罗氏非欧几何的一种图像表示.

1、罗氏非欧几何的一种图像表示方法1826年,俄国数学家罗巴切夫斯基刃06a耳eB建立了一种不同于传统的欧几里德几何的新的几何体系,被称为“罗氏非欧几何.罗氏几何与欧氏几何的主要不同在于：欧氏几何中的第五公设一一平行公设,在罗氏几何中,是不成立的.在欧氏几何中,过一条直线外的一点,能作而且只能作一条与这直线不相交的平行线；而在罗氏几何中,过一条直线外的一点,能作无数条与这直线不相交的直线.在欧氏几何中,三角形的内角和总是等于；而在罗氏几何中,三角形的内角和总是小于.在欧氏几何中,两条平行线之间的垂直距离,处处相等；而在罗氏几何中,不可能作出垂直距离处处相等的两条平行线.人们自然会产生疑心：这样的罗

2、氏非欧几何,有可能成立吗？罗氏非欧几何本身,会不会存在不可克服的矛盾？下面,我们介绍一种罗氏非欧几何的图像表示方法.在这种表示方法下,罗氏几何可以得到完全的实现,不会产生任何矛盾,足以消除人们对罗氏几何的种种疑问.30内的圆S0罗氏几何乎育弦邸*PQ、ST步氏几何直线罗氏几何占三磬形血萝氏几何三角形作一个半径为1的单位圆.用这个单位圆内部的圆面,代表整个罗氏几何的平面.这个圆的任何一条弦,代表罗氏几何的直线.这个圆的任何两条弦的交点,就是罗氏几何中两条直线的交点.圆中三条两两相交的弦,中间围成的一个三角形,就是罗氏几何三角形.下面说明,在这种图像表示法中,怎样求两个罗氏几何点之间的罗氏几何距离

3、,怎样求两条罗氏几何直线之间的罗氏几何夹角./Xi2其中,cosh1X是反双曲余弦函数.本来,反双曲余弦有正负两个值,由于距离总是以单位圆心0为坐标原点,建立平面直角坐标系.设(Xi,yj、(X2,y2)是单位圆内两点的坐标,这两点对应的两个罗氏几何点之间的罗氏几何距离定义为d*cosh1-；1XiX2ym设aixbiyG0、aixbiyG0是单位圆的两条相交的弦的直线方程,正的,所以这里的反双曲余弦函数只取正值,即有1J2coshXln(xVX1).这两条弦代表的两条罗氏直线之间的罗氏几何夹角定义为arccosq块块H7a2bib2C7c2(aib1Gja2aC2其中,arccosx是反余弦

4、函数.当x0时,arccosx是一个锐角,当arccosx是一个钝角x锐角、钝角都可以看作是这两条直线的罗氏几何夹角.当时,arccosx是一个直角,这时,这两条直线在罗氏几何中互相垂直.下面,我们来看一下,在这样的图像表示方法和定义下,可以得到哪些结论.根据定义,0,P两点之间的罗氏几何距离为In471rtanhr*(其中tanhx是双曲正切函数,例如,设Pl,F2,P3,P4,是到圆心0的罗氏几何距离为0.2,0.4,0.6,0.8,的点,在图像表示中,它们到0点的距离为tanh0.2,tanh04tanh0.6,tanh0.8,从上图可以看出,这些根据罗氏几何来说是等距的点P,P2,P3

5、P4,在图像表示中是不等距的,越接近于单位圆的圆周,点与点之间的距离就越小,点的排列就越紧密.(一)设在图像表示中0(0,0)是单位圆的圆心,P(r,0)是到圆心距离为的一点.严cosh-10r/0J10202j1r2cosh02tanh表示为反过来,图像表示中的距离r,也可以用罗氏几何距离(二)设P(Xi,yi)、Q(X2,y2)是单位圆周上的两点,弦PQ表示一条罗氏几何直线.1XiX2乂讨222XiV由于P(Xi,yi)、Q(X2,y2)是单位圆周上的点,有1Xi2娟0,1x|yi从上图可以看出,过P点可以作无数条与MN不相交的弦,在罗氏几何中,这些与这条直线不相交的直线.这一结论,显然与

6、欧氏几何中的“平行公设不同.(四)根据定义,这条直线的罗氏几何长度,也就是P,Q两点之间的罗氏几何距离为d*cosh1所以,P,Q之间的罗氏几何距离d*cosh1R1XiX2yiy2y-2、W这说明：在罗氏几何中,直线的长度都是无穷大.这一结论,与欧氏几何是相同的.(三)设MN是单位圆的一条弦,它表示一条罗氏几何中的直线,设外的一点.P是直线MN弦就是与MN不相交的直线.由此可见：在罗氏几何中,过直线外一点,可以作无数条M设MN、PQ是相交单位圆心0点、夹角为一个锐角的两条弦,设它们的方程为MN：y0和PQ：yxtan0在罗氏几何中,它们代表两条直线,根据定义,这两条直线之间的罗氏几何夹角为1

7、1arccos.arccos()arccos(cos)Jtan21sec可见：交于单位圆心0点的两条罗氏几何直线,它们的罗氏几何夹角,就等于它们在图像表示中的夹角.五设MN是通过单位圆心O的弦,也就是单位圆的直径,弦,设它们的方程为MN：y0和PQ：xC.在罗氏几何中,根据定义,这两条直线之间的罗氏几何夹角为arccos,理(arccosOJo21202j1202(c)2可见：两条弦中如果有一条是直径,那么当它们在图像表示中互相垂直时,这两条弦代表的罗氏几何直线,在罗氏几何中也互相垂直.六arccos,Otan1(1)00JO21202Jtan2(1)202PQ是与MN垂直的它们代表两条直线,

8、如上图所示,设MN、PQ、ST是单位圆的3条弦,它们的方程为MN：y0,PQ：xyc0c1和ST：x0.在罗氏几何中,它们代表3条两两相交直线,围成了一个罗氏几何三角形AOB.下面,我们来求这个罗氏几何三角形的内角和.O的两由于MN与ST是交于单位圆心夹角条罗氏几何直线,它们在罗氏几何中的与ST的夹角AOB,AOB*,就是图像表示中MN所以AOB*AOB2.另外,根据定义,罗氏几何直线MN与PQ之间的罗氏几何夹角,也就是ABO*ABO*10(c)_rc7罗氏几何直线PQOAB*由于0C1arccos,JO21202HFr与ST之间的罗氏几何夹角,也就是1110(c)0arccos,j1212(

9、c)2um021arccoOAB为1arccoAAA=.422所以ABO*OAB*arccos,J242arccosF所以,罗氏几何三角形AOB的内角和AOB*ABO*OAB*2由此可见,罗氏几何三角形的内角和小于.这个结论,显然与欧氏几何完全不同.七MN、ST是垂苴于单位圆直径的曲条弦,方程为MN:yO和PQ：y所以,当图像中PQMN时,在罗氏几何中,PQ也与直线MN垂直.1在罗氏几何中,它们是两条永不相交的平行直线.设P(x,d)是ST任意一点,P向MN作垂线,设垂足是Qx,0点.由于MN是单位圆直径,根据定义,P到直线MN的罗氏几何垂直距离,即P至UQ的罗氏几何距离为d*cosh1,r：/U2j1X?尹J1X2cosh1/7U1x2d2cosh1tanhF左方还是右方,P到MN的罗氏几何垂直距离都会变大.由此可见,在罗氏几何中,不可能作出垂直距离处处相等的两条平行线几何与欧氏.这也是罗氏几何的一个不同之处.(A)如上图所示,如果我们在一条罗氏几何直线MN上,取一系列在罗氏几何中等距的点,然后过每一个点作MN的垂直线,在垂直线上取到MN的罗氏几何垂直距离等于一个定值的点,再把这些