人教A版必修2数学同步导学复习课(一)空间几何体及点、线、面的位置关系

1、高考并不神秘高考有规可寻我们在细研历年高考试題的基础上探寻岀一些命题规律考题在课外考点在课内毎个模块总有那么几个知识点是高考的常考点 甚至是必考点我们将这些高频考点集结起来一一解读 帮你在学习完本模块之后系统复习 去粗存精锁定高考第把模V复习课( (一) )空间几何体及点、线、面的位置关系(1) 空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合要充分掌握柱、锥、台、球的结构特征，解题时要注意识别几何体的性质.(2) 空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体

2、后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，属低档题.考点精要1. 三视图的画法规则(1) 正、俯视图都反映了物体的长度一一“长对正”；(2) 正、侧视图都反映了物体的高度“高平齐”；(3) 侧、俯视图都反映了物体的宽度一一“宽相等”.2. 表面积(1) 多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和.(2) 旋转体的表面积：1S圆柱=2nl+2Ttr2;2S圆锥=ni+ n;3S圆台=n (+r)l+ Ttr2+TIR2.3. 体积(1) 柱体：V柱体=Sh(S 为底面面积，h 为高) ).1(2) 锥体：V锥体=3Sh(S 为底面面积，h 为高).(3)

3、台体：V台体=*S+ ,SS + S )h.其中 S, S分别表示台体的上、下底面面积.常考点一空间几何体的三视图、表面积与体积V典例(1)如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( () )A. 5 +C . 4+ 2 2给出下列命题:1在正方体上任意选择 4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4 个顶点;2球的直径是连接球面上两点的线段;3若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱. 其中正确命题的序号是 _1(3)(2017 山东高考) )由一个长方体和两个才才圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_解析(1)如图所示，该几何体的表面积S= 1X1+ 2X1X1X2 +

4、 2X(1+ 2)x1 +殳X 6 X2= 5 + 3,故选 A.(2)正确， 正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体 A-CB1D1；错误，因为球的直径必过球心；错误，必须是相邻的两个侧面.iE 视图恻观图B. 5+2 3D . 4 + 23恻视图(片视图)I俯视图该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1 的四分之一圆柱体构成，1on.V=2X1X1+2X丄X nX12X1=2+42n答案(1)A(2)(3)2 +类题通法(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型,在条件

5、不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判 疋.（2）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这 些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积.题组训练1 .下列说法正确的是（）A .用一平面去截圆台，截面一定是圆面B.在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C .圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D.圆台的母线可能平行解析：选 C 对于 A，用一平面去截圆台，当截面与底面不平行时，截面不是圆面.对 于 B,等腰梯形（轴截面）的腰才是圆台的母线对于 D，圆台的母线不可能平行.2 某几何体及其俯视

6、图如图所示，下列关于该几何体的正视图和侧视图的画法正确的是（）（）正视图侧视图正视图侧视图 Bk/r 1 正视图恻视图正视图侧观图CD解析：选 A 该几何体是由圆柱切割得到的，由俯视图可知正视方向和侧视方向，可进步画出正视图和侧视图，如图所示，故选A.3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积S 为_PL -L 20.50,5侧观图解析：根据三视图，可知题中的几何体是由一个长方体挖去一个圆柱得到的，所以2X(4X1+3X1+4X3)+2n一 2n=38.答案：38与球有关的问题与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考 查球的表面积与体积的求法，属于低

7、档题.考点精要球的表面积与体积2(1) 球的表面积公式 S球=4nR .43(2) 球的体积公式 V球=3UR.典例(1)如图所示，平面四边形常考点二ABCD 中，AB = AD = CD = 1, BD = 2, BD 丄 CD ,使平面 ABD 丄平面 BCD，若四面体 ABCD 的顶点在A.n2C.ynB.3n(2)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 _ .解析如图，取 BD 的中点 E, BC 的中点 0,连接 AE,0D,E0 , A0.由题意，知 AB = AD，所以 AE 丄 BD.由于平面 ABD 丄平面 BCD ,所以 AE

8、丄平面 BCD.同一个球面上正视图将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD ,因为 AB= AD = CD = 1, BD = 2，所以 AE=, EO =寺寺所以 OA =.在 Rt BDC 中，OB = 0C= OD = *BC 二三3,所以四面体 ABCD 的外接球的球心为 0,半径为-3.所以该球的体积 V = 4丿3=23n.（2）由正视图知，三棱柱的底面边长为2， 高为 1,外接球的球心在上下两个三角形中心则R2=Q+1919中 R 为球的半径），则球的表面积 S=4TR2=4nX =39n.12319答案(1)A(2)；n类题通法解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、

9、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的.题组训练1 .（2017 全国卷川）已知圆柱的高为 1,它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）3nA.nB.4nC.nnD.4解析：选 B 设圆柱的底面半径为r,则 r2= 12 12= *所以圆柱的体积 V = nX1 =3n4 .2.设 A，B，C，D 是球面上的四点， AB，AC，AD 两两互相垂直，且 AB= 3，AC = 4, AD =11,则球的表面积为（）A.36nB.64nC.100nD.

10、144n解析：选 A 三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和 三棱锥 A-BCD的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R,则 2R=p32+ 42+ 丽2= 6,故 R= 3,.外接球的表面积 S= 4KR2=36n,故选 A.常考点三空间点、线、面位置关系的判断与证明连线的中点上，连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径,19 廿=袒袒其空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考 查常以选择、解答题形式出现，难度中档.考点精要1 判定线线平行的方法(1) 利用定义：证明线线共面且无公共点.(2) 利用平行公理

11、：证明两条直线同时平行于第三条直线.(3) 利用线面平行的性质定理：a/ a,a?B, aA 3=b? a/b.(4) 利用面面平行的性质定理：all 3, a A =a, 3门Y=b? a/b.(5) 利用线面垂直的性质定理：a 丄a ,b 丄o?alb.2 判定线面平行的方法(1) 利用定义：证明直线 a 与平面a没有公共点，往往借助反证法.(2) 利用直线和平面平行的判定定理：a?a,b?a,a/b? a/ a(3) 利用面面平行的性质的推广：all 3 ,a?3a/ a.3 判定面面平行的方法(1) 利用面面平行的定义：两个平面没有公共点.(2) 利用面面平行的判定定理：a?a,b?a

12、,aAb=A,a/ 3,bl3?all 3(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行，即a 丄a, a 丄3?all 3(4) 平行于同一平面的两个平面平行，即a/Y3Y a/ 34.证明直线与平面垂直的方法(1) 利用线面垂直的定义： 若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面.符号表示：？a?a, I 丄 a? I 丄a.(其中“？”表示任意的”) )(2) 利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.符号表示：I 丄 m , I 丄 n , m?a, n?a, mAn = P? I 丄a(3) 若两条平行直线中的一条垂直于

13、一个平面，则另一条也垂直于这个平面.符号表示：a / b , a 丄o?b 丄a(4) 利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.符号表示：a丄B, ad 3=l, m?a,m 丄 l? mX 3.5.证明平面与平面垂直的方法(1)利用平面与平面垂直的定义：若两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则这两个 平面互相垂直.符号表示：ad 3=l, O l, OA?a,OB?3OA 丄 l, OB 丄 I,/ AOB = 90 ?a丄3(2)利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.符号表示：I 丄a,l ?3?a丄3典例如图，已知直角梯形 ABCD 中，E 为 CD 边中点，且 AE 丄 CD，又 G, F 分别 为 DA ,EC 的中点，将 ADE 沿 AE 折叠，使得 DE 丄 EC.(1)求证：AE 丄平面 CDE ;(2)求证：FG /平面 BCD ;解证明：由已知得 DE 丄 AE , AE 丄 EC./ DEdEC = E, DE , EC?平面 DCE , AE 丄平面 CDE. GH / BD , FH / BC,/ GH ?平面 BCD , BD ?平面 BCD , GH / 平面 BCD.同