初二-一次函数图像及其性质优质讲义

1、初二-一次函数图像及其性质优 质讲义教学内容、同步知识梳理1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式s = vt中,v表水速度，t表不时间，S 表示在时间t内所走的路程，则变量是 常量是.在圆的周长公式C=2itr中，变量是 ,常量是.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个 变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x称为自变 量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时 候：Y星否有唯一确室的侑与之对应 例题：下列函数(1) y=n x (2

2、)y=2x-1(3)y=x(4)y=2-1-3x(5)y=x2-1 中，是一次函数的有()(A) 4 个(B) 3 个 (C) 2 个(D) 1 个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的 范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相 符合，使之有意义。例题1：函数y=G中自变量X的取值范围是例题2：已知函数y = -1x+2,当-1VXM1时，y的

3、取值范围是（）A.一 .厂 2B. ry<i3 .5C. - y :二22D3. 5.二y三22如果把自变量与函数的纵坐标，那么坐标平面5、函数的图像一般来说，对于一个函数, 每对对应值分别作为点的横、内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式 表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对 应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值 为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值 对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所 描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、

4、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对 应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规 律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化 过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问 题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k是常数，kw 0的函数叫做正比 例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零)k不 为零x指数为1b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右 上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，？直线y=kx 经过二、四象

5、限，从左向右下降，即随x增大y反而 减小.解析式：y=kx (k是常数，kw。必过点：(0, 0)、(1, k)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，？图 像经过二、四象限增减性：k>0, y随x的增大而增大；k<0, y随x增 大而减小倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x 轴例题：1、.正比例函数y=(3m+5)x,当 m 时，y随x的增大而增大.2、若y =x+2-3b是正比例函数，则 b 的值是 ()A.0B. 2C. 233D. -I3、函数y=（k-1）x, y随xJ#大而减小，则k的范围是（）A.B.k i C.k±iD.k

6、,i4、东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与 买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是5、平行四边形相邻的两边长为 x、V,周长是30,则 y与x的函数关系式是.10、一次函数及性质一般地，形如y=kx +b（k,b是常数，k0）那么y叫 做x的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以 说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k不为零）k不为零 x指数为1b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和（-,k '0）两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,它可 以看作由直线y=kx平移|b件单位长度得到.（当b>

7、0 时，向上平移；当b<0时，向下平移）(1)解析式：y=kx+b(k、b 是常数)k00)(2)必过点：(0, b)和(上,0) k '(3)走向：k>0,图象经过第一、三象限；k<0, 图象经过第二、四象限b<0,b>0,图象经过第一、二象限;图象经过第三、四象限；k>L直线经过第一、二、b >070二直线经过第一、三、四象限b <0心叱直线经过第b >00二直线经过第二、三、四象限b <0(4)增减性：k>0, y随x的增大而增大；k<0, y 随x增大而减小.(5)倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k

8、|越小， 图象越接近于x轴.(6)图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象 向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象 向下平移b个单位.例题：1、若关于x的函数y=(n+i)xm是一次函数，则m=）n.2、函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）3、将直线y= 3x向下平移5个单位，得到直线;将直线y= -x-5向上平移5个单 位，得到直线.4、若直线y = -x+a和直线y = x+b的交点坐标为（m,8 ），则 a +b =.5、已知函数y= 3x+1,当自变量增加m时，相应的 函数值增加（）A . 3m+1 B . 3m C .

9、 m D . 3m 111、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只 能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次 函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 . 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0, b）, I即横坐标或纵坐标为0的点.b>0b<0b=0k>0经过第一、三象限经过第一、三、 四象限经过第一、 三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、经过第二、三、经过第二、k<0四象限 四象限 四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小例题：若mv0, n>0,则一次函数y=mx+n的图象不经过A

10、.第一象限 第三象限B.第二象限D.第四象限C.12、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx + b的图象是一条直线，它可以看 作是由直线y=kx平移|b件单位长度而得到（当b>0 时，向上平移；当b<0时，向下平移）.13、直线y=kix+bi与y=k2x+b2的位置关系(1)两直线平行：ki=k2且bi#b2(2)两直线相交：ki k2(3)两直线重合：ki=k2且bi=b2i4、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：(i)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入 上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；(3)

11、解方程得出未知系数的值；(4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得 出所求函数的解析式.i5、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0 (a, b为 常数，aO的形式，所以解一元一次方程可以转化 为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的 值.从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b确定它与 x轴的交点的横坐标的值.16、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0或 ax+b<0 (a, b为常数，aw。的形式，所以解一元一 次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于 0时， 求自变量的取值范围.17、一次函数

12、与二元一次方程组(1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成 的图象与一次函数y=关的图象相同.b b 二元一次方程组 为二?广。的解可以看作是两个 a2x+b2 y =c2一次函数y= a1x*和y= a2x亭的图象交点. bi b1b2 b2二、同步题型分析题型1:点的坐标方法：x轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0; 若两个点关于x轴对称，则他们的横坐标相 同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相 同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；1、若点A (m,n)在第二象限，则点(|m|,-n)在 第象限；2、

13、若点P (2a-1,2-3b)是第二象FM的点，则a,b的 范围为_.3、 已知 A (4, b), B (a,-2),若 A, B 关于 x 轴对称，则 a=,b=若 A,B 关于 y 轴对称，则a=,b=若若 A, B 关于原点对称，则 a=,b=;4、 若点M (1-x,1-y)在第二象限,那么点N(1-x,y-1) 关于原点的对称点在第象限。题型2:关于点的距离的问题方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到 y轴的距离用横坐标的绝对值表示；若 AB / x 轴,则 Ago, b(xb，o)的距离为 |xa-xb| ；若 AB / y 轴，则AdyAXBQ yB)的距离为M-YbI

14、 ；点A(Xa, 丫人)到原点之间 的距离为:xA ,、A1、点B (2,-2)到x轴的距离是;到y 轴的距离是;2、点C (0, -5)到x轴的距离是;到y 轴的距离是;到原点的距离是3、 点D (a,b)到x轴的距离是;到y轴的距离是;到原点的距离是4、 已知点 P (3,0), Q(-2,0)，则 PQ=，已知点 m 32)n ,一； j,则 MQ=； E(2,-1),F(2,-8 )，则 EF两点之间的距离是 ;已知点G (2, -3)、H (3,4),则G、H两点之间的距离是 ;5、两点(3,-4)、(5, a)间的距离是2,则a的 值为;6、 已知点 A (0,2)、B (-3,

15、-2)、C (a,b),若 C点在x轴上，且/ ACB=90 ,则 C点坐标为题型3: 一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b是常数，k0)那么y叫做x的一次函数，特别的，当 b=0时，一次函数 就成为y=kx(k是常数，k0)这时，y叫做x 的正比例函数，当 k=0时，一次函数就成为 若y=b,这时，y叫做常函数。 A与B成正比例 A=kB(H 0)1、当 k时)y=(k-3)x2 + +2x-3 是一次函数；2、当 m时)y=(m-3)x2m04x 5 是一次函数；3、当 m时,y =(m -4 )x2m*+4x5是一次函数；4、2y-3与3x+1成正比例,且x=2,y=1

16、2则函数解析 式为;题型4:函数图像及其性质：函数图象竹匕质经过象 限变化规律y=kx+b(k、b 为常数， 且kw。k 0b0b= 0b<0k< 0b0b= 0b<0一次函数y=kx+b (k。中k、b的意义:k(称为比例系数)表示直线y=kx+b (kO的倾斜 程度；b表示直线y=kx+b ( kw。)与y轴交点 的 , 也表示直线在y轴上 的。同一平面内，不重合的两直线y=kix+bi (kiw。与y=k2x+b2 (kzwQ的位置关系：当 时，两直线平行。当时，两直线垂直。当 时,两直线相交。当时，两直线交于y轴上同一点。特殊直线方程：X 轴：直 线Y轴：直线与 X

17、轴 平 行 的 直 线与Y轴平行的直线(1)三 象 限 角 平 分 线二、四象限角平分线1、对于函数 y=5x+6)y的值随x值的减小而(2)当m取何值时，函数的图象过原点?题型5:待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b (k#0的解析式。(1)已知是直线或一次函数可以设 y=kx+b (k。；(2)若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式 构建方程。1、若函数y=3x+b经过点(2,-6),求函数的解析式。2、直线y=kx+b的图像经过A (3, 4)和点B (2, 7),求解析式3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量 y (升)与 行驶时间x

18、 (小时)之间的关系.求油箱里所剩油 y（升）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式，并 且确定自变量x的取值范围。4、一次函数的图像与 y=2x-5平行且与x轴交于点 （-2,0）求解析式。5、若一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-20 xq 6相应的函数值的范围是-11 < y q 9求此函数 的解析式。6、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y轴对称, 求k、b的值。7、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x轴对称, 求k、b的值。8、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称, 求k、b的值。题型6:平移方法：直线y=kx+b与y轴交点为（

19、0, b）,直线平 移则直线上的点（0, b）也会同样的平移，平移不改变斜率k,则将平移后的点代入解析式求出b即可。直线 y=kx+b向左平移 2向上平移 3 <=> y=k（x+2）+b+3;（左加右减，上加下减”）。1 .直线y=5x-3向左平移2个单位得到直 线。2 .直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线 3 .直线y= 2x向右平移2个单位得到直线 4 .直线y= 一3X+2向左平移2个单位得到直线 5 .直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 6 .直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 7 .直线y = ；x向上平移1个单位，再向右平移1个单3位得到直线。8

20、.直线y = x+i向下平移2个单位，再向左平移1个 4单位得到直线。9 .过点（2,-3）且平行于直线 y=2x的直线是,o10 .过点（2,-3）且平行于直线 y=-3x+1的直线是 11把函数y=3x+1的图像向右平移 2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是12.直线m:y=2x+2是直线n向右平移2个单位再向 下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=;三、课堂达标检测一、填空题1、已知函数y=13）x=时）y的值时0）3x -1x=时，y的值是 1; x=时，函数没有意义. 2 L.12、已知 y=f）当 x=2 时）y=.3 - X3、在函数y*三中，自变

21、量X的取值范围是 x -3 .4、一次函数y=kx+ b中）k、b都是）且 k,自变量 x的取值范围是 ,当 k, b 时它是正比例函数.5、已知y =（m+3）xm2"是正比例函数）则m6、函数 y=（m-2）x"-m + n）m=）n=时为正比例函数；当m=, n=时为一次函数.7、当直线 y=2x+b 与直线 y=kx-1 平行 时,k,b.8、直线y=2x-1与x轴的交点坐标是 : 与y轴的交点坐标是.9、已知点A坐标为(-1,-2),B点坐标为(1,-1),C点坐标 为(5,1)，其中在直线y=-x+6上的点有在直线y=3x-4上的点有.10、一个长为120米，宽

22、为100米的矩形场地要扩建 成一个正方形场地，设长增加x米，宽增加y米，则 y与x的函数关系式是 ,自变量 的取值范围是,且y是x的 函数.11、直线y=kx+b与直线y=一平行，且与直线y=笞 33交于y轴上同一点，则该直线的解析式为二、选择题12、下列函数中自变量x的取值范围是xR5的函数是A . y =J5x B. y= j 1 C. y = .5 x2、5 - xD . y = Jx +5 _Jx_513、下列函数中自变量取值范围选取错误 的是 1A . y =x中x取全体头数B. y=中x w 0*x-11Cy=中xw-1Dy = Jx 1中 x>ix+114、某小汽车的油箱可

23、装汽油 30升，原有汽油10 升，现再加汽油x升。如果每升汽油2.6元，求油箱 内汽油的总价y (元)与x (升)之间的函数关系是( )A . y =2.6x(0<x<20)B . y = 2.6x+26(0 <x<30)C y = 2.6x +10(0< x<20)D . y = 2.6x + 26(0< x< 20)15、在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表.1234V20130.0317. 1则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的A . v= 2 m B. v= m2+ 1 C . v= 3m116、已知水池的容量为

24、50米3,每时灌水量为n米3, 灌满水所需时间为t（时），那么t与n之间的函数关系 式是（.）A. t=50n B. t=50-n C. t=迈 nD. t=50+n17、下列函数中，正比例函数是:A yB ygT CD y=g18、下列说法中不正确的是B.不是一A. 一次函数不一定是正比例函数 次函数就一定不是正比例函数C.正比例函数是特殊的一次函数 比例函数就一定不是一次函数19、已知一次函数 y=kx+b）若当x增加3时）y减小2,则k的值是（）a.2320、小明的父亲饭后出去散步，从家走20分钟到一个 离家900米的报亭，看10分钟报纸后，用15分钟返 回家里.下面四个图象中，表示小明

25、父亲的离家距离 与时间之间关系的是（）CD.21、在直线y=2x+ ；且到x轴或y轴距离为1的点有（）个A. 1B 2C. 3D. 422、已知直线y=kx+b（k %期x轴的交点在x轴的正 半轴，下列结论： k>0,b>0; k>0,b<0; k<0,b>0; k<0,b<0.其中正确的有（）A1个B. 2个C 3个D, 4个23、若点（4, yi）, （2, y2）都在直线 y= *t上, 3则yi与y2的大小关系是 （）A. yi>y2B. yi=y2C. yi<y2D.无法确定一、 能力培养例题1:某工人上午7点上班至11点下

26、班，一开始 他用15分钟做准备工作，接着每隔15分钟加工完1 个零件.(1)求他在上午时间内y (时)与加工完零件x(个) 之间的函数关系式.(2)他加工完第一个零件是几点？(3) 8点整他加工完几个零件？(4)上午他可加工完几个零件？例题2:已知直线y= -1 x+1与直线a关于y轴对称， 在同一坐标系中画出它们的图象，并求出直线a的解 析式.例题3:已知点Q与P(2, 3)关于x轴对称，一个一 次函数的图象经过点Q,且与y轴的交点M与原点 距离为5,求这个一次函数的解析式.例题4:如图表示一个正比例函数与一个一次函数的 图象，它们交于点 A (4, 3), 一次函数的图象与y 轴交于点B,

27、且OA=OB,求这两个函数的解析式.A xB例题5:在同一直角坐标系中，画出一次函数y= x+2 与y=2x+2的图象，并求出这两条直线与 x轴围成的 三角形的面积与周长.例题6:某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结 束全过程，开始时风暴平均每小时增加 2千米/时，4 小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小 时增加4千米/时，一段时间，风暴保持不变，当沙 尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止.结合风速与时间的图像，回答下 列问题：(1)在丫轴()内填入相应的数值；(2)沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？(3)求出当xR2对，风速y (千米/时)与时间x (

28、小 时)之间的函数关系式.(4)若风速达到或超过 则强沙尘暴持续多长时间?20千米/时，称为强沙尘暴,()3 卜C册d_0 41025小时能力点评学法升华一、 知识收获完成下列表格?函数图象y=kx+bb土质经过象 限变化规律(k、b 为常数， 且kw。00b= 0b<0k< 0b0b= 0b<0二、方法总结求定义域的方法有哪些？(1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；(3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于夺；(4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于夺；(5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。三、技巧提炼求解函数解析式的方法有？方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b (k#0的解析式。(1)已知是直线或一次函数可以设 y=kx+b (kO;(2)若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。课后作业一、选择题1、下列图象中)一次函数的图象是2、下列四点，在函数y = 3x+2的图象上的是( )A. (0,-2)B.f|,0j C.(-1,-1)C 门 1 )D!n，2nI2 2)3、一次函数y=2x+ 3的图象与两坐标轴的交点坐标是()A. (0, 3)(白 0)B. (1, 3) (1 1) C.