概率论与数理统计课件第10讲

1、二连续型随机变量（二连续型随机变量（X，Y）的函数）的函数 的概率分布的概率分布 1. 已知已知（X，Y） f (x , y)，求求 Z= （X，Y）的的概率分布概率分布 (1) FZ(z)=P(Z z) =P （X，Y） z zyxdxdyyxf),(),(2) 若若Z为连续型随机变量为连续型随机变量，则有则有 例例5：已知已知X, Y 相互独立且均服从相互独立且均服从N(0, 2)，)()(zFzf22YXZ的概率密度。的概率密度。求求解：解：X和和Y的密度函数分别为的密度函数分别为22221)(xXexf22221)(yYeyf先求先求Z的分布函数的分布函数 F(z)当当z0时，易知时，

2、易知 F(z)=0当当z 0时，且由独立性知时，且由独立性知)()(zZPzF)()(22222zYXPzYXP222)()(zyxYXdxdyyfxfdedz222022021极坐标变换极坐标变换2221ze即：即：Z的分布函数为的分布函数为0001)(222zzezFz故：故：Z的密度函数为的密度函数为000)(2222zzezzfzZ或或2已知已知（X，Y） f (x, y)，求求Z=X+Y 的概率密度的概率密度 定理定理: 若若(X, Y )的联合概率密度为的联合概率密度为 f(x , y)，则则Z=X+Y 的概率密度为的概率密度为dxxzxfzfZ),()(dyyyzfzfZ),()

3、(证明证明: : Z=X+Y的分布函数是的分布函数是: : FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x, y): x+y z是直线是直线x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面.化成累次积分化成累次积分, ,得得zyxZdxdyyxfzF),()( yzZdydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,对对方括号内的积分作变量代换方括号内的积分作变量代换 令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()(由此由此 由由X 和和Y 的对称性的对称性, fZ (z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(dxxzxfzFz

4、fZZ),()()( zZdudyyyufzF),()( 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分的边缘密度分别为别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为则上述两式化为: : dyyfyzfzfYXZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(例例6 : 若若X和和Y 独立独立, ,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),求求Z=X+Y的分布的分布. .解：解：X和和Y的密度函数分别为的密度函数分别为2221)(xXexf2221)(yYeyf则则Z的密度函数为的密度函数为dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221ze

5、dxeezfzxtdxeezfztzZzxzZ,22121)(,2/21)(2222)2(2242)2(4得令可以证明可以证明: : ),(22221221 babaNbYaXZ 特别地，若特别地，若X和和Y 独立，且独立，且),(),(222211NYNXniNXiii, 2 , 1),(2则则),(12211niiiniiiniiiaaNXa则则),(1211niiniiniiNX 若若nXXX,21相互独立相互独立,例例6: 若若X, Y 相互独立，其概率密度函数分别为相互独立，其概率密度函数分别为 求求 Z=X+Y 的概率密度函数的概率密度函数 fZ (z) 其他,010, 1)(xx

6、fX其他,010,2)(yyyfY被积函数不为被积函数不为0的区域的区域 dxxzfxfzfYXZ)()()(解解: : 由于由于1010 xzx也即也即zxzx110 其它其它, 021,2)(210,)(2)(11202zzZzzzdxxzzzdxxzzf于是于是例例7 已知已知( X ,Y ) 的联合概率密度为的联合概率密度为其他, 010 , 10, 1),(yxyxfZ = X + Y ,求求 f Z (z)解法一（图形定限法）解法一（图形定限法）其他, 010, 1)(xxfX其他, 010, 1)(yyfY显然显然X ,Y 相互独立相互独立, ,且且dxxzfxfzfYXZ)()

7、()(10)(dxxzfY, 20, 0zz或, 10,10zdxz, 21,111zdxzzxz = xz-1 = x121被积函数不为被积函数不为0的区域的区域 1010 xzx即即zxzx11021,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或解法二解法二 从分布函数出发从分布函数出发)()(zYXPzFZzyxdxdyyxf),(x+y = z当当z 0 时时，0)(zFZ1yx1x+y = z当当0 z 1 时，时，xzzZdydxzF001)(zdxxz0)(22z1yx1zzx+y = z当当1 z 2 时，时，xzzZdydxzzF0111) 1()(11)(1zdxxzz122

8、2zzz-11yx1zz1yx1x+y = z22当当2 z 时，时，1)(zFZ2, 121, 12210,20, 0)(22zzzzzzzzFZ21,210,20, 0)(zzzzzzzfZ或对于对于 X ,Y 不相互独立的情形可同样的用不相互独立的情形可同样的用直接求直接求密度函数密度函数与与通过分布函数求密度函数通过分布函数求密度函数两种方法两种方法求和的分布求和的分布例例8 已知已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为的联合密度函数为其他, 00, 10,3),(xyxxyxfZ = X + Y ,求求 f Z (z)解解 （图形定限法）（图形定限法）xzxx210dxxzxfzfZ

9、),()(由公式由公式（1）非非0区域为区域为zxz = xz = 2xx = 112当当 z 2 , zzzz当当 0 z 1, 22/893)(zxdxzfzzZ当当 1 z z,YzFN(z)=PNz=1- -PNz=1- - PXzPYz=1-1-PXz1-PYz 设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量, ,它们的它们的分布函数分别为分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数. .)(xFiX(i =0,1，, n) 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分布函数布函数F(x

10、)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: : FM(z)=F(z) nFN(z)=1-1-F(z) n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX解解: PY=n= Pmax(X1, X2)=n=PX1=n, X2n+P X2 =n, X1 nnkknpqpq1111111nkknpqpqqqqpnn1112qqqpnn11112)2(11nnnqqpq例例9 设随机变量设随机变量X1, X2相互独立相互独立, ,并且有相同的几何分并且有相同的几何分布布 P(X1=k)=p(1-p)k

11、-1 , k=1,2, ，求求Y=max(X1, X2)的的分布分布 .n=0,1,2,解二解二: PY=n=PYn- -PYn-1211nkkpq=Pmax(X1,X2) n - -Pmax(X1,X2) n-1=PX1 n, X2n- -PX1 n-1, X2 n-12111nkkpq2211qqpn2)1 (nq21211qqpn21)1 (nq)2(11nnnqqpqn=0,1,2,例例10: 系统系统 L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1, L2 联结而联结而成。已知成。已知L1, L2的使用寿命的使用寿命X , Y 分别服从参数为分别服从参数为 ， （ 0， 0,

12、）的指数分布。）的指数分布。分别在下列分别在下列三种情况下三种情况下，求系统求系统 L 的使用寿命的使用寿命Z的分布的分布. （1） 子系统子系统L1, L2 串联串联; （2） 子系统子系统L1, L2 并联并联; （3） 子系统子系统L2 冷备冷备.解：解：X和和Y的密度函数为的密度函数为其它, 00,)(xexfxX其它, 00,)(yeyfyY且其分布函数为且其分布函数为其它, 00,1)(xexFxX其它, 00,1)(yeyFyY（1） 当为串联系统时，系统当为串联系统时，系统L的寿命为的寿命为Z=min(X,Y)故其分布函数为故其分布函数为Fmin(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z)0001)(zzez其密度函数为其密度函数为000)()()(minzzezfz(2) 当为并联系统时，系统当为并联系统时，系统L的寿命为的寿命为Z=max(X,Y)故其分布函数为故其分布函数为)()()(maxzFzFzFYX000)1)(1 (zzeezz其密度函数为其密度函数为000)()()(maxzzeeezfzzz(