安徽省专升本高数真题

1、安徽省 2012年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1 .试卷共8页，请用签字笔答题，答案按要求写在指定的位置。2 .答题前将密封线内的项目填写完整。一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题 后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）3ex,x <01.若函数f(x)=sinx在x=0在处连续，则a= (C)a, x 0,x解：由 f (0 +0) = f (0 0) = f (0)得 a +1 =3= a =2,故选 C.2.当xt 0时，与函数f (x) = x2是等价无穷小的是(A)2、A. ln(1 x ) B. sin x

2、C. tan xD. 1 - cos x解：由 lim f (x)2) = lim -x一2y = 1，故选 A.x /n(1 x) x)0 ln(1 x )3 .设y = f(x)可导，则f(e') 二 (D)A. f (e")B. - f (e*)C.eOf (e*) D. -e"f (e”)解：f (e")' = f (e") (e")' = e" f '(e')，故选 D.14 .设一是f(x)的一个原函数，则jxf(x)dx= (B) x1c1 01 Q 1A. -x2 C B.x2

3、CC.-x3 CD.-x4lnx C2234F，一 ,_. 1 一 一 ,_. _, 一,1 '1解：因1是f(x)的一个原函数，所以f(x)= 1 =4，所以 xxxjx。1 o . .Jx f(x)dx = - xdx = -x +C 故选 B.5 .下列级数中收敛的是(C)n -7n/3/4 71n1A： 土/ B.-J C3Drsin，n 1 3nd'- 3n _ 2n ：i 2 n 1 2n(n 1)3，33qQ 3解：因lim 上一=11而(£邙_=) <1,所以收敛，故选C.n n 2n ' n 2n22n1y216.交换I = f dy

4、? f(x,y)dx+ j dyf (x, y)dx的积分次序，则下列各项正确的是(B) ，u y1 - _ y221 x21 2xA. 0dx 2xf(x,y)dyB. 0dy x2 f (x,y)dy2 x22 2xC. 1 dx 2xf(x, y)dyD. 1 dx x2 f (x, y)dy解：由题意画出积分区域如图：故选B.(D)7 .设向量四,也是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是A.二 1 二工2B. : 1 - - 2C.2： 1： 2D.2： 1 - ： 2解：因 A(«1 +32)=人口1 +A“2 =b + b = 2b,同理得A(

5、«1 %)=0, A(2«1 +«2) =3b, A(2% %) =b,故选 D.8 .已知向量3=(1,2,1,1),% =(2,0,k,0),£3 =(0-4,5,-2)线性相关，则 k = (D)A.-2B.2C.-3D.3解:：-i二 2-1k510-22-4-1k 251-2-22-40-1k 2-k 31-20由于外,口2,%线性相关，所以r(«1,®2,«3) E2,因止匕k =39 .设 A,B 为事件，且 P(A) =0.6,P(B) =0.4,P(AB) =0.2,WJ P(AB) = (A)解：P(AB

6、) =P(A B) =1 -P(A B)=1 _P(A) P(B) - P(AB) =0.210 .有两个口袋，甲袋中有3个白球和1个黑球，乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取 一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球，则取出白球的概率是(B)A-BC1D162042-.、-32117解：由全概率公式得p=e -+，J=- 4 5 4 5 20二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11.设函数y = arcsin -一1 - i 1,则函数的定义域为 -2,4).3.16 -x2解:x -12-1 <<1,16 -x >03-2 <

7、x <4=-2 < x ： 4 .-4 ： x :二 412.设曲线y=x2 +x2在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是(1,0)解：y，=2x+1,由 y = 2x+1 =3= x =1 ,从而 y = 0 ,故填(1,0).13.2设函数 y = x arctan x ,贝U y =2- .(1 x )解:22, x .11 x2 -2x2y t arctan x 2 , y =2 2 -1 x21 x2(1 x2)22(1x2)2 .14.201220130n x 1) dx .(lnx 1) Cx201320122013(ln x 1)2012(In x 1)0用牛：dx

8、 = (ln x 1) d (ln x 1)= C .x201315. |0 xe"*dx =e.解：f *xe"*dx =e j *xe"dx = e.- 0- 0n16.幕级数Z (x二2-的收敛域为-3,7).n4 5 n(x-2)n-解：由 limJun但=lim15"守 nTUn(x) nT* (x-2)I WTn nx - 2=lim -,x - 2 =< 1.n»5，n+1|5得-3<x<7级数收敛，n当x = -3时，级数为工(_% 收敛;当x = 7时,级数为2 ：发散； n m % nn，n故收敛域为-3,

9、7).17 .设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且A2 - A-3E =0,则(A-2E)，= A + E .角单：A2 - A -3E =0= (A2e)(A E) =E= (A 2e)" =(A E)0 1-1 '18 .设A=1 01 ，记A'表示A的逆矩阵，A*表示A的伴随矩阵，则9 010 -11 '1 *，一,(A-) = 10-1 .- 0 -119.设型随机变量 X N(1,8)，且 P(X cc) = P(X >c),则 C= 1解：由正态分布的对称性得 C=-l=1.，_、 一、，120、设型随机变量X在区间2,4上服从均匀分布，则方

10、差D(X)=- 3解:直接由均匀分布得肥)二三二3计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。计算极限lim 士譬.x 0 tan2 xx - sin x解:原式=lim一x 0 x21 - cosx2xsin x=0.=limx 0222 .求由方程yx =xy确定的隐函数的导数dy . dx解：两边取对数得xln y = ln x Tn y ,两边求导得 ln y y = y , y x y从而曳=y(1-x1n y).dx x(x -1)223 . 计算je积分 j _ dx222.x x 7J九冗解：令 x =sect，则 dx =sect tantd

11、t,当 x =)2 时,t =二;当 x =2 时,t =.43所以原式=3驾皿出=7 sec t tan tnn,3costdt =sin t| 3 二441=(32).224.求微分方程y'2yex =0的通解.解：原方程可整理为y、2y=ex 这是一阶线性微分方程，其中P(x)= 2,Q(x)=ex.所以原方程的通解为2dx *_ 2dx=e ( exe dx C).25.计算二重积分口 x2ydor,其中D是由直线x=2、y=2x和xy=2所围成的区域.解：区域D如图阴影部分所示.故 x2yd。2 2x=dx- 12 x2ydy2x52- 2x)|1二1吟26.设矩阵A =0-

12、32-10一3B = 3 ,且满足AX + B = A2B + X，求矩阵X.解：由AX B=A2B +X 可得(A -E)X =(A2 - E)B=(A-E)(A+E)B0-42-10-4-200,所以A-E可逆,'2因此 X =(A +E)B = 10-22100-527.设行列式D(x) =，求D(x)在x0处的导数D(0).=x(x 7)( x -1)( x -2)=(x十1123x十71231x+123x十7x十12312x +13x+ 72x +13123x +1x+ 723x +1x 13解：D(x)=x2 7x)(x2 -3x 2).故 D (x) =(2x 7)(x2

13、 -3x 2) (x2 7x)(2x -3).从而 D (0) =14 .28.已知离散型随机变量X的密度函数为F(x) =x < 0,a,0 <x <1,。1,1 < x < 2,21,x > 2. 4且数学期望E(X)=-.3求:(1)a的值;(2)X的分布列；(3)方差D(X).解：(1)由分布函数的性质知，随机变量X的可能取值为1134因 E(X) =0 a 1 ( a) 2 -a =22 230、 1、 2,且所以a = L6由(1)即得X的分布列为0122112 1 221 二6373,四、29.一 22E(X )=0证明题与应用题：本大题共 3

14、小题，每小题10分，共30分。设u = xy2 f ('),其中f(t)可微，证明：x且十y名=3u.y三xy证明：因为=y2f(-) xy2f (-) 1X 2. x= 2xyf (一) - x f (一),故x Fxy 二 xy2f () x2yf () 2xy2 f () - x2yf ()-y= 3xy2 f (工)=3u .?(9 分) y30.设D是由曲线y =ln x, x = e及x轴所围成的的平面区域y= 1nxi求:(1)平面区域D的面积S(2)D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 V. 解:区域D如图阴影部分所示。曲线y=lnx与x和及x = e的交点坐标分别为(1,0), (e,1)(1)平面区域D的面积ee.x= In xdx = (xln x -e叫1 =1.(2) D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积 V31.证明不等式：当 abAe时，b<-ln <-(e&2.71828). a ln a b证明：设 f (x) =xln x, x w (e,+=o)，则 f r(x) =1 +ln x >0,xe (e,+),所以f (x) = xln x在x w (e,y)上单调递增，从而当当a > b >e时，有 f (a) > f (b)，即 aln a