静定梁的内力分析

1、 第三章静定梁的内力分析静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁是基本的结构形式。静定梁是基本的结构形式。本节通过单跨静定梁，学习本节通过单跨静定梁，学习杆系结构内力概杆系结构内力概念及内力计算基本方法念及内力计算基本方法；通过多跨静定梁，了解通过多跨静定梁，了解静定结构几何组成对静定结构几何组成对内力计算的影响内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的掌握静定结构内力分析的基本途径和方法基本途径和方法。 第一节单跨静定梁单跨静定梁 伸臂梁伸臂梁 简支梁简支梁 悬臂梁悬臂梁 单跨静定梁 (a) (b) (c) 1.结构的内力概念结构的内力概念结构的内力反映其受力后结构

2、内部的响应结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态（产生应变及相应的应力）。在杆系状态（产生应变及相应的应力）。在杆系结构的内力分析中，将应力的合力分解成结构的内力分析中，将应力的合力分解成作用在横截面中性轴处的三个分量即轴力、作用在横截面中性轴处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。剪力和弯矩。典型杆件截面上的内力典型杆件截面上的内力 1.1.轴力（轴力（FN） 3. 3.弯矩（弯矩（M） 2. 2.剪力（剪力（FQ） 轴力轴力( (FN) )横截面上应力在截面法线（杆轴）横截面上应力在截面法线（杆轴）方向上的投影方向上的投影的代数和称为轴力。的代数和称为轴力。数值上等于数值上等于截面一侧所有外力在

3、截面一侧所有外力在截面法线方向投影的代数和。截面法线方向投影的代数和。轴轴力使隔离体受拉为正（与截面外力使隔离体受拉为正（与截面外法线方向相同）。法线方向相同）。剪力（剪力（FQ） 横截面上应力在截面切线（垂直于横截面上应力在截面切线（垂直于杆轴）方向上的投影杆轴）方向上的投影的代数和称为的代数和称为剪力。数值上等于剪力。数值上等于截面一侧所有外截面一侧所有外力在截面切线方向投影的代数和。力在截面切线方向投影的代数和。剪力使隔离体顺时针转动为正（左剪力使隔离体顺时针转动为正（左上、右下）。上、右下）。横截面上应力对截面中性轴的横截面上应力对截面中性轴的力矩代力矩代数和称为弯矩。数值上数和称为弯

4、矩。数值上等于等于截面一侧所有外力对截面截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。形心力矩的代数和。规定弯矩规定弯矩图画在受拉侧，不标正负号。图画在受拉侧，不标正负号。 弯矩（弯矩（M）杆件截面上的杆件截面上的内力定义图内力定义图 MA静定结构内力计算基本方静定结构内力计算基本方法和步骤：法和步骤：静定结构的内力计算可归纳为，静定结构的内力计算可归纳为，计算支座反力计算支座反力、计算内力计算内力和和绘绘制内力图制内力图三部分主要工作。内三部分主要工作。内力计算基本方法为力计算基本方法为截面法截面法。 内力计算的一般步骤内力计算的一般步骤 1.1.计算结构的支座反力和约束计算结构的支座反力和约束

5、取结构整体（切断结构与大地的约取结构整体（切断结构与大地的约束）、或取结构的一部分（切开结束）、或取结构的一部分（切开结构的某些约束）为隔离体，建立平构的某些约束）为隔离体，建立平衡方程衡方程 (2)(2)计算控制截面的内力计算控制截面的内力（指定截面的内力）（指定截面的内力） 用假想的平面垂直于杆轴切开指定用假想的平面垂直于杆轴切开指定截面，取截面的任意一侧为隔离体截面，取截面的任意一侧为隔离体并在其暴露的横截面上代以相应的并在其暴露的横截面上代以相应的内力（按正方向标出），建立平衡内力（按正方向标出），建立平衡方程并求解方程并求解 (3)(3)绘制结构的内绘制结构的内力图力图 (a)(a)

6、弯矩图弯矩图 (b)(b)剪力图剪力图 (c)(c)轴力图轴力图 在静定结构的受力分析中，正在静定结构的受力分析中，正确有序地选取隔离体是解题的确有序地选取隔离体是解题的关键。关键。取隔离体的要点是，要保证隔取隔离体的要点是，要保证隔离体的完全隔离，即隔离体与离体的完全隔离，即隔离体与结构其他部分的所有联系都要结构其他部分的所有联系都要切断。切断。 12隔离体上原有的已知力（荷载隔离体上原有的已知力（荷载和已求出未知力）要保留，不和已求出未知力）要保留，不能有遗漏。能有遗漏。 隔离体上与其他部分联系的截隔离体上与其他部分联系的截断处，只标舍去的其他部分对断处，只标舍去的其他部分对隔离体的作用力

7、。隔离体的作用力。 34例例3-1-1 3-1-1 用截面法，求图(a)所示伸臂梁截面1上的内力。 M(a) 解解1)1)求支座反力求支座反力 去掉支座约束，取整体为隔离体，见图(b)。建立隔离体的平衡方程： MFAxFAyFBy(b) 最好一个方程含最好一个方程含有一个未知量有一个未知量0542333aFaaqMaFPAyaFaaqMaFPAy5423331（箭头标出实际方向）0BM()MFAxFAyFBy0AMaFaaqMaFPBy4542333104542333aFaaqMaFPBy箭头标出实际方向 ()MFAxFAyFBy 0XF053PAxFFPAxFF53 0YF由 可校核所得支座

8、反力。 箭头标出 实际方向()MFAxFAyFBy截开截面1，取左侧为隔离体，见图（c），建立平衡方程并解之：2)2)求截面求截面1 1处的内力处的内力 0XF01AxNFFAxNFF1 0YF01aqFFAyQqaFFAyQ1FAxMFAyM1FQ1(c) 01M021MaFaaqMAyMaFqaMAy2121用文字写明受拉侧FAxMFAyM1FQ1(c)(下侧受拉)取截面1右侧为隔离体计算可得同样结果FByFQ1M1(d)2.2.荷载与内力的关系荷载与内力的关系( (未考虑沿杆件轴向的荷载作用未考虑沿杆件轴向的荷载作用) ) dx图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3,荷载与内力之间有

9、下列关系： 图3-1-4(a)(1)(1)微分关系微分关系在图3-1-3所示杆件的连续分布荷载段截取微段dx，见图3-1-4(a),建立微段的平衡方程： dx 0YF0qdxFdFFQQQqdxdFQ(a)(a) 0M02)(2dxqdxFMdMMQQFdxdM(b)(b) dx忽略二阶微量由(a)、(b)两式得:qdxMd22(c)(c) 以上三式，为荷载与内力的微分关系。微分关系的几何意义微分关系的几何意义若直杆段上无荷载作用，则剪若直杆段上无荷载作用，则剪力图是与轴线平行的一条直线，力图是与轴线平行的一条直线，弯矩图是一条斜直线弯矩图是一条斜直线；若直杆段上作用均布荷载，则若直杆段上作用

10、均布荷载，则剪力图为一条斜直线，弯矩图剪力图为一条斜直线，弯矩图为抛物线为抛物线 若直杆段上作用三角形分布荷若直杆段上作用三角形分布荷载，则剪力图为抛物线，弯矩载，则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线；图为三次曲线； 以此类推以此类推(2)(2)荷载与内力的增量关系荷载与内力的增量关系 在图3-1-3所示杆件上，取含有集中力和集中力偶在内的微段dx，见图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：dx图3-1-4 (b) 0YF0PQQQFFFFPQFF(d)(d) 0M/20QPMMMF dx F dxmmM 以上两式，为荷载与内力的增量关系。式(e)忽略了一阶微量。 (e)(e) dx增量关系的几

11、增量关系的几何意义何意义 在集中力作用点（集中力垂直与杆轴在集中力作用点（集中力垂直与杆轴或有垂直于杆轴的分量）两侧截面，或有垂直于杆轴的分量）两侧截面，剪力有突变，突变值即为该集中力或剪力有突变，突变值即为该集中力或垂直于杆轴的分量；两侧弯矩相同，垂直于杆轴的分量；两侧弯矩相同，但由于两侧剪力不同，因此弯矩图的但由于两侧剪力不同，因此弯矩图的斜率不同，形成与集中力方向相同的斜率不同，形成与集中力方向相同的尖角。尖角。在集中力偶作用截面两侧，弯矩在集中力偶作用截面两侧，弯矩有突变，突变值即为该集中力偶；有突变，突变值即为该集中力偶；剪力无变化。由于两侧剪力相同，剪力无变化。由于两侧剪力相同，因

12、此两侧弯矩图的切线相互平行。因此两侧弯矩图的切线相互平行。叠加法的基本含义是，若结构在线弹性阶段且为小变形时，若干荷载作用下结构的内力或位移，可由各荷载单独作用下的内力或位移叠加求得。3.3.区段叠加法作弯矩图区段叠加法作弯矩图根据叠加法的基本含义，下图(c)右所示简支梁在两端力偶和均布荷载所用下，其总弯矩图（图(c)右）等于，两端力偶、均布荷载分别单独作下弯矩图（图(a)右、图(b)右）的叠加。(1)(1)简支梁的弯矩叠加法简支梁的弯矩叠加法BAqBA82qlCBABAqBA82qlCCBA2ABMM先分别计算和绘制各荷载单独作用下的弯矩图,后再叠加。其步骤是: 梁的轴线为原始基线，将梁两梁

13、的轴线为原始基线，将梁两端的弯矩竖标连以直线。端的弯矩竖标连以直线。 12上一步所作的直线为新的基上一步所作的直线为新的基线，叠加梁中部荷载作用下线，叠加梁中部荷载作用下的弯矩图的弯矩图 。简支梁在两支座端有外力偶作用时，梁两端截面的弯矩等于该端力偶；无外力偶在端部作用时，端部截面的弯矩为零。所以简支梁两端支座处的弯矩值竖标可直接绘出。注注 1 1）图的叠加是弯矩竖标的叠）图的叠加是弯矩竖标的叠加，而不是图形的简单叠加。加，而不是图形的简单叠加。 2)2)每叠加一个弯矩图，都以紧每叠加一个弯矩图，都以紧前一次弯矩图为新基线。前一次弯矩图为新基线。例例3-1-2 计算图示简支梁，并作弯矩图和剪力

14、图。 4mq=14kN/m1m1m1m（2 2）区段叠加法作弯矩图）区段叠加法作弯矩图 解 去掉支座约束，以整体为隔离体，由静力平衡条件 0BM 0AM得1)求支座反力4mq=14kN/m1m1m1mmkNFAy30) 673414(71mkNFBy33) 174414(71() () F =0AxF =30kNA yq=14kN/mF =33kNByF =33kNBy(a) 4mq=14kN/m1m1m1m2)计算控制截面弯矩值 mkNFFMPAyD531723012(下侧受拉) kNFFFPAyQD23730取D截面以左F =0AxF =30kNA yq=14kN/mF =33kNByF

15、=33kNByQDFNDFDM取C截面以右mkNFMByC331331kNFFByQC33(下侧受拉)F =0AxF =30kNA yq=14kN/mF =33kNByF =33kNByQCFCMNCF3)作内力图弯矩图：见图(b)（下页），以梁轴线为基线，画出控制截面弯矩竖标并连以直线；分段叠加各段相应简支梁的弯矩图，并计算各段中点的弯矩值。 AD段中点： mkNME30427253DC段中点： mkNMDC718414233532130kN/m53kN/m71kN/m33kN/m(b) M图 30kN33kN/m(c) FQ图 剪力图：见图(c) ，按图(a)外力从梁的任意一端开始逐段绘制

16、。注意剪力正负号的确定。例例3-1-3 计算图示伸臂梁，并作弯矩图和剪力图。 1mq=20kN/m2m1m1m解解 1)求支座反力（略） F =5kNAyF =75kNByq=20kN/m(a) 2)求控制截面弯矩值取截面C以左： mkNqFMAyC30122025122上侧受拉F =5kNAyF =75kNByq=20kN/mQCFNCFCMQBFBMNBF取截面B以右： 140BPMFkN m 上侧受拉3)作内力图各区段中点弯矩值： AC段中点：mkNMAC5230822021上侧受拉F =5kNAyF =75kNByq=20kN/mCB段中点：D左： mkNMDl653024030D右：

17、 mkNMDr53024030上侧受拉上侧受拉F =5kNAyF =75kNByq=20kN/m弯矩图：见图(b)，剪力图：见图(c)。 5kNm65kNm5kNm40kNm30kNm40kN35kN5kN(b) M图(c) FQ图 说说 明明 区段叠加法作弯矩图时，需要熟练计算简支梁的内力，并应熟记简支梁在单一荷载形式下的弯矩图，如下图3-1-8所示。1 1 Lbaqq2qL82qL2qL图图3-1-83-1-8 (a)(a) 在均布荷载所用下，简支梁跨中弯矩为 。 82qL1LbaPFLa bPFLaPFLb(b)(b) 2集中力在跨中，简支梁跨中弯矩为 。 4LFP集中力偶作用点两侧截面

18、的弯矩竖标异侧，绝对值之和等于该集中力偶（突变值）。注意到力偶作用点两侧的3LbaMLbMLaLMLM(c)(c) 弯矩图斜直线相互平行，由此几何关系可确定两侧截面上的实际弯矩值。当集中力偶在跨中时，梁中点两侧截面的弯矩值的绝对值相等，均为集中力偶的一半。 2 2 当内力图完成后，注意用荷载与内力的微分和增量关系定性检查 。并熟练掌握用叠加法坐直杆的弯矩图。4.4.斜梁的内力图斜梁的内力图第二节第二节多跨静定梁多跨静定梁概念 多跨静定梁可看作是由若干个单跨静定梁顺序首尾铰接构成的静定结构。常见于桥梁、屋面檩条等。 多跨静定梁有两种基本的形式，即阶梯式和悬跨式 q(a)阶梯式 图图3-2-13-

19、2-1q(b)悬跨式 图图3-2-13-2-11 1阶梯式多跨静定梁的组成特征阶梯式多跨静定梁的组成特征 这类形式的多跨静定梁的外在组成形式是，以一根与大地独立形成几何不变体的单跨梁开始，以后各梁顺序首尾铰接，并每根梁有一根落地支座链杆，逐一按两个刚片的规则（或依次加二元体的方式）组成。 各单跨梁之间有依赖关系：若切断后续的杆件与紧前杆件的联系，则切断处剩下的部分便成为几何可变体系，见图3-2-2FByFBxFByqFBx图图3-2-2-(a)3-2-2-(a) FCxqFCyFCyFCx图图3-2-2-(b)3-2-2-(b) 从受力的角度看，其中AB可独立承受荷载，并可承受其他部分由铰B传

20、来的力；而其他部分则不能独立承受荷载。 由以上可定义:在多跨静定梁中，可独立承受在多跨静定梁中，可独立承受荷载的部分，叫做荷载的部分，叫做基本部分基本部分；依赖于其他部分才能承受荷载依赖于其他部分才能承受荷载的部分，叫做的部分，叫做附属部分附属部分。 多跨静定梁的组成顺序是，先基本部分，后基础部分。用分层图表示见下图3-2-3，qFDyFCyFCxFByFCyFCxqFBxFA yFByFAxFBx(a) (b) 图图3-2-33-2-3q图图3-2-33-2-3 (c) 容易看出，多跨静定梁的传力顺序是组成顺序的反方向，即，由附属部分传向基本部分。 2 2多跨静定梁的实用计算多跨静定梁的实用

21、计算方法方法多跨静定梁的实用计算方法，是多跨静定梁的实用计算方法，是以各独立的杆件为隔离体，其计以各独立的杆件为隔离体，其计算顺序是：算顺序是：先附属部分，后基本先附属部分，后基本部分部分。基本部分上的荷载对附属部分不产生影响(几何不变特性)，而附属部分上的荷载对其以下的附属和基本部分均产生影响。 例3-2-1 计算图(a)所示多跨静定梁，并作内力图。 2m1mq=6kN/m2m1m1m1m3m(a) 解 该多跨静定梁为阶梯式，分层图如图(b) (b) 从最高层附属部分依次取单根杆件计算，见图(c)以从右向左的顺序计算。据此作内力图见图(d)、(e)。 (c)由下图组成： F =2kNAyFB

22、yqF=6kNCyF =1kN2FByF=11kNByF=6kNDyF=6kNCy(d)M图2kN(e)FQ图 例3-2-2 计算图示多跨静定梁，并作内力图。 q =32kN/m13m1m1m3m1m4m1m1m2mq =12kN/m2(a)说说 明明 本例为悬跨式多跨静定梁。注意观察CD（和AB）梁，该类梁没有直接与大地的联系，悬起用两单铰与两端的其他部分相连，称有这样的梁的跨为悬跨。 悬跨式多跨静定梁可以图(f)所示的刚片逐一由两个刚片的规则作几何组成分析。 IIIIII(f)如果图(f)中AB、CD梁上无荷载作用，且其是作为约束的存在的，则其内力为零，可直接去掉。内力计算可将剩余的隔离体按由右向左顺序计算。如图(g)