求导的运算法则

1、第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与求导公式四、基本求导法则与求导公式 五、小结五、小结 思考题思考题一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )

2、1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf推论推论; )(

3、 )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf例例1 1.sin223的的导导数数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)

4、(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的的导导数数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh 例例6 6).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,

5、0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数

6、的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例7 7.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcs

7、in x.11)cot(2xx arc例例8 8.log的的导导数数求求函函数数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内内有有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变

8、等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例9 9.sinln的的导导数数求求函函数数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy x

9、ucos1 xxsincos xcot 例例1010.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1111.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例1212.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1313.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(

10、sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 四、基本求导法则和求导公式四、基本求导法则和求导公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求

11、导法则设设 都可导，则都可导，则)(),(xvvxuu )0()()4(, )()3( )()2(, )()1(2 vvuvvuvuuvvuuvCCuCuvuvu是是常常数数）3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导导数数为为的的则则复复合合函函数数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例1414.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xx

12、xxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例例1515.)(sin的的导导数数求求函函数数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 五、小结五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的

13、求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.思考题一思考题一 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x思考题一解答思考题一解答232xy

14、 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设xxysin ，则，则y = = _._.2 2、 设设xeayxx23 ，则则dxdy=_.=_.3 3、 设设)13(2 xxeyx, ,则则0 xdxdy= = _._.4 4、 设设1sectan2 xxy, ,则则y = =_._.5 5、 设设553)(2xxxfy , ,则则)0(f = =_._.6 6、 曲线曲线xysin2 在在0 x处的切线处的切线轴轴与与x正向的正向的夹角为夹角为_._.练练 习习

15、 题题二、二、 计算下列各函数的导数：计算下列各函数的导数：1 1、 211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、 21csc2xxy ； 4 4、ttxf 11)(, ,求求)4(f ； 5 5、)0, 0( baaxxbbaybax. .三、三、 求抛物线求抛物线cbxaxy 2上具有水平切线的点上具有水平切线的点. .四、四、 写出曲线写出曲线xxy1 与与x轴交点处的切线方程轴交点处的切线方程. .一、一、1 1、)cos2sin(xxxx ；2 2、22ln3xeaaxx ； 3 3、2 ； 4 4、)tansec2(secxxx ；5 5、253；6 6、4 . .二、二

16、、1 1、 22)1(21xxx ； 2 2、2)110(10ln210 xx； 3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ； 4 4、181； 5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax . .三、三、)44,2(2aacbab . .四、四、022 yx和和022 yx. .练习题答案练习题答案思考题二思考题二 若若)(uf在在0u不不可可导导，)(xgu 在在0 x可可导导，且且)(00 xgu ，则则)(xgf在在0 x处处（ ）（1）必必可可导导；（2）必必不不可可导导；（3）不不一一定定可可导导；思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(

17、uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)( 在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x )1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf )2(在在 处可导，处可导，0 x一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设4)52( xy, ,则则y = =_._.2 2、 设设xy2sin , ,则则y = =_._.3 3、 设设)arctan(2xy , ,则则y = =_._.4 4、 设设xycosln , ,则则y = =_._.5 5、 设设xxy2tan10 ，则，则y = =_._.6 6、 设设)

18、(xf可导，且可导，且)(2xfy ， 则则dxdy= =_._.7 7、 设设xkexftan)( , ,则则)(xf = =_， 若若ef 4 ，则，则 k_._.练练 习习 题题 2二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf, ,求函数求

19、函数)()(22xgxfy 的导数的导数 . .四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 . .一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221xa ； 4 4、xcsc； 5 5、242arcsin2xx ； 6 6、)1(2arctanxxex ；练习题练习题2答案答案 7 7、22)(arccos12xx ； 8 8、)1(2)1(1xxx . . 三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf . . 思考题三思考题三幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；