Sn(x),nT函数项级数汇Un(x)的余项记为rn(x).它是和函数S(x)与部分和Sn(x)的差在收敛域上有limrn(x)=0.n二、哥级数及其收敛性哥级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都备函数的函数项级数这种形式的级数称为哥级数.它的形式是aoaixa2x2：;:-:anxn".一.其中常数aoaa.包，一叫做哥级数的系数.例如一下级数1xx2x3十一:;：xn.1o11xx2xn,2!n!注：哥级数的一般形式是aoai（xBo）a（x义0）2,an（x-xo）n-.经变换tR-xo就得a0431tW2t

27、2+，珀ntn+，哥级数.23n1xxxx,可以看成是公比为x的几何级数.当冈<1时它是收敛的；当x|>1时,它是发散的因此它的收敛域为（-1.1）,在收敛域内有一二1xx2x3：；十xn.一，1-x由此例可得：OO定理1（阿贝尔定理）如果级数工anxn当x=xo（xo切）时收敛.则适合不等式qQ|x|<|xo|的一切x使这哥级数绝对收敛，反之.如果级数工anxn当x20时发散.n-0则适合不等式|x|Txo|的一切x使这哥级数发散,qQqQ证先设xo是哥级数Zanxn的收敛点.即级数Zanxn收敛，根据级数收敛的必要条件n=0n=0有limanxn=0.于是存在一个常数M.

28、使|anx0n|iJM（n=0,1,2,一）.oO这样级数上anxn的的一般项的绝对值n力1anxnHan对中an城中qQ因为当|x|W%时.等比级数M M n =0qQ产收敛.所以级数Z |anxn|收敛. x0n =0qQ也就是级数工anxn绝对收敛.n=0定理的第二部分可用反证法证明.倘若哥级数当x0时发散而有一点x1适合|x1|>x0|使级数收敛.则根据本定理的第一部分.级数当XB0时应收敛.这与所设矛盾.定理得证,Q0推论如果级数ananxn不是仅在点x=0一点收敛.也不是在整个数轴上都收敛.则必有一个n=0完全确定的正数R存在.使得当|x|小时.哥级数绝对收敛；当|X|五时.

29、哥级数发散；当x田与x=R时.哥级数可能收敛也可能发散,收敛半径与收敛区间：正数r通常叫做哥级数ananxn的收敛半径,开区间（-R.R）叫做哥级qQ数ananxn的收敛区间,再由哥级数在x«R处的收敛性就可以决定它的收敛域,哥级数nOQ0工anxn的收敛域是（-R,R）（或-R,R）、（-R,R、-R,R之一,n=0Q0qQ规定：若哥级数Zanxn只在x=0收敛.则规定收敛半径R=0.若哥级数Zanxn对一切x都n=0n=0收敛.则规定收敛半径R=HS,这时收敛域为（q,土c）.关于哥级数的收敛半径求法，有下列定理：定理2如果lim|an土|=P.其中an、an书是哥级数£

30、;anxn的相邻两项的系数.n,二ann/则这哥级数的收敛半径P=0R=-1P#0.0P=z简要证明an ixanxn尸啊41 lx|= ：|x| , nan1（1）如果0MP*.则只当取|M1时帚级数收敛.故R=.（2）如果PR.则哥级数总是收敛的.故R外.(3)如果P4汽则只当x斗时哥级数收敛.故R=0,二n例1求哥级数£(_1)n,x-的收敛半径与收敛域n=1n1解因为P=lim|"考|=limn：1=1n.，1ann：:1所以收敛半径为R=-=1P当x=1时.哥级数成为Z(-1)n4n-二1当x-1时.哥级数成为Z(-1).是发散的,因此.收敛域为(-1,1,n1n

31、.二1例2求哥级数1；xnn$n!1+x+1x2+1x3+xn+的收敛域,23n!1_an1(n1)!n!解因为P=lim|=lim-=lim,=0.n，二an1n)：:1n：(n1)!n!所以收敛半径为R*c,从而收敛域为(q,g、qQ例3求哥级数Zn!xn的收敛半径n=0因为二lim二i：n!所以收敛半径为RW.即级数仅在x句处收敛.4求哥级数£(2吗X2n的收敛半径，n=o(n!)2级数缺少奇次哥的项.定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径哥级数的一般项记为Un(X)=X2n(n!)2因为l=4|x|2 .当4X2 <1即|x|<2时级数收敛；当4|x|2&g

32、t;1即|x|>-2时级数发散.所以收敛半径为 R=/ ,提示2(n 1)! x2(n i)Un 1(X) (n 1)!2Un(x) 一 (2n)!x2n2 x(2n 2)(2n 1)x2(n 1)2oO例5求哥级数工n 1(x-1)n2nn解 令t-1 .上述级数变为因为 D=lim|a-1|二an2n n 二12n 1 (n 1) ”所以收敛半径R=2.当t义时.级数成为1-.此级数发散；当t-2时.级数成为三日.此级数收敛,n因此级数£匚的收敛域为I父<2,因为-2女-1<2.即-1女<3.nan所以原级数的收敛域为-1,3).三、哥级数的运算设备级数汇

33、anxn及4bnxn分别在区间(-R,R)及(-R：R')内收敛，则在(-RR)与(-R：R)中较小的区间内有加法：Eanxn+Ebnxn(an4bn)xn.减法：Eanxn-Ebnxn=汇(an-bn)xn,OOO0乘法(二.anxn)(二.4贝)wobo(aob1a1bo)x(aob2a1b1a2bo)x2n毛n=0(aobn'abni-anbo)xn-oO'、anXn除法：空一='CnXnnn-0bnX一n=0这里假定b0 ¥0。为了决定系数cn ,可以将£bnxn与£cnxn相乘，然后比较n=0n=0qQ与ananxn的同次

34、塞项系数得出。n=0关于哥级数，有以下的重要性质O0性质1哥级数zanxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续.如果哥级数在x京(或x=R)也收敛.则和函数s(x)在(-R,R(或-R,R)连续,qQ性质2哥级数Zanxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积.并且有逐项积分公式n=0：s(x)dx=anxn)dx八0(anxndx=、-an-xn(xI).n=0n=0n=0n1逐项积分后所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径0O性质3骞级数Zanxn的和函数s(x)在其收敛区间(-R.R)内可导.并且有逐项求导公式s(x)=anxn)(anxn)nanxn(|x|：R).n=0n=0nd逐项求导后

35、所得到的哥级数和原级数有相同的收敛半径例6求哥级数克,xn的和函数.n=0n1解求得哥级数的收敛域为-1.1).1设和函数为s(x).即s(x)=2x)C.x-1.1).显然s(0)=1.n=0n1xn+的两边求导得1 n 1 x n 1x ) = x =n 1 n为 1-x在xS(x)=n；ni1xs(x)二1n毛对上式从0到x积分.得xs(x)=11xdx =-ln(1 -x)1 1-1ln(1-x)x1是.当x加时.有s(x)=_1ln(1_x),从而s(x)=Jx0 ：|x|dx=0因为xs(x)xn1=；一,父1dxn=on10n=on1二:匚xndx=xdix=-ln(1-x)0n

36、=001-x所以.当xM时.有s(x)=1ln(1x).x(1.、c,一从而s(x)=xln(i)。件1,1x=01 -x=1 x x2 x3提示：应用公式(F'(x)dx=F(x)F(0).即F(x)=F(0)十，F'(x)dx.(-1)n函数为s(x).则s(1)=(-1)nnR n 1oO求级数n=0J：1n解考虑哥级数£4xn.此级数在v,1)上收敛.设其和nn11一二在例6中已得到xs(x)=ln(1r).于是-s(-1)=ln2.s(-1)=ln.即2-2nW§124函数展开成哥级数一、泰勒级数问题：给定函数f(x).要考虑它是否能在某个区间内“

37、展开成哥级数”.就是说.是否能找到这样一个哥级数.它在某区间内收敛.且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的哥级数.我们就说.函数f(x)在该区间内能展开成哥级数.或简单地说函数f(x)能展开成哥级数.而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x).以前学过泰勒多项式：如果f(x)在点X0的某邻域内具有各阶导数.则在该邻域内f(x)近似等于f(x)=f(X0)f(X0)(x-X0)f2x0)(x-x0)2f(n!x0)(x-x0)nRn(x).其中Rn(x)=f(n 1)()(n 1)!(x-M)n1(汾于x与x0之间),泰勒级数：如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f'(x

38、)f(x).f(n)(x).则当n4时.f(x)在点x0的泰勒多项式Pn(x)=f(x0)f(x0)(x-x0)-f(x0)(x-x0)2-f-Tx0)(x-x0)n2!n!成为哥级数f(x0)f(x0)(x-x0)f2)(x-x0)2f3x0)(x-x0)3f!x0)(x-x0)n2!3!n!这一哥级数称为函数f(x)的泰勒级数,显然.当x=x0时.f(x)的泰勒级数收敛于f(x0),但是除了x6外.f(x)的泰勒级数是否收敛？如果收敛.它是否一定收敛于f(x)?对此，有以下定理：定理设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数.则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件

39、是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当nT0时的极限为零.即Hm：Rn(x)=0(xU(x0).证明先证必要性，设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数.即f(x)=f(x0)f(x0)(x-x0)f(x-xo)2f-7x0)(x-x0)n2!n!又设Sn4(x)是f(x)的泰勒级数的前n力项的和.则在U(x0)内Sn+(x)Tf(x)(什C),而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=Sn由(x)+Rn(x).于是Rn(x)=f(x)-Sn+(x)T0(n*).再证充分性.设Rn(x)T0(n廿)对一切xWU(x0)成立.因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)Fn+(x)+Rn(x).于是

40、Sn+(x)=f(x)-Rn(x)Tf(x).即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛.并且收敛于f(x).在泰勒级数中取xo=0.得f(0)f(0)x甘x2.一粤xn.此级数称为f(x)的麦克劳林级数,展开式的唯一性：如果f(x)能展开成x的哥级数.那么这种展式是唯一的.它一定与f(x)的麦克劳林级数一致这是因为.如果f(x)在点xo=0的某邻域(-R.R)内能展开成x的哥级数.即f(x)=aoaixazx2，anxn那么根据哥级数在收敛区间内可以逐项求导.有2nf(x)wi2a2x3a3x-“nanx,f(x)=2!a232a3x，n(n-1)anxn?f(x)=3!a3n(n1)(n-2)

41、anxn,-'',*f(n)(x)=n!an(n1)n(n-1)2anix，于是得f(0)f(n)(0)a0f(0)a=f(0).a2an=2!n!注意：如果f(x)能展开成x的哥级数.那么这个哥级数就是f(x)的麦克劳林级数.但是.反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x04的某邻域内收敛.它却不一定收敛于f(x).因此.如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数.则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来.但这个级数是否在某个区间内收敛.以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.二、函数展开成哥级数展开步骤第一步求出f(x)的各阶导数fx).f7x).f(n)(x)第二步求函数及其各阶导

42、数在x力处的值：f(0)f(0).f“(0).-f(n)(0).第三步写出嘉级数f(0)f(0)xf(0x2-f(n)(0)xn.2!n!并求出收敛半径R.f(n d)()第四步考察在区间(R,R)内时是否Rn(x修0(nfc),limRn(x)=limn，二n一(n1)!是否为零.如果Rn(x)T0(nc),则f(x)在(-R.R)内有展开式f(x)=f(0)f(0)Xf-X2f(n)(0)xn.(-R<x；：R).2!n!例1将函数f(x)wx展开成x的哥级数,解所给函数的各阶导数为f(n)(x)wx(n=1.2.).因此f(n)(0)=1(n=12,).于是得级数1xx2-xn2!

43、n!它的收敛半径R=之，对于任何有限的数x、t(汾于0与x之间).有en1|x|x|Rn(x)|-x|<e1-1(n1)!1(n1)!十|x|n1而n=°-所以则%=0-从而有展开式ex，x1x21xn(-:：x:二),2!n!例2将函数f(x)=sinx展开成x的哥级数,解因为f(n)(x)=sin(x+n,(nn.2.-).所以f(n)(0)顺序循环地取0.1.01.(n=0.1.2.3.).于是得级数352nAx工-(-1)n3!5!(2n-1)!它的收敛半径为R=-：，对于任何有限的数x、-(外于0与x之间).有sin喝。凶n1|Rn(x"(n1)2xM、。(

44、)因此得展开式352ndsinx=x-(-1)n1-(一二：二x：二二),3!5!(2n-1)!121n.e-1xxx十(-二x：二),2!n!例3将函数f(x)=(1+x)m展开成x的哥级数.其中m为任意常数,解：f(x)的各阶导数为f(x)=m(1x)mJ.f(x)=m(m-1)(1x)m2f(n)(x)=m(m-1)(m-2)(m-n1)(1x)mq所以f(0)1f(0)沂.f”(0)m(m1).f(n)(0)=m(m1)(m2)，(m-n+1).于是得哥级数1.mx.m(m-1)x2.mm1)(m-nDxn2!n!可以证明m.m(m-1)2m(m-1)(m-n1)n(1x)m=1mxx

45、2xn(-1：x：1).2!n!间接展开法：例4将函数f(x)=cosx展开成x的哥级数,解已知352n1sinx=x-(-1)n-(-：x：:：),3!5!(2n-1)!对上式两边求导得242ncosx=1-(-1)n(-二:x:：二),2!4!(2n)!，,，一，一1一一八一一，一例5将函数f(x)=1方展开成x的哥级数,1x2解因为=1+x+x2+xn+(-1<x<1).1-x把x换成-2.得、=1-x2x4-(一1)nx2n(T；x：1),1x2注：收敛半径的确定：由-1<丁<1得-1<x<1,例6将函数f（x）=ln（1仪）展开成x的哥级数分析因为

46、f(x)=-1-.1x而。是收敛的等比级数1 x£(1)nxn(1Q<1)的和函数： nd0上=1xx2x3：；<：(-1)nxn1x-所以将上式从0到x逐项积分.得ln(1 x) =x234n1(-1)n(-1*1)234''n1'1解 f(x) =ln(1 x)二dx二二n1"I尸陞叫尸唱""上述展开式对x=1也成立.这是因为上式右端的哥级数当x=1时收敛.而ln（1板）在x=1处有定义且连续例7将函数f（x）内inx展开成（x4）的哥级数，解因为3Tsin x =sin 4 (x-=J22cos(x-) sin(

47、x-).并且有（-二；x；二）,cos(x-)=1 -(x42!所以 sin x =-例8将函数f（x） =x2 4x 3展开成（xT）的哥级数，sin(x-4)=(x-)-3!(x-；4)3(乂-工)5-(一二二x：二).2-(x-_)3,(-二:二x：二,二),3!4解因为f(x，14x3_1一(x1)(x3)12(1x)12(3x)1_14(1/)8(1字jn"4n28nz0n(x-1)4n(-1)n('n_2Q2n-3)(x-1-(-1:二X:：3)n=022提示1x=2(x-1)=2(121)3x=4(x-1)=4(1号).-J=<_(_i)n(xdln(_1

48、:Add)1x-1n72n、2/2f=；<1尸答(_1：与口)1 .XTnd0444收敛域：由一1d和-111得-1<x<3.2 4小结：常用的展开式=1xx2-xn(T:二x：二1).1-xex=1x：x2sinx=x-0近-1nnjx(-:-<x<:-).3!5!24cosx=1-x2!4!x2x3ln(1x)=x；(4m>m(m-1)(1x)m=1mx-2!(_1)x42n1_n'(-二：二x：,).(2n-1)!2nn(一二：二x；二),(2n)!n1.(-1X1).n1x2尸一0-nJ(-131).§12.5函数的哥级数展开式的应

49、用、近似计算例i计算V240的近似值.要求误差不超过00001.解因为V240=5/243-3=3(1_工)1/534所以在二项展开式中取m=1x=-4即得5345.240超1-14-4448-冬工-)534522!38533312这个级数收敛很快，取前两项白和作为5240的近似值.其误差（也叫做截断误差）为14-149114914L2一522!38533!31254413168-6 125 381 二 1.11 工 -25 27 40 2000081于是取近似式为5240 3(1 - ' 5为了使“四舍五入”引起的误差（叫做舍入误差）与截断误差之和不超过10”.计算时应取五位小数.然

50、后四舍五入，因此最后得：5/2402.9926例2计算In2的近似值.要求误差不超过00001.解在上节例5中.令xM可得In2=1-1-（-1）n-.23n如果取这级数前n项和作为In2的近似值.其误差为|rn偿10000项进行计算.这样做计算量太大了为了保证误差不超过10".就需要取级数的前们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式234n1ln(1x)=x-人工_、(_1)nJ(-1：x<1)')234'，n1'1中的x换成上,得234ln(1-x)=-x-2-3-4-(1<x<1)两式相减.得到不含有偶次哥的展开式：In1-x=ln(1

51、x)-ln(1-x)=2(x1x31x5;：)(1：x：1).1-x3511、一一一一1 -x=2.解出x=1.以x1-代入最后一个展开式.得331111111、In2=2(f夫一丁).'3333535737如果取前四项作为ln2的近似值.则误差为1111.11_.同-2(9391131113313)2A 1 311l 9311173-4397000009于是取111111In22(f=一'33335357同样地.考虑到舍入误差.计算时应取五位小数1111110.33333110.01235110.00082140.00007333535737因此得ln 2 0 6931 .利

52、用sinx%x-1x3求sin9粕近似值.并估计误差3首先把角度化成弧度从而其次9父9(弧度)=18020(弧度).加三工匹32020320.估计这个近似值的精确度.在sinx的哥级数展开式中令H/曰x=.得20sinjiji1冗:1江71(Tl7II-I-II20203!205!207!20等式右端是一个收敛的交错级数.且各项的绝对值单调减少.取它的前两项之和作为sin工的20近似值.起误差为(0.2)"二1300000因此取二0.157080二0.0038762020于是得sin9015643.这时误差不超过10上，例4计算定积分的近似值.要求误差不超过00001（取/定0.56419）,解：将ex的哥级数展开式中的x换成t2.得到被积函数的哥级数展开式e-2=1.（zx2）（zx2）2.（zx2）!.1!2!3!二2n_一八（-1）n"（-二；X；二）.n-0n!于是.根据哥级数在收敛区间内逐项可积.得21诙2d2111nx2加2(1)n122nd0edX-0nJ。n！dX:n4n！0xdxdJ、二223