[3]第三章复变函数的积分

1、 复变函数复变函数 与积分变换与积分变换 大学数学多媒体课件大学数学多媒体课件2022-3-262 目目 录录33.1 复积分的概念3.2 柯西积分定理3.3 柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数本章小结v 思考题4一、积分的定义一、积分的定义 有向曲线有向曲线：设C为平面给定的一条光滑（或按段光滑）的曲线，如果选 定C的两个可能方向的一个作为正方向（或正向），则我们就把C称为有向曲线与曲线C反方向的曲线记为 积分的定义： 简单闭曲线的正方向简单闭曲线的正方向：当曲线上的点P顺此方向前进时，邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方，这时曲线方向称为简单闭曲线的简单闭曲线的正方向 ( )wf zD

2、设函数定义在 内，C为区域D内起点为A终点为B的一条有向光滑的简单曲线 (1)Cn把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为：0121,kknAzz zzzzB(0,1,2, )kkkzxiy kn其中，分1C逆时针51(2)(1,2,)kkkkkzzkni粗分：在每个弧段上，任取一点，1()()(),kkkkkfzfzz则1.kkkkkzzzxi y 其中111()()(),nnkkkkkkkfzzfz(3)和：0n(4)精分：设 表示 个小弧段的最大长度，当时，kC无论 怎样分，怎样取，( )f zCAB则称此极限值为函数沿曲线 自 到 的复积分.01( )lim().nkkCkf z dzfz

3、记作：().类似于微积分中的曲线积分如果和式的极限唯一存在，C0zA1z1kzkz1nznzBkOxy6( ),CCf z dz(1)若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为(2)( )Cf z dzCAB积分表示沿曲线 自 到 的复积分，( )Cf z dzCBA积分表示沿曲线 自 到 的复积分.二、积分存在条件及其计算方法二、积分存在条件及其计算方法 ();C的正方向是逆时针方向定理1：( )( , )( , )f zu x yiv x yC设函数在光滑曲线 上连续，( )Cf z dz则复积分存在，且有积分公式：( )( , )( , )( , )( . )CCCf z dzu x y dxv x

4、 y dyiv x y dxu x y dy1( )( )( ).nCCCf z dzf z dzf z dz123,nCC C CC(3)若曲线 是由等光滑曲线段依次相互连接而成，则有7证明：11() (,)(,)()nnkkkkkkkkkkfzuivxi y 11 (,)(,) (,)(,)nnkkkkkkkkkkkkkkuxvyivxuy ( )f zC由于函数在光滑曲线 上连续，( , ), ( , ),u x y v x yC在光滑曲线 上也连续0当时，( )( , )( , )( , )( . ).CCCf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy

5、上式右端极限存在，且有注意：(1)( )( , )( , )f zu x yiv x yC当函数在光滑曲线 上连续，(2)( )Cf z dz可以通过两个二元实变函数的曲线积分来计算.( )Cf z dz则复积分存在；8()Cfzd z( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )Cf z dzu x ty tiv x ty tx tiy tdt( ) ( ) ( ).Cf z dzf z t z t dt( ),( )xx tCtyy t 光滑曲线 参数方程：( )( )( ),Czz tx tiy tt 复数形式的曲线 参数方程：( )( , )( , )( , )( . )CC

6、Cf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy这种计算复积分方法在已知曲线C的参数方程的条件下适合。( ),( )()().CCf zuiv dzdxidyf z dzuiv dxidy令则 根据9 例1解：320iz dz沿下列路线计算积分，其中(1)3i自原点至的直线段；(2)33. i自原点沿实轴至 ，再由铅直向上直线至3i(1)连接原点至的参数直线的方程为：(3) ,01zi tt312200(3) (3)iz dzi ti dt13 20(3) i t dt3 3 13011(3)|(3) .33i ti(2):,03:3,01OA zxxAB zi

7、yy 曲线方程为：，32220iOAABz dzz dzz dz312200(3)(3)x dxiy diy3 33 10011(3) 33xiy333311113(3)3(3)3333ii注意：因此沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关(注意到f(z)=z2是解析函数)， 33 i( ) ( ) ( )Cf z dzf z t z t dt10 例2010.()nCdzCzrnzz计算，其中 为以 为中心， 为半径的正向圆周， 为整数解：22200()()xxyyr圆周的参数方程为：00cos,02sinxxryyr00(cos )(sin ),02zxri yr复数形式的参数方程

8、为：000()(cossin ),02izxiyrizre10()nCdzzz2221(1)000iinni nninnire diidedrer er0n 当时，21002;()nCdzidizz0n 当时，2100(cossin)0.()nnCdzinindzzr102,010,0()nCindznzz综上所述：这个积分结果以后常用，它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关 11 例3CzdzC计算的值，其中 为01(1)1(1) ,01ziCzi tt 沿从原点到点的直线段 ：12(2)1,01zCztt 沿从原点到点的直线段：1031,01zzCzitt 与从 到 的直线段 ：所接成的

9、直线.01zi 11z 解：1100(1)()(1)21;Czdztiti dttdt23(2)CCCzdzzdzzdz1100(1)tdtit idt11()122ii 由此题可以看出，尽管起点、终点相同，但由于沿不同的曲线积分，所以积分值也是不同的( )f zz注 意 到 ：不 解 析12三、复积分的性质三、复积分的性质 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因此，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立 (1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( ),();CCkf z dzkf z dz k为常数(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg

10、z dz1212(4)( )( )( );CCCf z dzf z dzf z dzCCC，(其中(5)( )( ).CCf z dzf z ds13证明性质（5）： 1|()|nkkkfz1|()|nkkkfz1|()|,nkkkfs1kkkszz其中是小弧段的长，22|kkkkzxys 22| |dzdxidydxdyds注意：，因此01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfs( )( )CCf z dzf z ds( )( )CLf zCf zM特若曲线 的长度为 ，函数在 上有界，即：别地，( )( )CCf z dzf z dsML（估计

11、不等式） 14 例434,Ci设曲线 为从原点到点的直线段解：(34 ) ,01Czi tt 的参数方程为：11CCdzdszizi由估计不等式：221111(34 )3(41)9(41)zii tittittC因为在 上，所以21534925()2525t155255.333CCdzdszi从而有：1.Cdzzi试求积分绝对值的一个上界15 例532| |0lim0.1zrrzdzz试证：证明：0,1rr这里讨论故不妨设，334222| |2|2111zrzrrdzrzrr0r 上式右端当时的极限为0，故左端极限也为0,32| |0lim0.1zrrzdzz即：由估计不等式得：| zr因为在

12、上，33332222,1111zzzrzrzz222211()1=1zzzz 12z0三角形两边只差小于第三边16从上一节所举的例子来看: 2( )f zz例1中的被积函数在复平面内是的，它沿连接起处处解析点及终点的任何路线积分值都相同，换句话说，积分是与路径无关的 ( ),f zzuxvyCR 例3中的被积函数，它的实部虚部不满足方程，.Czdz所以在平面上，且积分与路处不解析径有关处0010()nzCzz例2中的被积函数当时为，它在以 为中心的圆周 内部00zz不是处处解析的，因为它在 没有定义在 处不解析，当然，而此时积分：020.Cdzizz 由此可猜想：积分的值与路径无关或沿闭曲线积

13、分值为零的条件与被积函数的解析性及区域的单连通性有关究竟关系如何，下面我们讨论此问题 00zzC如果把 除去，虽然在除去 的 的内部，函数处处解析，但是这个区域已经不是单连通区域.17一、柯西积分定理一、柯西积分定理 ( )f zD设函数在单连通区域 内定理3.2（柯西古萨基本积分定理） ( )f zDC那么函数在 内沿任何一条封闭曲线 的积分为零，( )0.Cf z dz D(1)单连通区域C(3)闭曲线(2) ( )f zD在区域 内处处解析( )0.Cf z dz 则柯西积分定理表明，函数满足以上条件，则积分与路径无关 处处解析，即：G18证明：( )( )( )f zDfzfz因为函数

14、在区域 内解析，故存在,(下面在连续的假设下证明uv因为 与 的一阶偏导数存在且应用格林连续，故公式得：( )()()( , )( , )( , )( . )CCCCf z dzuiv dxidyu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy()()GGvuuvdxdyidxdyxyxy ( ),GCf zCR其中 为简单闭曲线 所围区域，由于函数解析，方程成立( )0.Cf z dz( , ),( , )CP x y Q x y格林公式：（1）曲线 封闭、正向；（2）具有一阶连续偏导数；().CGQPPdxQdydxdyxy则19说明：(1)( )CDfDCz若曲线 是

15、的边界，如果函数在上连续内解析和，那么仍有：( )0.Cf z dz D(1)单连通区域C(2)闭合曲线边界(3) ( )f zDC在 内解析和 上连续( )0.Cf z dz 则20定理3.3：01( )f zDzzD设函数在单连通区域 内解析， 与 为 内任意两点，120112CCzzCCD与为连接 与 的积分路线，与都含于 内，则12( )( )CCf z dzf z dz1C2C0z1zD12( )( )CCf z dzf z dz1212( )( )( )0CCCCf z dzf z dzf z dz证明：依柯西-古萨基本定理12( )( ).CCf z dzf z dz21 例6s

16、in|1| 102.CzdzCz 计算积分，其中 是圆周的上半周，从 到解：sin z因为函数是全平面的解析函数，由柯西-古萨基本定理:1,C它的积分与路径无关，于是可以换一条路线沿实轴从0到2积分得：1sinsinCCzdzzdzoxyC1C220sin1 cos2.xdx 22二、复合闭路定理二、复合闭路定理 定理3.4：(闭路变形定理 ） 1221CCCC设与是两条简单闭曲线，在 内部，1212( )f zCCDDDCC函数在 与所围成的二连通区域 内解析，而在上连续，12( )( ).CCf z dzf z dz1C2CABD区域1,LABBC CDDA设2,LBA AD DC CB由

17、柯西 古萨基本定理得：12( )0,( )0LLf z dzf z dz12( )( )LLf z dzf z dz证明：12( )( )0,CCf z dzf z dz12( )( ).CCf z dzf z dz 一个解析函数沿闭曲线的积分，不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它的值这事实称闭路变形定理闭路变形定理 则CD2C23推论：（复合闭路定理） CD设 为多连通区域 的一条简单闭曲线，12,nC CCC 是在 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以12,( )nC C CCDf zD为边界的区域全包含于 ，如果函数在 内解析，则1( )( ),knCCkf z dzf

18、z dz1C2CnCCD( )0f z dzkCC其中 及均取正方向.(1,2, )kCCkn这里 为 及，逆时针是按正向()进行.所围成的复合闭路,其方向1( )( )0knCCkf z dzf z dz或者kC顺其中按时针进行.24002CdzCzizz在本章第一节的例2知：当 为 为中心的正向圆周时，002.PzPdzizz包含奇点 的任何一条正向简根据闭路变形原理，对，单闭曲线都有 例121.CdzCzzz计算积分的值，其中 为包含圆周在内任何正向简单闭曲线1C2CC1z 解：21( )f zzz因为函数在复平面内0,1Czz所以在 内以为圆心分别作2(1)CCdzdzzzz z11(

19、)1Cdzzz0,1zz除两个奇点外是处处解析的，两个互不包含也互不相交的正向圆周12CC与，根据复合闭路定理，得：121111()()11CCdzdzzzzz02200ii25三、原函数与不定积分三、原函数与不定积分 定理3.5：( )( )Cf zDf z dz设函数在单连通区域 内处处解析，则积分与连接.C起点及终点的路线 无关015zz由定理 知：解析函数在单连通区域内积分只与曲线的起点 及终点 有关，10( )( ),zCzf z dzf z dz表示与积分路径无关.1积分上限函数 01zzz若固定 ，让上限变动，则积分0( )zzf z dzz称为积分上限 的函数，记作：00( )

20、( )( ).zzzzF zf z dzfd此时与实变函数类似。即：26定理3.6：( )( )f zDF zD设函数在单连通区域 内解析，则函数必为 内的一个解析函数，0( )( )( )zzF zfdf z证明：,zzkD以 为中心作一含于的小圆zzzk取充分小，使在 内，于是00()( )( )( )zzzzzF zzF zfdfd00( )zzzfdzz由于，因此的积分路线可取先从积分与路径无到关，zzz然后再从 沿直线段到，00( )zzzzfd而从 到 的积分路线取得与积分的积分路线相同，于是有( )( )zDf zDf zD设 为 内任意一点，因为函数在 内解析，在 内连续，00

21、zD 因此对，总可以找到一个，使得对于满足( )( ).ff z的一切 ，都有且27根据积分估值性质：()( )1( )| ( )( )|zzzF zzF zf zff z dzz11( )( )zzzff z dszzz0()( )lim( )0zF zzF zf zz 也就是说，( )( ).F zf z即：0zzzzk小圆半径为 的圆周()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zfdzf zzz从而1( )( )zzzzzzfdf z dz1 ( )( )zzzff z dzD282原函数的概念 ( )( )( )( )F zDf zF zf z定义：如果函数在区域 内的导数

22、恒等于，即，( )( ).F zf zD则称函数为在区域 内的原函数0( )( )( )zzF zfdf z(1)积分上限函数是的一个原函数；( )f z(2)函数的任意两个原函数之差为一常数；( )( )f zDF z如果函数在区域 内有一个原函数，那么它( ),F zC C就有无穷多个原函数( 为任意常数).结论： 29定理3.7：( )( )( )f zDG zf z设函数在单连通区域 内解析，函数为的一个原函数，则1010( )( )()zzf z dzG zG z01,.z zD,其中为区域 内的两点证明：0( )( )( )zzG zf z dzf z因为是函数的一个原函数，0(

23、)( )zzf z dzG zC所以，0000( )()0zzzzf z dzG zC当时，0(),CG z 00( )( )()zzf z dzG zG z于是，1010( )( )().zzf z dzG zG z类似类似牛顿牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式30 说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用跟微积分学复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法（例如：中类似的方法（例如：分部积分法分部积分法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法、第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法等去计算等去计算.110010 ( ) ( ) ( )( ) () ()zzzzfzz

24、dzfz dzFzFz第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）分部积分法分部积分法110010 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )zzzzzf z g z dzf z g zfz g z dzz第二类换元法第二类换元法110011100( ) ( )( ) ( )zzzztzf z dzft dtG tGztz( )zt复合函数参数方程31 例21ln(1)Im( )0,Re( )011izzzzdzz试沿区域内的圆弧，计算积分的值.解：ln(1)( )1zf zz因为函数在所设区域内解析，2111ln(1)1ln(1) ln(1)ln (1)|12iiizdzzdzzz22

25、1ln (1)ln 22i2211( ln2)ln 2224i23ln 2ln2.3288i 例311izze dz求积分的值.解：( )zf zze函数在全复平面内解析，11111111=|iiizzzizze dzzdezee dz111(1)|izii eee 111(1)iiii eeie(cos1sin1)ieieeii( sin1cos1).ei 这里使用了微这里使用了微积分学中的积分学中的 “凑凑微分法微分法”.这里使用了微积分学中这里使用了微积分学中“分部积分法分部积分法”.32一、柯西积分公式一、柯西积分公式 0( )( )0.Cf zDzDf z dzD在 内设 为一单连通

26、区域， 为 中一点，如果，则解析000( )f zzDzzCz但，所以在 内沿围绕 的一条封闭曲函数线在 处不解析的积分0( )Cf zdzzz一般不为零，那它又为多少呢？0z根据闭路变形定理，这个积分沿着任何一条围绕 的简单闭曲线都是相同的，00zzz我们取以 为中心，半径为 的很小的圆周（取其正向）作为积分( )( )Cf zCf z曲线 ，由于函数的连续性，在 上函数的值将随 的缩小00( )Cf zzdzzz而逐渐接近于它的圆心 的值，从而可以猜想：积分的值也将随 的缩小而逐渐接近于0000( )1()2()CCf zdzf zdzif zzzzz330zC00( )f zzzz在 处

27、不解析100( )( )CCf zf zdzdzzzzz由闭路变形定理：1C2C3CnC200( )( )nCCf zf zdzdzzzzz( )f z由于函数的连续性,0( )(),f zf z000000( )()1( )2()()=2CCCf zf zf zdzdzif zf zdzzzzzizz猜想：( )f zD在 内解析34定理8：(柯西积分公式） ( )f zC设函数在简单闭曲线 所围成的区域0DDDCzD内解析，在上连续，为 内任意一点，则001( )().2Cf zf zdzizz证明：00( )f zzz由于函数在 解析然在，当点连续，000,( )0,( )().zzf

28、zf z 当时，都有00 zLzzC作以 为中心， 为半径的圆周 ：，使其全部在 的内部，且，则00( )( )CLf zf zdzdzzzzz0000()( )()LLf zf zf zdzdzzzzz000( )()2()Lf zf zif zdzzz0000( )()( )()2LLCf zf zf zf zdzdsdszzzz而00( )()0=0Lf zf zdzzz00( )2().Cf zdzif zzz于是0zLDC35说明：(1)( )f zCC如果在 所围区域内及 上解析，则上式仍成立；(2)C这个公式把一个函数在 内部任一点的值用它在边界上的积分值表示，( )f z这是解

29、析函数的又一特征.推论1：（平均值公式） 00( )|f zzzRzzR设函数在内解析，在上连续，则20001()(Re ).2if zf zd这表明解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论2：12( ),f zC CD设函数在简单闭曲线所围成的二连通域 内解析，12,C C并在210CCzD上连续，在的内部， 为 内一点，则1200001( )1( )1( )().222CCCf zf zf zf zdzdzdzizzizzizz0eizzR001( )()2Cf zf zdzizz可用复合闭路定理证明：12000( )( )2()+CCf zf zdzif zdzzzzz36 例1

30、计算下列积分| | 41sin(1),2zzdziz412(2)().13zdzzz解：441sin1sin(1)=22-0zzzzdzdziziz0sin|0.zz412(2)()13zdzzz441213zzdzdzzz2226.iii 例2( )( )f zg zDCD设函数与在区域 内解析， 为 内任意一条简单( )( )Df zg zC闭曲线，它的内部完全属于 ，如果在 上所有的点( )( ).Cf zg z都成立，试证明在 内部区域所有的点处也成立001( )().2Cf zf zdzizz00( )2()Cf zdzif zzz37000()().Czf zg z在 内部任意取一

31、点 ，只需证明即可( )( )( )F zf zg z设，( )( )( )0Cf zg zF z因为在 上有，则，( )F zD而又是 内的解析函数，由柯西积分公式，得：0001( )1( )( )()022CCF zf zg zF zdzdzizzizz0()0,F z00()().f zg z从而0( )( ).zCf zg z由于 的任意性知：在 内部有成立证明：( )( )CDCf zg z因为 为 内任意一条简单闭曲线，在 上，( )( ).Cf zg z现在证明在 内部001( )().2Cf zf zdzizz38 例3计算下列积分 2,(1)Cdzz z 3.2C zi其中

32、：的正向解：210(1)Czziz z因为函数在 内有两个奇点，及，12104zziCC所以分别以及为圆心，以为半径作圆周及，由复合闭路定理，得：12222(1)(1)(1)CCCdzdzdzz zz zz z12211(1)()(CCzz zidzdzzzi122(0)2( )ifif i1212().2iii 0iixy0iixyCC1C2C1( )f z2( )fz39二、最大模原理二、最大模原理 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性质，即解析函数的最大模原理.定理9：(最大模原理） ( )( )f zDf z设函数在无界区域 内解析，又函数不是常数，|( )|Df z则在 内没有

33、最大值. 这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部达不到最大值，除非这个函数恒等于常数这是解析函数一个非常重要的原理解析函数一个非常重要的原理 推论1：DD无界区域 内解析的函数，若其模在 的内点达到最大值，则此函数必恒为常数.推论2：( )f zDD若函数在有界区域 内解析，在 上连续，|( )|f zD则必在 的边界上达到最大值.说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理。比如：它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体流速的最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体 40一、解析函数高阶导数公式一、解析函数高阶导数公式 一

34、个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定 ，更不要说有高阶导数存在了下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题 1( )( )2Cff zdziz我们将柯西公式：形式在积分号下对 求导得：21( )( ),2()Cffzdiz再继续又可得： 32!( )( ),2()Cffzdiz( )( )nnfz依次类推， 阶导数的可能形式是：( )1!( )( ).2()nnCnffzdiz41定理10：( )f zCDDDC设函数在简单闭曲线 所围成的区域 内解析，

35、而且在( )f zDDz上连续，则函数的各阶导数均在 内解析，对 内任一点 ，有( )1!( )( ),(1,2,).2()nnCnffzdniz证明：1zDn 设 为 内的任意一点，先证明的情况，即21( )( ).2()Cffzdiz0()( )( )limzf zzf zfzz 根据导数定义：，由柯西积分公式得：1( )( ),2Cff zdiz1( )()2Cff zzdizz 0111( )lim( )2Czfzfdi zzzz 01( )lim2()()Czfdizzz 4221( )()2() ()Cfzzzdizzz 221( )1( )2() (2()CCzfdizzizfd

36、z设后一个积分为 ，那么21( )2() ()Czfdzzz 2( )12()()Cz fdszzz( ),f zCCC因为在 上解析，所以 上连续，故在 上有界0( ).Mf zM因此一定存在，使12dzCzzd 设 为从 到曲线 各点的最短距离，并且取适当小，使满足，11,zdzd那么有，| |,2dzzzz 于是3,()MLzLCd 所以为 之长32()()2dzzz00z 当时，从而有21( )( ),2()Cffzdiz.这 证 明 了 解 析 函 数 的 导 数 仍 是 解 析 函 数43nk要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设时公式成立，1nk证明时也成立，即证明下式：( )

37、( )()( )kkfzzfzz 221(1)!( )(1)!( )2()2()kkCCkfkfddzizziz 102(1)!( )0().2()kkCkfzfzdiz 同样的步骤，可以证明当时，有说明：（1）此公式可理解为把柯西公式 1( )( )2Cff zdizzn两边对 求 阶导，右边在积分号内求导，即( )1!( )( )2()nnCnffzdiz（2）高阶导数公式的作用不在于通过积分来求导，而在于通过求导来积分，即 ( )010( )2().()!nnCf zidzfzzzn44 例11.Czr求下列积分的值，其中 为正向圆周：5cos(1),(1)Czdzz22(2).(1)z

38、Cedzz 解：5cos1cos(1)zCzzCz(1)函数在 内除外处处解析，而在 内处处解析，因此有：5cos(1)Czdzz(4)41122(cos)|cos|(5 1)!4!zziizz5.12i 22(2)(1)zeCziz 函数在 内的处不解析，12CiCiC我们在 内作以 为中心的正向圆周 ，以为中心的正向圆周，1222(1)zeCCCz 那么函数在由 ，和 所围成的区域内是解析的，根据复合闭路定理：12222222(1)(1)(1)zzzCCCeeedzdzdzzzziixyC1C2C45122222()()()()zzCCeezizidzdzzizi2222(2 1)! ()(2 1)! ()zzz iziieiezizi2244()2()()2()22()()zzzzz izie ziezie zieziiizizi( 44 )( 44 )2()2()1616iieieiii (1)(1)2222iiiiiii ei eeeeeiii22 sin1cos12sin1cos122iii2sin(1).4iiixyC1C2C46 例23,1,2.(1)(2)CdzCzr rzzz 计