无穷小及比较

1、应应 用用 高高 等等 数数 学学 （06级融资理财级融资理财1班）班）主讲：彭如海教授主讲：彭如海教授 岭岭 南南 学学 院院 江江 苏苏 科科 技技 大大 学学第第4讲讲 无穷小量的比较无穷小量的比较 1。5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 1。6无穷小量的比较无穷小量的比较第一章函数极限连续1。5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小一、无穷小1.定义定义1。12:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1

2、(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般

3、极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:性质性质1。1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数有限个无穷小的代数和仍是无穷小和仍是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小

4、，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn性质性质1。2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内内有有界界，在在设设函函数数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无

5、穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为为无无穷穷小小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim

6、. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim

7、1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有时

8、时使使得得当当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.四、小结四、小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷

9、小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.思考题思考题若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx课堂练习课堂练习 习题习题15 ） 1、2、5第一章函数极限连续第一章函数极限连续1。6无穷小量的比较无穷小量的比较定义定义1。14设设 ( x ) 和和 ( ( x ) 为为( ( x x0 或或 x ) ) 两个无穷小量两个无穷小量. 若它们的比有非零极

10、限若它们的比有非零极限，cxx )()(lim ， )0( c 若若 c = 1，则称则称 ( x ) 和和 ( (x ) 为等价无穷小量为等价无穷小量，则称则称 (x ) 和和 ( (x ) 为同阶无穷小为同阶无穷小. 并记为并记为 ( x ) ( ( x )，( ( x x0 或或 x ) ) .即即例如，在例如，在 x 0 时时 sin x 和和 5 x 都是无穷小量，都是无穷小量，且且.515sinlim0 xxx所以当所以当 x 0 时，时，sin x 和和 5 x 是同阶无穷小量是同阶无穷小量.又如，因为在又如，因为在 x 0 时，时， x ，sin x，tan x， 1 - -

11、cos x，ln(1 + + x) 等都是无穷小量等都是无穷小量., 1sinlim0 xxx, 1tanlim0 xxx, 121cos1lim20 xxx. 1)1ln(lim0 xxx所以，当所以，当 x 0 时，时， x 与与 sin x， x 与与 tan x，都是等价无穷小量，都是等价无穷小量，),cos1(212xx 与与x sin x，x tan x，ln(1 + x) x.,2cos12xx 即即x 与与 ln(1 + x )并且并且定义定义1。15设设 ( x ) 和和 ( (x ) 为为 x x0 ( (或或 x ) ) 时的无穷小量时的无穷小量，0)()(lim xx

12、则称当则称当 x x0 ( (或或 x ) )时时， ( x ) 是是 ( ( x ) 的的高高阶无穷小量阶无穷小量，例如，例如， x2, sin x 都是都是 x 0 时的无穷小量时的无穷小量, 且且， 0sinlim20 xxx所以，当所以，当 x 0 时，时， x2 是是 sin x 的高阶无穷小量，的高阶无穷小量，即即 x2 = o(sin x). 或称或称 ( ( x ) 是是 ( x ) 的的低阶无穷小低阶无穷小量量，记为记为 ( x ) = o ( ( ( x ) .若它们的比的极限为零若它们的比的极限为零，即即 定理定理 1。4设设 ( x ) 1 1( ( x )， ( x

13、) 1 1( ( x )，)()(lim)()(lim11xxxx . )()(lim xx 或或)()(lim11xx 且且存在存在( (或无穷大量或无穷大量) )，)()(lim xx 则则也存在或也存在或( (无穷大量无穷大量) )，并且并且，和和1)()(lim 1)()(lim11 xxxx 证证 由定理条件可知由定理条件可知因此有因此有 )()()()()()(lim)()(lim1111xxxxxxxx )()(lim)()(lim)()(lim1111xxxxxx .)()(lim11xx ，那那么么考考虑虑若若0)()(lim )()(lim1111 xxxx 即可仿上面的证

14、法即可仿上面的证法 .1e)1ln(lim0 xxx计算计算例例 1解解因为因为 x 0 时，时，ln (1 + x) x， ex - - 1 x，所以所以.1lim1e)1ln(lim00 xxxxxx【见上次讲稿 例10 】.35tanlim0 xxx计计算算例例 2解解因为因为 x 0 时，时，tan 5x 5x，所以所以.3535lim35tanlim00 xxxxxx例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .注意注意.sinsintanlim 30 xxxx 计计算算例例 4解解.sincoscos1sinlimsinsintanlim3030 xxxxxxxxx xxxxx200sincos1limcos1lim .2121lim1220 xxx若直接用若直接用 x 代替代替 tanx 及及 sinx，. 0li