概率论第七章(浙大第四版)

1、第七章第七章 参数估计参数估计关键词：矩法估计极大似然估计置信区间置信水平（置信度）枢轴量参数：反映总体某方面特征的量I9090901()XXpP X 2设浙江大学大一学生某学年的微积分 成绩服从正态分布，当时为优秀，则优秀率也是一个参数，它是 和例：的函数。当总体的参数未知时，需利用样本资料对其给出估计参数估计。3两类参数估计方法：点估计和区间估计1nXXXX设总体 有未知参数 ，, ,是 的简单随机样本。4111(nnnXXxxxx点估计问题：构造合适的统计量, ,)用来估计未知参数 ，称 为参数 的点估计量，当给定样本观察值 , , 时，称, ,)为参数 的点估计值。常用的点估计方法：

2、矩法、极 大似然法7.1 参数的点估计参数的点估计：以样本矩估计总体矩，以样本矩的函数估计总体矩统计思想的函数。5：辛钦大数定律和依概率收理论根据敛的性质11( ;,kkkF xk1设总体的分布函数为, ,)，其中, ,是待估的未知参数，假定总体的前 阶原点矩存在。（一）矩估计法1()( ,),1,iiikE Xhikkk（1）求总体前 阶矩关于 个参数的函数61(,),1,iikgikk(2)求各参数关于 阶矩的反函数111,kiikkAAg AAik1(3)以样本各阶矩 , ,代替总体各阶矩，得各参数的矩估,计( ,)，基本步骤.iiiiB注：在实际应用时，为求解方便，也可以用中心矩代替原

3、点矩 ，相应地以样本中心矩估计7采用的矩不同，得出的参数估计也不同。采用的矩不同，得出的参数估计也不同。8 1121010000 0100 00 4000 80 ,.43 . .30 . 4 .5 .14 .99 .1 例 ：设总体 的密度为：为未知参数，其他，为取自 的样本，求 的矩估计量。若已获得10的样本值如下，nXxxfxXXXXn 0 0.98 . 2 求 的矩估计值。 9 11E Xxfx dx 解解：（）1 10 xdx 231XX （）21121 （） 20 36340 3630 32510 363.,.（ ）x 21222( ,11,nXNXXX ：设总体)，是 的样本，求下

4、列情况下未知参数的矩估计。（1） 未知,（2）未知例2，（3）均未知.(),E XX解（1）1122222221()1,()1() 1111niiE XE XE XAXn (2)2思考题：的矩估计还有别的吗？222211(),()niiD XBXXn有，因为所以说明矩估计不唯一。122222222222(),()()E XE XE XXAXB(3)可以看出，矩估计不涉及分布。1( , ),nXU a babXXab设总体 服从均匀分布， 和 是未知参数，样本，求 和 的例3：矩估计。13212()(),212ababE X解（1）求矩关于参数的函数1412123,3ab(2)求参数关于矩的反函

5、数2121221,()33niiAXBXaXBbXBXnab12=(3)以样本阶矩代替总体矩代替，得参数 和,=的矩估计极（最）大似然估计的原理介绍极（最）大似然估计的原理介绍考察以下例子： 假设在一个罐中放着许多白球和黑球，并假定已经知道两种球的数目之比是1:3，但不知道哪种颜色的球多。如果用放回抽样方法从罐中取5个球，观察结果为：黑、白、黑、黑、黑，估计取到黑球的概率p.极极二二 大大似似然然估估计计法法：31,.44pp 解：设抽到黑球的概率为则本例中，或16 3311.4441024p 4当时，出现本次观察结果的概率为 33811.4441024p 4当时，出现本次观察结果的概率为38

6、13110241024443.4ppp 由于，因此认为比更有可能， 于是取为更合理17( ; )Xp x一般地，设离散型总体， 未知。11,nnXXXxx从总体 中取得样本，其观察值为，111111,( ),( ; ). (; )( ; ).nnnnnniiXxXxLP XxXxp xp xp x则事件发生的概率为1( ( ,)max ( ).nLxxL极大似然原理：似然函数11ML,E)nnxxXX称（）为 的，相应统计量极极大似然估计量（）大似然计为 的估值。,Xf x若总体 为连续型的，概率密度为， 为未知参数。 12121,nnniiXXXx xxLf x则对于样本的观察值，似然函数

7、。1( ( ,)max ( ).nLxxL极大似然原理：1912 1.,k 未知参数可能不是一个，一般设为说明； 2.0,1,2,., .1,2,., .iiLlnLlnLlnLikik在求的最大值时，通常转换为求：的最大值，称为对数似然函数.利用解得 ， 3.iiL若关于某个是单调增 减 函数，此时 的极大似然估计在其边界取得； 4.gg若 是 的极大似然估计，则的极大似然估计为。 11 01 0 ,0.43 0.01 0.30 0.04 0.54 0.14 0.99 0.18 0.98 0.02 nXxxf xXXXn设总体 的概率密度为：其他是总体 的样本，求 的极大似然估计量。若已获得

8、10的样本值如下，求 的极大似例4：然估计值。21221 niinlnX的极大似然估计量为： 211111,nniinniiiiLf xxx解：似然函数 11ln2niinlnLlnx 111ln0 22niidlnLnxd令1lnniinx 即： 0.305的极大似然估计值为：21222( ,11,nXNXXX ：设总体)，是 的样本，求下列情况下未知参数的极大似然估计。（1） 未知,（2）未知例5，（3）均未知.221()()2211( ).22nxxLee解（1）似然函数2321()212niixne21()1ln ( )ln22niixLnX1ln ( )()0niidLxd22122

9、(1)(1)2222211().22nxxLee（2）似然函数24221(1)2212niinxe22221(1)1ln ()lnln222niixnLn2211(1)niiXn2222411ln ()(1)022niidnLxd 221()2221( ,)2niinxLe （3）似然函数2522221()1ln ( ,)lnln222niixnLn 2211,()niiXXXn2222411ln ( ,)()022niinLx 2211ln ( ,)()0niiLx 1( , ),()nXU a babXXabE X设总体 服从均匀分布，和 是未知参数，样本，(1)求 和 的极大似然估计,(

10、2)求的极大例6：似然估计。261,1,., .()( , )0,.inaxb inbaL a b解：(1)似然函数其他27( , ),ln ( , )0,ln ( , )0.L a babL a bL a bab注意到，似然函数关于 单调增 关于 单调减，因此，111,min ,max ,nnnxxaxxbxx另一方面，在得到样本值后的取值的取值2811min ,max ,( , )nnaxxbxxL a b只要使得 达到最大值达到最小值就能使达到最大。1(1)1( ),min,max,nnna baXXXbXXX所以，的极大似然估计量分别为(1)( )(2) ()2()22nabE XXX

11、abE X的极大似然估计量为 11 , 0 0, , xnXexf xXXX 设总体 的概率密度为：其它其中是未知参数为的样本，求的矩估计与极大似然估例计。7：30 1 解：矩估计 1E Xxfx dx212vv得22()vD XE X21211() 1()niiniiXXnXXXn1xxedx21()xxedx2201()t xttedt 31 2 极大似然估计11,inxiLe 此处不能通过求偏导数获得 的极大似然估计量，(1)12,inxxmin x xx故 的取值范围最大不超过111 ,1,2,., .niixinexin32 2 极大似然估计111,niinxnLeL 注意到，是 的

12、增函数，取到最大值时， 达到最大。 12110niidlnLnXXd 令 121,nXmin XXX故 1XX 11niilnLnlnX 又,220,3 X123设总体 的概率分布律为：21-3其中,未知现得到样本观测值2，3，2，1，3，求 的矩估计值与极大似然估计8值。例 ：34 1 解：矩估计1kkE Xx p352223 (1 32) 2.2X 0.3212(3)52(3)5X 2 极大似然估计( )(2)(1 32)(2) (1 32)L32116(23 )ln ( )ln163ln2ln(23 )L ln ( )36023dLd0.4120,0 ,nXx xx设总体 服从上的均匀分

13、布，未知， 试由样本求出 的极大似然估计和 例9：矩估计。37 1 解：极大似然估计 1 0;0 xXf x因 的概率密度为：其它 121 0,0 nnx xxL故参数 的似然函数为：其它 0,Ldlnnd 由于不能用微分法求:L从义发以下定出求 120,innxxmax x xx因为故 的取值范围最小为 1nnLnLxLxL又对的 是减函数，越小， 越大，故时， 最大； 12,LnnXmax XXX所以 的极大似然估计量为 2 矩估计012E XxdxX由2X7.2 估计量的评选准则 从前一节看到，对总体的未知参数可用不从前一节看到，对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏

14、？同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？四条评价准则：四条评价准则：(1)(1)无偏性准则无偏性准则(2)(2)有效性准则有效性准则(3)(3)均方误差准则均方误差准则(4)(4)相合性准则相合性准则 401.无偏性准则 12,nXXXE 定义：若参数 的估计量满足则称 是 无偏的一个估计量。 ,nEliEm E若那么称为估计量 的若则偏差渐近称 是 的无偏估计量222222,XE XD XXSB设总体 的一阶和二阶矩存在，分布是任意的，记(1)证明：样本均值 和样本方例差分别是和的无偏估计；（2）判断：是否为的无1偏估计？是否为的：渐近无偏估计？4312,nXXXX（1）证：因与 同分布，故

15、有：X故 是 的无偏估计.11niiE XEXn11niiE Xn1nn442211()1niiE SEXXn2211()1niiEXn Xn22211nn22S故是的无偏估计.211()1niiEXXn111niiD XnD Xn452212nBSn（ ）22222211()nnE BE SnnB故不是的无偏估计.222221lim()limnnnE BnB故是的渐近无偏估计. .10,2LnXXX检验7 节例9（即总体 服从上的均匀分布）的矩估计量与 例 极大似2然估计量的：无偏性。47 0, ,2XUE X解：1,nXXX由于与 同分布 2EEX12niiE Xn22nn 2X因此是 的

16、无偏估计48 LnnXX为考察的无偏性，先求的分布，5由第三章第 节知： ,nnXFxF x 1 0 0 nnnXnxxfx于是 其它10nnx nxdx LnEE X因此有：1nn LnX所以是有偏的。 纠偏方法 ,0112,nnnEaba babanXXXn如果 其中是常数，且则是 的无偏估计。在例 中，取则是 的无偏估计491,nXX无偏性的统计意义是指在大量重复试验下，由所作的估计值的平均恰是 ，从而无偏性保证了 没有系统误差。2.2.有效性准则有效性准则 221121 ,DD 定义：设是 的两个估计， 如果对一切成立， 且不等号至少对某一成立，则称 比有效。无无偏偏50 112120

17、, ,12, 2nnXUXXXnXXnn设总体是取自 的样本，已知 的两个无偏估计为，判别 与哪个有效例3：时 ？52 22142123DDXnn解： 1 0 0 nnnXnxxfx由 其它 222221nnnDE XE Xn于是 221221 32DDnn n因为比 更有效 1220 2nnnnxnE Xdxn22n n2()( ).EMse定义：设 是参数 的点估计，方差存在，则称是估计量的均方误差，记为53()( )MseD若 是 的无偏估计，则有在实际应用中，均方误差准则比无偏性准则更重要.3.均方误差准则5422SB2：试利用均方误差准则，对用样本方差和样本二阶中心矩分别估计正态总体

18、方差时进例4行评价.55222 (1)/(1).nSn解：根据第六章抽样分布定理，在正态总体下， 224222()().1SMse SD Sn又因是的无偏估计，因此 562222()() Mse BE B而 2 222() ()D BE B222 211() ()nnDSESnn4221nn22221211.nnnnBS当时，有，因此在均方误差准则下，优于4.4.相合性准则相合性准则1,0, 0 nnnnnlimXnPX 设为参数 的估计量， 若对于任意，当时， 依概率收敛于 ， 即有：成立， 则 定义：相合估计量或称为 的一致估计量5711122221()(2), , (1)()12,2,.

19、,2,.,13() ,()kknnlliliniiXkE XkXXXXE XAXlklknBXXSD XnS ：设总体 的 阶例5矩存在 是取自 的样本，证明：是的相合估计；（ ）是的相合估计；（ ）是的相合估计；(4)是 的相合估计。5911 (),1,2,., .(1)2nliillXnE Xlk证明：由辛钦大数定律知，依概率收敛到因此，（ ）成立。11111 ,.,.,(,.,)(,.,)(,.,)kkkkkAAgg AAg根据依概率收敛的性质， 由是的相合估计，若是连续函数，则是的相合估计。222122222122222()1()1niiD XBXXAXnnSBSnSS因为，所以是的相

20、合估计，注意到，因此也是的相合估计；是 的相合估计。因此，(3) 和(4)成立。 1120, ,1 2nnXUXXXnXXn：设总体是取自 的样本， 证明：和是例6的相合估计。62 12,EE证：0,n 由切比雪夫不等式，当时， 112DP有：2203n12所以 和都是 的相合估计。 21,3Dn 222Dn n 222DP同理：2202n n1122.2PPXXX注：证明的相合性可以用辛钦大数定律，事实上，所以，7.3 区间估计63111122112, ,nnnXXXXXXX 假设是总体 的一个样本， 区间估计的方法是给出两个统计量 使区间以一定的可靠程度盖住 。641;,01 ,nXF x

21、XXX定义7.3.1：设总体 的分布函数含有一个未知参数 ，是总体 的一个样本，对给定的值LLUUU111L1,1 , ,7 1nnnnPXXXXXXXX 如果有两个统计量，使得：LULU,1双侧置信区间置则称随机区间是 的；称为；和分别信度双侧置信下限双侧置称为和信上限。(一）置信区间的定义65LU), ,100(1)%.n 若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等，都为每个样本值确定一个区间每个这样的区间或者包含 的真值 或者不包含 的真值。按伯努里大数定律，在这些区间中，包含 真值的约占LULUL1U1(,)(,)1 , , nnPXXXX 如果 的置信区间，满足：则置信区间的含义为0.0

22、5,95%0.01,99%如反复抽样10000次，当即置信水平为时,10000个区间中不包含 的真值的约为500个；当即置信水平为时,10000个区间中不包含 的真值的约为100个。 单侧置信限1L1L7 1,1, 72, nnPXXXX 定义7.3.2 在以上定义中，若将式改为单侧置：则称为 的信下限。67U1U1,1, 72 73, ,nnPXXXX 又若将式改为：则称单侧置为 的信上限。n单侧置信限和双侧置信区间的关系：LL1UU1LU,nnXXXX1212设是参数 的置信度为1-的单侧置信下限，是参数 的置信度为1-的单侧置信上限，则（ ，）是参数 的置信度为1-的双侧置信区间。69L

23、UUL,()E定义：称置信区间的平均长度为区间的，并称二分之一区间的平均长度为置信区间的精确度误差限。 说明：在给定的样本容量下，置信水平和精确度是相互制约的。LLUUU111L1,1, , 7 1nnnnPXXXXXXXX 如果有两个统计量，使得：Neyman原则：原则：在置信度达到一定的前提下，选取精确度尽可能高的区在置信度达到一定的前提下，选取精确度尽可能高的区间。间。同等置信区间：同等置信区间：71（二）枢轴量法11( ; )(nnXf xXXG XX定义7.3.3：设总体 有概率密度（或概率分布律），其中 是待估的未知参数，并设,是来自该总体的样本，称样本和未知参数 的函数,; )为

24、，如果它的分布不依赖于未知参数 ，且完枢轴量全已知.n枢轴量和统计量的区别：n（1）枢轴量是样本和待估参数的函数，其分布不依赖于任何未知参数；n（2）统计量只是样本的函数，其分布常常依赖于未知参数。n思考题：思考题：2122( ,),( ,)()()(1)2()()nXNXXXXNnn Xn XXSn Xn XXS 总体是 的样本是未知参数，则，哪个是统计量？（ ）考虑 的置信区间，哪个是枢轴量？(1)()()()2()()Xn Xn XSn XSXn Xn XX答：是统计量；与含有未知参数，都不是统计量。（ ）是枢轴量；的分布含有未知参数，含有除了 以外的其他未知参数 ，所以 ，都不是枢轴量

25、。构造置信区间具体步骤：1(,; )nG XX(1)构造一个分布已知的枢轴量；1(2)1(,; )1nabP aG XXb 对连续型总体和给定的置信度，设常数满足；111(,; ),1nLUnnLUaG XXbXXXX（3）若能从得到等价的不等式那么就是 的置信度为的置信区间。1(,nG XX枢轴量; )的构造，通常从参数的点估计（如极大似然估计，无偏估计，矩估计等）出发，根据 的分布进行改注：造而得.77若步骤（3）中a和b的解不唯一，问：该如何处理？1.ey根据Nman原则：求a和b使得区间长度最短；11( (,)( (,)/2nnP G XXaP G XXb2.如果最优解不存在或比较复杂

26、，为应用的方便，常取a和b满足：; ); )n正态总体下常见枢轴量：正态总体下常见枢轴量：2222( ,)()(0,1)() (1)(1)(1)Nn XNn Xt nSnSn 222正体情形，（已知）的枢轴量：，（未知）的枢轴量：，（ 未知）(1)(1)单单个个态态总总221122122212122212122212121212(,),(,)()()(0,1),()() (2)()11wNNXYNnnXYt nnSnn 二正体情形的枢轴量：，（已知）未知(2)(2)个个态态总总1222111122221222211222121222121222212 , 1 1,12(0,1), 3 6.8

27、nnXXYYNNSSSFF nnSXYNnnXY 设样本和分别来自总体和 并且它们相互独立，其样本方差分别为理：时，定则：当121212221122221221111 ,2wwwwt nnSnnnSnSSSSnn其中2211222221111222222212(,),(,)(1,1)NNSF nnS 二正体情形的枢轴量：（ ，未知(2)(2)个个态态总总8117721(14).125iiXXXXx1例1：设某产品的寿命 服从均值为的指数分布，, ,是来自该总体的样本，若已经证明， 2 并已知小时，试利用枢轴量法推断该产品平均寿命的范围（置信水平为0.9）.8272171iiiiXX解：由于2（

28、14），分布已知且与参数 无关， 因此可取枢轴量为 2，且有7220.950.0517711220.050.95(14)(14)1(14)(14)iiiiiiPXXXP 2=0.922 即=0.9837711220.050.95(14)(14)iiiiXX 因此该产品平均寿命的置信水平为0.9的置信区间为22 ， 220.050.95Excel(14)23.685(14)6.571125266.32)x由或查表得 ，并将样本资料代入上式得 （73.89,90%即有的把握认为该产品平均寿命在73.89小时到266.32小时之间. 7.4 正态总体参数的区间估计 一 单个正态总体情形2122, 1

29、nXNXXXXXS 设总体，为来自 的样本和分别为样本均值和方差 置信度为1. 均值 的置信区间 21 已知时,0,1 ,XXNn是 的无偏估计 且有分布完全已知，1(,).nXG XXn因此可取枢轴量为1XabP abn 设常数且满足: 1P XbXann 即等价于 ()/Lban此时区间的长度为 /2.abz 根据正态分布的对称性知，取 时，区间的长度达到最短22,XzXznn从而 的同等 置信区间为： 1?均值 的置信度的置信下限思题：是什么呢考: Xzn答案88 22 未知时1Xt nSn取枢轴量为，22111XPtntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即2(1)tn122

30、2(1)tn221 ,1SSXtnXtnnn置信区间为： 2222,36,15. ,95 116; 2,16;X cmNcmS 例1：设某种植物的高度服从正态分布 随机选取棵 其平均高度为就以下两种情形 求 的双侧置信区间：未知91 36,15,4nX解： 11.961.960.95P XXnn由1.96 41.961513.69336Xn得：1.96 41.961516.30736Xn13.693,16.307的置信区间为92 2 36,15,16nXS20.0250.025(35)(35)1 0.05SSP XtXtnn 由0.025352.0301t查表得：2.0301 42.0301

31、4 1513.647,1516.35366又：13.647,16.353的置信区间为 9912求置信度为时 两种情况下 的置信区间？ 1 13.333,16.667 2 13.184,16.815答案：94 12比较两种情形下 的置信区间：22,16,13.693,16.307已知置信区间：22,16,13.647,16.353S未知置信区间：, ,tX S n2但第二种情形更实用,因为多数时候,未知用 分布求 的置信区间只依赖于样本数据及统计量区间短区间长n例 某制药商对某样品进行分析, 以确定该样品中活性成分的含量. 通常情况下，化学分析并不是完全精确的, 对同一个样本进行重复的测量会得到

32、不同结果, 重复测量的结果通常近似服从正态分布. 根据经验, 活性成分含量的标准差为0.0068(克/升),假设化学分析过程没有系统偏差, 设活性成分的含量的真值为 对样品进行三次重复测量结果如下: 0.8403 0.8333 0.8477. 求真值 的置信水平为95% 的置信区间.960.0250.8404.0.95xz解 该样本三次测量的平均值为由置信水平，利Excel或查正态分布表得=1.96,所以 的置信水平为0.95的置信区间为0.0250.025/,/xznxzn（）=（0.8327， 0.8481）n在在Excel中的实现中的实现利用利用AVERAGE函数求均值，函数求均值， C

33、ONFIDENCE函数求方差已知时的误差限函数求方差已知时的误差限.本例的计算步骤如下：本例的计算步骤如下：（1） 将样本观察值输入将样本观察值输入Excel 表中，设数据区域为表中，设数据区域为A1到到A3；（2）下拉菜单）下拉菜单“插入插入”选项卡选项卡单击单击“函数函数” 选择选择“统计统计” 选选”AVERAGE”;（3） 在在“Number1”文本框中输入文本框中输入“A1:A3” 点击点击Enter键，即显示键，即显示均值均值为为“0.840433”；（4）重新下拉菜单）重新下拉菜单“插入插入”选项卡选项卡单击单击“函数函数” 选择选择“统计统计” 选选”CONFIDENCE”;

34、（5）在）在“Alpha”文本框中输入文本框中输入“0.05”，“Standard-dev”文本框中输入文本框中输入“0.0068”,“Size”文本框中输入文本框中输入“3”,点击点击Enter键，即显示键，即显示误差限误差限为为“0.007695”；（6） 的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间为的置信区间为 （0.840433-0.007695 , 0.840433+0.007695） =（0.8327, 0.8481）11(,),(,).nnnX YXY（3）成对数据情形例：为考察某种降压药的降压效果，测试了 个高血压病人在服药前后的血压（收缩压）分别为 100111,nnniiX

35、XXXYYXY由于个人体质的差异，不能看成来自同一个正态总体的样本，即是相互独立但不同分布的样本，也是.另外对同一个个体，和 也是不独立的.121, ,(,)iiinddDXYinDDN 作差值 , 则取消了个体的差异，仅与降压药的作用有关，因此可以将, ,看成来自同一正态总体的样本，且相互独立。101221/(1)/11,() .,1)DdnDiiDXYSDDS tDnnn的置信水平为的置信区间为其中ABAB例2： 、 两种小麦品种分别播种在面积相等的8块试验田中，每块田地 、 品种各播种一半，收获后8块试验田的产量如下:102A: 140, 137, 136, 140, 145,148,

36、140, 135B: 135, 118, 115, 140, 128, 131, 130, 115品种品种0.05假设两品种产量的差服从正态分布，求两品种平均产量差的置信区间（）.:51921017171020iiidxy解： 这是成对数据问题，由已知计算得 1030.025/213.6257.74572.365(1)/7.149,20.101dDdstDS tnn，查表得（ ），代入公式）中，得所求置信区间为 （）。n在在Excel中的实现中的实现本例的计算步骤如下：本例的计算步骤如下：（1） 将上述将上述 数据值输入数据值输入Excel 表中，设数据区域为表中，设数据区域为A1到到A8；（

37、2）在）在Excel 表中选择任一空白单元格表中选择任一空白单元格 输入输入”=AVERAGE（A1:A8)”; 点击点击Enter键，即显示键，即显示均值均值 为为“13.625”；idd（3）在）在Excel 表中选择任一空白单元格表中选择任一空白单元格 输入输入“=STDEV（A1:A8)” 点击点击Enter键，即显示键，即显示样本样本标准差标准差 为为“7.744814”；（4）在）在Excel 表中选择任一空白单元格表中选择任一空白单元格 输入输入“=TINV（0.05,7）”; 点击点击Enter键，即显键，即显 示示分位分位数数 为为 “2.364624”； （5）代入公式）代

38、入公式 得所求区间估计为（得所求区间估计为（7.149,20.101） ds0.025(7)t/2(1)/DDS tnn10622. 方方差差的的置置信信区区间间（设设 未未知知）22211nSn取枢轴量为2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信区间为： 22(1)n21212(1)n222212221111nSPnn 有.：上述所求的区间估计不是最优解注1-?2思考题：方差的置信度的置信上限是什么221(1).(1: ) nSn答案22,25,4.25.9599S例3：一个园艺科学家正在培养一个新品种的苹果这种苹果除了口感好和颜色鲜艳以外 另一个重

39、要特征是单个重量差异不大。为了评估新苹果 她随机挑选了个测试重量 单位：克 其样本方差为试求的置信度为 和的的置信区间。10995%解：置信度为时222220.0251 0.025111 0.05nSnSP 220.0250.9752439.4,2412.4;查表得：25 14.2525 14.25 2.59,8.2339.412.4又：2.59,8.232的置信区间为220.0050.99599%,2445.6,249.89,25 14.2525 14.252.24,10.3145.69.89置信度为时2.24,10.312的置信区间为1212222121112222211211,11, ,

40、 1.nnnnijijXXXNY YYNXX YYSSnn 来自来自和分别为第一 二个总体的样本方差 置信度为 二 两正态总体情形112121. 的置信区间 22121 ,已知时22121212,XYNnn由 知，122212120,1XYNnn可取枢轴量为 2212212XYznn置信区间为： 113 2222122 ,未知1212126.3.4 211wXYt nnSnn此时由定理知，221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中12212112wXYtnnSnn置信区间为： 114 22123 且未知12nn当样本量 和 都充分大时(一般要50),根据中心极限定理得，2212

41、212SSXYznn12则-的近似置信区间为： 12221212 (0,1).XYNSSnn近似115对于有限小样本，可以证明1222212122221222112222221212min()(1)(1),knnssnnkssn nn nssSS其中-1,-1) 更精确些的 是的样本观察值.12221212 ( ),XYt kSSnn近似1162212212( )SSXYtknn12则-的近似置信区间为： 11721222. 的置信区间22121222121,1SSF nn由 2212121222122121,11,11SSP FnnFnn 有 22211122212122221221111,

42、11,1SSPFnnFnnSS 即 12, （设未知）122(1,1)Fnn211212(1,1)Fnn222112212122212211,1,11,1SSFnnFnnSS置信区间为： 例4：两台机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠得直径(毫米)如下:甲机床 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8乙机床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0221122, ,X YXNYN 设两机床生产的滚珠直径分别为且 119 1212121212122112221 0.18,0.24,0.902 0.900.904 ,0.90 求的置信度为的置信区间；若未知，求的置信度为的置信区间；(3) 若且未知， 求的置信度为的置信区间；若未知，求的置信度为的置信区间.1