第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计(2016)

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 引言引言7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较引言：* *FIRFIR滤波器滤波器及线性相位的定义及线性相位的定义h(n)=hh(n)=h0 0,h,h1 1, ,h hN-1N-1 N- N-滤波器的阶数滤波器的阶数成正比。）与（线性相位：指相位函数）（幅度函数中，的频响特性得令 - -) H(11 )e ()()()( ez )()(10)(j10jNnnjjNnnHen

2、heHnhznhzH频域频域 对应对应 时域时域线性相位线性相位 时间延迟时间延迟(但原信号形状不变但原信号形状不变)Y(j)=kX(j)e-j y(t)=kx(t-) ()=-线性相位线性相位*应用领域应用领域图像通信：对线性相位要求很高图像通信：对线性相位要求很高(防止图像的失真防止图像的失真)语音信号处理：对线性相位要求不高语音信号处理：对线性相位要求不高(因为人耳听到的是声音的功率谱因为人耳听到的是声音的功率谱)7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 1. 线性相位条件线性相位条件 对于长度为对于长度为N的的h(n)，传输函数为，传输函数为10()(

3、)( )()( )Njj nnjjgH eh n eH eHe (7.1.1) (7.1.2) 式中，式中，Hg()称为幅度特性，称为幅度特性，()称为相位特性。注意，这称为相位特性。注意，这里里Hg()不同于不同于|H(ej)|,Hg()为为的实函数，可能取负值，而的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。总是正值。H(ej)线性相位是指线性相位是指()是是的线性函数，即的线性函数，即 ()= - , 为常数为常数 (7.1.3) 如果如果()满足下式：满足下式： ()=0- ，0是起始相位是起始相位 (7.1.4) 严格地说，此时严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两不具有线性相

4、位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即种情况都满足群时延是一个常数，即( )dd 也称这种情况为线性相位。也称这种情况为线性相位。一般称满足一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二式为第二类线性相位。类线性相位。则第一类线性相位的条件是：则第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2偶对称，即偶对称，即 h(n)=h(N-n-1) (7.1.5)第二类线性相位的条件是：第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对是实序列且对(N-1)/2奇对称，即奇对称，即 h(n)= -h(N-n-1) (7.1.6)()

5、= -()= 0 -结论结论: h(n)成为线性相位滤波器的条件：成为线性相位滤波器的条件：若若h(n)=h(N-1-n) (偶对称偶对称)或或h(n)= -h(N-1-n)(奇对称奇对称)则则H(ej)具有线性相位。设具有线性相位。设h(n)对称中心为对称中心为=(N-1)/2, 其相位函数其相位函数 h(n)()= - (偶对称偶对称)()= - -/2 (奇对称奇对称)=(N-1)/2=2=(N-1)/2=2 =(N-1)/2=(3-1)/2=1;()= -= -线性相位线性相位例1 求：三点平均器h(n)=1/3,1/3,1/3的H(ej),并判断它是否为线性相位滤波器，若是，则()=

6、?解：特点：无反馈支路，设单位脉冲响应特点：无反馈支路，设单位脉冲响应h(n)长度为长度为N，其系统函，其系统函数数H(z)和差分方程为和差分方程为1010( )( )( )( ) ()NnnNmH zh n zy nh m x nm4. FIR型滤波器的基本网络结构型滤波器的基本网络结构FIR直接型网络结构直接型网络结构 x(n)y(n)z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N2)h(N1)7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器目的：目的：求满足技术指标求满足技术指标p， s， ap，as的有限长单位脉冲的有限长单位脉冲响应响应h(n)。一、一、设计过程设计过程(1)选

7、取选取“理想低通滤波器理想低通滤波器” hd(n)hd(n)频响特性为频响特性为 Hd(ej)，且，且Hd(ej)是线性相位的。是线性相位的。 - - - | | 0 | | -) ( | | 0 | | 1| )(H| | | 0 | | 1)(cccccdcc取样时移截止频率则jjjdeeeH则则hd(n)=IFTHd(eIFTHd(ejj)=)=hd(n)是以是以为中心的偶对称无限长的非因果序列，它不是可实为中心的偶对称无限长的非因果序列，它不是可实现的现的FIR滤波器。滤波器。) -(n ) ( sin)-2j(n1 21 21 )(21c)()()(neededeedeeHnjnjn

8、jnjjnjjdcccccc-40-30-20-10010203040-0.500.511.52nN-10hd(n)h(n)(7.2.2) (2)截取（加窗）截取（加窗）h(n)=hd(n)w(n)-h(n)为可实现的有限长因果序列。为可实现的有限长因果序列。w(n)-窗函数窗函数w(n)= -对对hd(n)截取截取0N-1点点 (加矩形窗）加矩形窗）为了得到线性相位，为了得到线性相位，h(n)应对称，应对称，=(N-1)/2（一般取（一般取N为奇数，为奇数，h(n)偶对称）偶对称）注：注：|H(ej)|Hd(ej)|思考：思考：1) |H(ej)|波形如何？波形如何？ 2)加矩形窗是否合适？

9、加矩形窗是否合适？其他 01-Nn0 12.窗函数的选择窗函数的选择* *窗函数的影响窗函数的影响1)1)在截止频率在截止频率c c处产生过渡带，过渡带宽处产生过渡带，过渡带宽tr=| s s- - p p|(|(低通：低通：s s- - p p；高通：高通：p p- - s s) )()()()(jjddeHeHnhnh 频域：时域：加窗0 c |Hd(ej)|0 p s |H (ej)|（2）在过渡带两旁的通带和阻带都产生波动）在过渡带两旁的通带和阻带都产生波动，即通带波动即通带波动R Rp p和阻带衰减和阻带衰减A As s 。( (吉布斯现象吉布斯现象) )例：加矩形窗例：加矩形窗R

10、RN N(n)(n)* *窗函数的选择窗函数的选择过渡带宽过渡带宽trtr越小越好，阻带衰减越小越好，阻带衰减a as s越大越好。越大越好。哈明窗是较好的选择。哈明窗是较好的选择。trtr=8/N,as=53dB=8/N,as=53dB)(e*)(eH21)H(ejjdjNR 图7.2.2 矩形窗对理想低通 幅度特性的影响 二、常用窗函数二、常用窗函数1. 矩形窗(Rectangle Window) wR(n)=RN(n) 2. 汉宁汉宁(Hanning)窗窗升余弦窗升余弦窗1211222( )0.51cos()( )1()( )( )2()( )0.5( )0.25()12()( )1Hn

11、NNjjRNRjHnHnRRNNjjRHnnnRnNWeFT RnWeWeFT WnWWNWeWeN 3. 哈明哈明(Hamming)窗窗改进的升余弦窗改进的升余弦窗2( )0.540.46cos()( )1HmNnnRnN图7.2.4 常用的窗函数常用窗函数幅频特性常用窗函数幅频特性(N=51)图图7.2.6 理想低通加窗后的幅度特性理想低通加窗后的幅度特性(N=51,c=0.5)表表7.2.2 六种窗函数的基本参数六种窗函数的基本参数 最窄最窄最宽最宽最小最小最大最大窗函数设计FIR滤波器的步骤：(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。sin()( )()cdnh nn(

12、2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带为，它近似等于窗函数主瓣宽度。例：哈明窗：查表例：哈明窗：查表 7.2.2得得8/N,则则N= 8 /+1(3) 计算滤波器的单位取样响应h(n)。 h(n)=hd(n)w(n)(4)验算技术指标是否满足要求。 例例7.2.1 用汉宁窗设计用汉宁窗设计FIR低通滤波器，低通滤波器， 设设N=11,c=0.2rad。 解:sin()( ),010()1(1)52sin(0.2 (5)( ),010(5)cddnh nnnNnh nnn 用汉宁窗设计：( )( )( ),0102( )0.5(1cos)10d

13、HnHnh nh nnnnn三、设计举例三、设计举例* 求求h(n)频响特性频响特性H(ej)的函数的函数freqz格式：格式：H,w=freqz(b, ,a, ,n)1)b,a-H(z)1)b,a-H(z)分子、分母多项式系数分子、分母多项式系数对对FIRFIR滤波器，滤波器，b=h,a=1b=h,a=12)n-2)n-频率计算点数频率计算点数(N)(N)3)H-3)H-对应数字频率对应数字频率w w的频响特性的频响特性w(w(单位：单位：radrad) )通通常常w/pi,w/pi,则频率坐标以则频率坐标以为单位。（归一化）为单位。（归一化）2/N例例 用用Matlab设计设计FIR低通滤

14、波器低通滤波器技术指标：技术指标：p=0.2 s=0.3 ap=0.25dB as=50dB解：解： 分析：分析：1) 1) as50dB,选哈明窗选哈明窗matlabmatlab：( (hamming(N)-hamming(N)-产生产生N N点点哈明窗哈明窗tr=8/N= s- p=0.3-0.2=0.1|H(ej)| 0 p c s apas2)由由tr定滤波器长度定滤波器长度N=8/tr(朝朝+方向取整方向取整) Matlab:ceil(8*pi/tr)3)3)定理想低通滤波器定理想低通滤波器h hd d(n(n)=)=截止频率取截止频率取c c=(w=(wp p+w+ws s)/2)

15、/2取样时移取样时移=(N-1)/2=(N-1)/24)4)加窗处理加窗处理( (加加哈明窗哈明窗) )5)5)画画图图h(n),|H(eh(n),|H(ejj)|)|等等 6)6)验证验证滤波器滤波器是否达到技术指标的要求是否达到技术指标的要求+ +低通滤波低通滤波程序：程序：) -(n )( sincnwp=0.2*pi;ws=0.3*pi;tr=ws-wp;N=ceil(8*pi/tr)+1n=0:1:N-1;wc=(ws+wp)/2;m=n-(N-1)/2+eps;hd=sin(wc*m)./(pi*m);%hd(n)w_ham=(hamming(N); %哈明窗（哈明窗（N点）点）h

16、=hd.*w_ham; %h(n)=hd(n)w_hamH,w=freqz(h,1,1000,whole);%H(ej)mag=abs(H); %幅频特性幅频特性|H(ej)|db=20*log10(mag+eps)/max(mag);%|H(ej)|以以dB为单位为单位db=20lg|H|/|H|maxfigure(1)%第一张图第一张图subplot(221);stem(n,hd,.);%画画hd(n)subplot(222);stem(n,w_ham,.); %画画哈明窗哈明窗subplot(223);stem(n,h,.);%);%画画h(n)subplot(224);plot(w(1

17、:501)/pi,db(1:501);%画画|H(ej)|（dB）(一半的频率点一半的频率点),频率轴以频率轴以为单位为单位%以下是技术指标的验算以下是技术指标的验算delta_w=2*pi/1000;%w=2/1000ap=-(max(db(1:1:wp/delta_w+1)%验算通带最大波动（是否验算通带最大波动（是否50dB?)%应用应用 低通滤波低通滤波(思考：哪一个信号可以通过？思考：哪一个信号可以通过？)fs=1000;n2=1000;f1=50;f2=200;j=0:1:n2-1;x=sin(2*pi*f1*j/fs)+sin(2*pi*f2*j/fs);%x(n)为为50Hz和

18、和200Hz正弦波的迭加正弦波的迭加,数字频率数字频率%1=2f1/fs=0.1, 2=2f2/fs=0.4。y=conv(x,h);%低通滤波低通滤波t=j/fs; %将时间轴改为连续时间将时间轴改为连续时间tfigure(2)subplot(211);plot(t,x);axis(0.1 0.2 -2 2) %画画xsubplot(212);plot(t,y(1:n2);axis(0.1 0.2 -1 1) %画滤波后的信号画滤波后的信号yh(n)H(ejw)w(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.5 IIR和和FIR数字滤波器的比较数字滤波器的比较 IIR滤波器滤波器(用于语音通信）用于语音通信）优点：阶数低；可借助于模拟滤波器的结果。优点：阶数低；可借助于模拟滤波器的结果。缺点：非线性相位；系统必须在单位圆内，否则不稳定。缺点：非线性相位；系统必须在单位圆内，否则不稳定。 2.FIR滤波器滤波器(用于图像传输）用于图像传输）优点：线性相位；系统稳定；可实现特殊应用。优点：线性相位；系统稳定；可实现特殊应用。缺点：阶数较高；设计出的缺点：阶数较高；设计出的h(n)、计算通带阻带衰减无显式、计算通