高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限

1、§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序06教学基本指标教学课题§1.6极限存在准则两个重要极限教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点两个准则，两个重要极限教学难点四个定理的证明经美赦材同济大学编高等数学（第6版）自编教材高等数学习题课教程作业布置高等数学标准化作业双语教学函数：function；极限：limit；极限值：limitvalue；课堂教学目标1 .了解两个极限存在的准则2 .掌握两个重要极限，明确其成立的条件，并掌握其基本应用教学过程1.夹逼准则（20min）,着重介绍两个准则的推导及其联系；2,应用夹逼准则证明极限lims"1（25min）米用多

2、媒体教学的方式X0X3 重要极限limsnx1的应用（10min）X0X4 .单调后界准则（10min）5 .应用单调有界准则证明极限lim（13Xe并掌握其简单应用（25min）XX本节教学设计极限的存在准则1 .背景知识与引入方法（1）我们已经学习了数列极限和函数极限的定义及具基本性质。但是，极限定义是验证性的，并没有给我们提供求出极限的方法。也就是说，要使用极限定义进行证明，首先要知道数列的极限值，然后才能进行验证。所以，如果不能设法观察出数列的极限值，我们就将无能为力。极限的四则运算法则提供了计算极限的有理运算方法，使我们能够计算一些简单极限，但事先必须能判断出极限是否存在，否则运算法

3、则无法使用。因此，我们迫切希望知道一些能够判断极限是否存在的高效简便的方法。为此，本节介绍极限存在的三个准则。（2）通过三个准则，我们会获得较为丰富的“副产品”，这就是两个重要极限。极限运算的实践告诉我们，仅仅依靠四则运算法则，只能解决有理运算问题，我们会感到束手束脚，对复杂一些的题目无从下手。因此需要寻找到更有效的方法去计算其它类型的极限，比如建立起哥函数与三角函数、反三角函数、指数、对数之间的极限关系，以及五种初等函数相互之间的极限关系。两个重要极限是导出这些重要基本关系的出发点，因此我们才说它们“重要”。（3）极限存在准则是一个比较深入的问题。这个问题的核心是“实数连续性、实数完备性”，

4、但这已经超出了本课程的范围。因此，本节所涉及到的定理并没有给出严格的数学证明。本节讲解方法应该从实际出发，利用生活常识、几何直观等对定理的引出背景及结论进行解释。2.讲解方法一、单调有界定理对于数列%,如果数列的项越来越大，我们说数列是单调增加的，如果数列的项越来越小，我们说数列是单调减少的。比如我们看到的世界跳高纪录，由于人们总是追求更高更快，世界纪录会不断被打破，所以，世界记录总是逐渐增高的，它是一个单调上升的数列。同时我们也看到另一个事实：虽然纪录不断增高，但是常识告诉我们，它不能超过100米，甚至可以断言它不会超过10米、5米、3米。这个单调增加的数列是有上界的。这样的数列还有很多，请

5、注意观察下面的数列：1111371an1,2r,-,LL,-,LLbn2，4，8，LL,2数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界.上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列xn,它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a.由于数列有无穷多项，从某一项之后的所有无穷多项都会密集在a点附近。所以，数列xn以a为极限.对单调减少且有下界的数列可作类比思考。由此得到一个事实：定理1(单调有界准则)单调有界的数列必有极限.说得更明确一

6、点，单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限。由于实数理论知识的欠缺，不对本定理进行证明(将其证明置于扩展知识部分，请参考)。定理1'(单调有界准则的函数版)若f(x)为定义在U(x0)上的单调有界函数，则右极限limf(x)存在.xx0若f(x)为定义在U(x0)上的单调有界函数，则左极限limf(x)存在.Xxo二、夹逼准则定理2(夹逼准则)设数列xn,yn,Zn是三个数列，且NN，nN，有xnZnyn,若limxnlimyna，则limzna.nnn从几何直观考虑定理白证明。由于数列xn,yn都收敛于a,因此除了有限项以外，两个数列的其它各项都会进入到a点的邻域

7、之中.又对于一切自然数nN，有xnZnyn，在xn、yn两个数列的夹持下数列Zn的相应项也就无可选择地进入到a点的邻域之中，所以数列Zn以a为极限。将这种想法翻译成“N”语言，就完成了本定理的证明。在应用这个定理进行极限计算时，要注意通过适当放大缩小不等式，寻找合适的、便于计算的控制数列心口,yn.3.难点及解决方法在应用夹逼定理作极限计算时，难点在于构造夹逼数列。应该引导学生认识到：（1）夹逼法是处理极限难题的有效方法，当计算出现障碍时，要能够想得起这件工具；（2）构造夹逼数列的思路是进行适当放大缩小；（3）夹逼数列首先应该满足上控数列与下控数列的极限相同，（4）夹逼数列要便于计算。例2和例

8、3从不同角度提供了构造夹逼数列的思路和技巧。求递推式的极限是另一个难点。由于这类题目的特色十分明显，解题思路并不难，例1提供了一种典型的套路：即（1）分析单调性；（2）分析有界性；（3）根据单调有界准则确认极限存在，设为A;（4）对递出极限，运用极限定义证明也是“猜”推式两端取极限，化作方程解出极限Ao另外，由于可以1lim 1 x x e x 0用的思路。4.与其他知识点的关联e, lim 1x（1）根据单调有界准则，可以得到重要极限limn0sinx根据夹逼准则，可以得到重要极限limsn21x0xxn收敛的Cauchy 准则,n维欧式空间中的（2）柯西收敛准则可以推广到其它场合。如：平面

9、点列Cauchy准则，级数Un收敛的Cauchy准则。n1（3）柯西收敛准则的实质是抽象空间中的“完备性”概念。5.扩展知识1）单调有界准则的证明：证明：设an是单调增加且有上界的数列.由于an有上界，根据上确界存在定理，必有上确界supana下面证明a就是该数列的极限。根据上确界的定义，0,NN，使得aNa-.Qan单调增加，nN,aaNanaa这意味着|an-a所以，limanan教学基本内容§16极限存在准则两个重要极限准则I如果数列xn、yn及Zn满足下列条件ynxnzn(n123(2)limynalimznann那么数列Xn的极限存在且limnxnaa|a|备注栏证明因为l

10、imynnlimznan根据数列极限的定义当nN1时有|y又因yn又N20当同时成立即xnzn所以当nN2时有|znynaaI时有aa|现取znaynXnznNmaxN1N2则当nN同时成立a即|xna|时有|yna|z这就证明了limnxna即有简要证明a由条件(2)ynaaZna当nN时有|yna|由条件(1)有及|zna|ynxnZna即|xna|这就证明了limxnan准则I(1)g(x)f(x)如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件h(x)(2)limg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A注如果上述极限过程是xx0要求函数在x0的某一去心邻域内有

11、定义x要求函数当|x|M时有定义准则I及准则I称为夹逼准则上述极限过程是卜面根据准则I证明第一个重要极限limsinx1x0x证明首先注意到函数应对于一切x0都有定义参看附图图中的圆为单位圆X因为SAOBS扇形AOBSAOD所以jl/4O月二K瓠度)(0。-)由于此圆为单位圆弦CZ)=sinx.不等号各边都除以sinx就有1112sinx?x1,口2tanx即sinxtanxx1sinxcosxsinxd或cosx1xlimsinx 1x 0 xBC AB AD 因此 sin x x注意此不等式当x0时也成立而limcosx1根据准则I2x0简要证明参看附图设圆心角AOBx(0x-2)显然si

12、nx,tanx从而cosx1x（此不等式当x0时也成立）因为叫cosx1根据准则应注意的问题在极限limsin(x)中只要(x)（x）是无穷小就有sin(x)dlim1(x)这是因为令u(x)则u0sin(x)0于正lim(x)limu0sinu1ulimsinxx0xsin(x)1lim1(x)'(x)0)求limx0tanxxlimtanxx0xlimsinxx0xcosxlimsinxlim2求lim1x0cosxx2limx01cosxx22sin2lim2_2x0x21-lim2x0._2xsin22(x)20cosx1lim2x0一xsin2x2212准则II如果数列xn满

13、足条件单调有界数列必有极限xn满足条件x1x2x3xnxn1xn就称数列xn是单调增加的如果数列就称数列xn是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列xn满足条件xnxn1nN在第三节中曾证明收敛的数列一定有界但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则II表明如果数列不仅有界定收敛准则II的几何解释并且是单调的那么这数列的极限必定存在单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能后者情况发生根据准则II可以证明极限limn(11)n存在n也就是这数列一或者无限向右移动设xn(1现证明数列xn是单调有界的按牛顿二项公式有xn(11n)n1!1(12

14、!n(n1)11(13!2!n2n)(1n)n(n1)(n2)1n(n1)(nn1)n3n!1nnxn11为1土）11(1)(13!'n1八1(1(n1)!'2)(1n1)(1比较xn最后一项1n!(1n、n1)xn1的展开式可以看出除前两项外12)(1-)nnn!(1(112n1)(1)(1)n1八n1n1xn的每项都小于xn1的对应项并且xn1还多了其值大于0因此xnxn1这就是说数列xn是单调有界的这个数列同时还是有界的因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替得xn1112!1111113!n!22212n112n123d312n12根据准则II数列xn必有极限这个极限我们用，一r1ce来表不即lim(1-n)ne我们还可以证明lim(1xx)xee是个无理数它的值是e271828