第1章概率论基础

1、随机信号分析 2随机信号分析 3随机信号分析 4随机信号分析 5随机信号分析 6随机信号分析 7随机信号分析 8随机信号分析 9随机信号分析 10随机信号分析 11i 表示为随机实验的随机实验的样本点基本可能结果随机信号分析 12随机信号分析 13 ()AAnP Ann试验中 出现的次数总试验次数很大随机信号分析 14 0P A =1P AB =P ABP AP B随机信号分析 15=0P 01P A ABP AP B如果， 则 P ABP AP AB随机信号分析 16ABB A 事件 发生条件下的事件 0P ABP B AP AP A，随机信号分析 17 P ABP A P B12,nA A

2、A 1212mmkkkkkkP A AAP AP AP A随机信号分析 18随机信号分析 19(, )H T 随机信号分析 20 1/2,P HP T ,FHT 0,1PP 随机信号分析 212( ,0,1,2,3)is i 随机信号分析 221PN小球放入任一格子kkPN小球放入任意 个格子随机信号分析 23 12121312121nnnP A AAP A P A A P A A AP A A AA随机信号分析 241,2,iA in,ij ;ijA A 1niiA 1niiiP BP B A P AiiiP ABP B A P A随机信号分析 2511,2,kkkniiiP AP B AP

3、 A BknP B A P A()iP A(|)kP B A(|)kP ABkkkP B AP AP A BPB随机信号分析 2600.9P X 10.1P X 0.9 0.29010.9 0.20.1 0.813P XY0.1 0.84110.9 0.20.1 0.813P XY0X10Y1(0|0)0.8P(1|0)P(0|1)P(1|1)0.8P(0)0.9P(0)0.1P随机信号分析 27( , )sin()tAWW t st随机信号分析 28111sin()at222sin()at333sin()at随机信号分析 29事件事件样本点样本点值域空间值域空间出现出现“1”点面点面11出现

4、出现“2”点面点面22出现出现“6”点面点面66随机信号分析 30值域空间值域空间1 2 3 4 5 6随机信号分析 31 Xx X ( )XFxP Xx随机信号分析 321122iiX()X X2 2X Xi iX X1 1样本空间样本空间随机变量随机变量X()随机变量值域随机变量值域随机信号分析 33随机信号分析 34. .r v X概率分布函数分布率（概率特性）概率密度函数矩特性（数字特征）随机信号分析 35123456. .123456xxxxxxr v Xpppppp611ipi61( )()XiiFxP XxPU xxi( )XFxP Xx随机信号分析 36F(x)pkxkx3x2

5、x1xp1P1 P21随机信号分析 37()1()0FP XFP X (0)( ) ()( )F aF aF aF a或随机信号分析 38122112211211221221()( )()( )()()()( )()( )P xxxF xF xP xxxF xF xP xxF xF xP xxxF xF xP xxF xF x2121()( )xxF xF x若，则随机信号分析 39( )Xfx( )f x( )( )XdfxF xdx随机信号分析 40123456. .123456xxxxxxRV Xpppppp61( )()XiiiFxP XxPU xx61( )( )()XXiiidfx

6、FxPxxdx随机信号分析 41x1x2x3xkpkf(x)xp1p2 p3随机信号分析 42iiP Xxp ,iiiF xpu xxi为整数 ,iiifxpxxi为整数( )( )u与随机信号分析 43( , ( )( )baAP Xa bf x dxP XAf x dx ( )0f x 随机信号分析 44( )1f x dx( )( )xXXFxfd随机信号分析 45随机信号分析 46 XFx Xfx随机信号分析 47随机信号分析 4812( ),( ),.,( )nXXX( )( ),1,2, )iX sXin随机信号分析 491122iiX1()X2()Xi()X X1()1()多维映

7、射多维映射X X2()2()X Xi()i()随机信号分析 50( )( , ),ZXYFzFx yP Xx Yy ( )XF x( )YF y( , )XYFx y随机信号分析 51yxXx,Y y随机信号分析 52, ( , )( , )( , )( , )P aXb c YdF b dF b cF a dF a c(,),1(,),0(, )0( ,)0FP XYFP XYFyF x 随机信号分析 53( , )xyF x y 是 、 的单调非减函数( ,)( )(, )( )XYXXYYFxFxFyFy 随机信号分析 542( )( , )( , )( , )ZXYfzfx yf x

8、yF x yx y ( )Xf x( )Yf y( , )XYfx y随机信号分析 55()(, ,(, ( , )( , )( , )( , )xyDP Xx YyF x yf x y dxdyP X YDf x y dxdy ( , )0XYfx y 随机信号分析 56( , )1f x y dxdy ( )(,)()(,)( )( ,)( ,)()(,)( ,)xXyYXYFxfddFyfddfxFxfx y dyxfyFyfx y dxy 随机信号分析 57,1ijijijijP Xx Yypp( , )(,)XYijijijfx ypxx yy( , )(,)XYijijijFx y

9、p u xx yy随机信号分析 58123,nXXXXX121122121212( ,),( ,)( ,)XnnnnXnXnnFx xxP Xx XxXxFx xxfx xxx xx 随机信号分析 59随机信号分析 60(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)JS 随机信号分析 61随机信号分析 62随机信号分析 63x2F(x1,x2)x1(1,0)(0,0)(0,1)(1,1)0.00020. 010.021随机信号分析 64随机信号分析 65随机信号分析 66221122211 222 ()()12(1)2121( , )21xxyyf x ye 221122(,; )N 随机信号

10、分析 6722112221122()()1 22(1)xxyy 221212222211()()12(1)2xxy 22212122121()1(1)2(1)xyx 随机信号分析 68221221221212()2(1()22)211( )e21e21xyxXdyfx 21211()1( )exp22Xxfx22222()1( )exp22Yyfy随机信号分析 69|XA XB|Xx YB1111,|,nnnnXxXxYBYB1111,|, nnnnXxXxYyYy点事件随机信号分析 70|,( |)|( |)( |)X YX YP Xx YBFx YBP Xx YBPYBF x YBfx Y

11、Bx|0,( | )limX YyP Xx yYyyFx yP yYyy |( , )( | )( | )( )XYX YX YYfx yfx yFx yxfy( , )( )xXYYfu ydufy随机信号分析 71( )( | ) ( )f xf x y f y dy( | ) ( )( | )( | ) ( )f y x f xf x yf y x f x dx12121312121()( ) (|) (|)(|)nnnf x xxf xf xxf xx xf xx xx随机信号分析 72Independence XXYY随机变量 与随机变量 与 取统计独立值事件统计独立( , )( )

12、( )( , )( )( )XYXYXYXYFx yFx Fyfx yfx fy或 随机信号分析 7312,.,kXXX121121(,.,)( )(,.,)( )kkiikkiiF x xxF xf x xxf x随机信号分析 7422112221122()()122(1)2121( , )e21xxyyf x y 随机信号分析 75( , )( | )( )f x yf y xf x2122221212(1)221e21xy 0( , )( ) ( )f x yf x f y随机信号分析 761 4,02,| 2( , )0,xyxf x y其它1|01P XYP X与随机信号分析 771

13、(, )( , )2( | )( )0X YDf x yyf x yf y其它 2,2y (|)X Yy(0,2)Uy1/20,2)( |0)0 xf x y其它(|0)X Y (0,2)U随机信号分析 78110111|0( |0)22P XYf x ydxdx110131( )(1)24P Xf x dxx dx随机信号分析 79随机信号分析 800( )X t000( )( )( )Y tX tN t0( )N t000( )( )( )X tY tN t随机信号分析 81随机信号分析 82xyyh(y)( )( )( )( )( ) ( )( )h yYXYXFyP YyP Xh yf

14、x dxfyfh yh y对两边求导数，随机信号分析 83xyyh(y)( )( )( ) 1( )1( )( ) ( )( )Yh yXYXFyP YyP Xh yP Xh yfx dxfyfh yh y 对两边求导数，( ) ( )( )YXfyfh yh y随机信号分析 8422()221( )2XXx mXXfxe随机信号分析 85( )/, ( )1/YaXbh YYbaXh Ya是单调函数而22(,)XXYN amb a22222()22()2221( )( )21 2XXXXy bmaYXy b amaXfyeh Yea 随机信号分析 86结论：结论：n若随机变量若随机变量1(

15、)YXybfyfaa随机信号分析 872112212, , 0( ), ( )( )( )( )YYXXYYXYh YXYh YFyP YyP Xh yP Xhy 令xy随机信号分析 881122( ) ( )( )( )( ) ()()2 0()()20( )0XXYXXXYXfyfh yh yfhyhyfyfyyfyfyyyfyotherwisey随机信号分析 89?随机信号分析 90随机信号分析 91随机信号分析 92121211121222121111222111222122. .,( ,),(,)( ,)( ,)(2). .,);(,)(,)(,)Xr v XXfx xYg XXr

16、v Y YYgXXYg XXYgXXXh Y YXh Y Y(1)存在唯一的反函数（逆变设 （）的联合概率密度函数是如换果二元连续函数确定二维(若，满足下）有连续的一列条件：阶偏导数随机信号分析 93111212121122222121(3) ,(, )(,)(,) ,0YXhhyyJhY Yfy yJfh y yhyhyyy则二维随机变换行列式（雅可比行列式）Jacob变量（）的联合概率ian密度函数是随机信号分析 94随机信号分析 95变换！变换！随机信号分析 961111112212221212( ,) ( ,)YXXYh Y YYXXXYYh Y Y令则 1112221210111hh

17、yyJhhyy随机信号分析 9712112212121(,)(,),(,) ,YXXfy yJfh y yh y yfy yy21211211()( ,),YYXfyfy y dyfy yy dy211111,( ),YXyy xyfyfx yx dx随机信号分析 9812121111,()()XXXXXfx xyfxfyx若与独立，则12( )( )( )YXXfyfyfy12111111( ), ()()YXXXfyfxyx dxfxfyx dx随机信号分析 991212( )( )( )RRRfrfrfr随机信号分析 100随机信号分析 101随机信号分析 102随机信号分析 103r0

18、(Rayleigh)随机信号分析 104随机信号分析 1051kiiiE Xx P Xx(XE XX（所有可能取值）取该值的可能取值）的概率( )E Xxf x dx随机信号分析 10612(,)kXX XX12( , , )kE XE XE XE X随机信号分析 107随机信号分析 108kmkkmE X 1kkkiiiE Xx P Xx( )kkE Xx f x dx随机信号分析 109k() kkE XEX222() E XEXVar X22()EXEX随机信号分析 110,X Yk rm( )( )( , )krkrk rxymE X Yx y f x y dxdy 11XYmE XY

19、R,X Y随机信号分析 111(moment of inertia),X Yk r() () krk rXYE XmYm11()() XYE X mY mCov XYE XYE X EY,X Y随机信号分析 1121212, | 1XXCov XX 且 随机信号分析 1131X2X12XaXb1X2X| 1随机信号分析 114121222122122222122212222122|, () 10,10|1XXXXXXXXXXE XaE XbVar Xa Var XaaCov XXE a XmaaaCov XXaaaa 而随机信号分析 115( , )( )( )XYXYXYfx yfx fy与

20、 统计独立12121212( 1)( 2)111222( 1)( 2)12( ,)() xxxxE X Xx x f x x dx dxx f xdxx f x dxE X E X ）随机信号分析 1161211221212,()()0Cov XXE XmXmE X Xm mXYXY与 独立与 不相关随机信号分析 117cos 0,2 )sinXUY其中1/20,2 )0,2 ) ( )0Ufotherwise随机信号分析 118202020cos( )0 sin( )0(, ) =sin0cos( )0,XYE XfdE YfdCov X YE XYE X E YE XYfdXY即 与 不相

21、关。XYXY 不一定与 不相关与 独立随机信号分析 1191X2X1X2X12120X XE X XR随机信号分析 120 (, ) Cov X YE XYE X E Y(2) 0 (, ) 0 0 , 0 XYE XYCov X YE X E YE XE YCov X YXY 若 与 正交，则此时若 或 ， 则 ，即 与 不相关。(1) 0 0 0 0XYE XYE X E YE XYE X E YE XE YE XYXY若 与 不相关，则则此时若 或 ， 则 ，即 与 正交随机信号分析 121统 计统 计独立独立互 不互 不相关相关相 互相 互正交正交任一随机变量任一随机变量均值为均值为0

22、(a)( , )( )( )XYXYfx yfx fy0(, )0XYCov X Y0XYR正态分正态分布除外布除外随机信号分析 122互不互不相关相关统计统计独立独立随机信号分析 123互不互不相关相关统计统计独立独立相互相互正交正交随机信号分析 124Conditional expectation)随机信号分析 125随机信号分析 126n在一定条件下的数学期望，称为在一定条件下的数学期望，称为条件数学条件数学期望期望（或（或条件均值条件均值）。以二维为例，定义）。以二维为例，定义如下：如下：n对于离散型随机变量，对于离散型随机变量， 是是y的函数，即的函数，即( , )( | )( )X

23、YXYYfx yfx yfy|()()X YE X Yyxfx y dx()iijijjx pE X Yyp()E X Yy()E X y( , )( )XYYxfx y dxfy随机信号分析 127。()E X Y ()()( )YE E X YE X y fy dy( , )()XYxfx y dxdyE X |( , )()()( )XYX YYxfx y dxE X Yyxfx y dxfy随机信号分析 128随机信号分析 129随机信号分析 130随机信号分析 131随机信号分析 132随机信号分析 133随机信号分析 134随机信号分析 135随机信号分析 136随机信号分析 13

24、7随机信号分析 138随机信号分析 139X()jvXXvE e( )Xv随机信号分析 140X)(xf( )( )jvxXvf x edx1( )ikjvxXiivp e随机信号分析 141( )()Xf xv F()( )Xfxv F F随机信号分析 142傅立叶傅立叶变变 换换将将 换换为为 -v( )f x( )Xv将将x 换换为为-x 傅立叶傅立叶反变换反变换( )j xf x edx( )jvxf x edx随机信号分析 143X( )jvvpeq)(xf。01( )X0, 1( )( )(1)jvjvjvvpeqqepeP Xq P Xpf xqxpx随机变量 有解法解法1：随机

25、信号分析 144( )( )( )(1)( )( )(1)vf xqxpxxxf xqxpx 此题亦可直接对进行反傅立叶变化得：将右端，有q p)(xf0 1随机信号分析 14512()njvXjvXjvXjvnE eE eE eqpe例例1.20求二项分布求二项分布Binomial 的特征函数。的特征函数。解：解：首先令首先令 ，其中，其中 是独立同分布是独立同分布的，服从的，服从01分布，且分布，且 所以：所以： 其中其中q=1-p。故。故,XB n p1niiXXiX(1)iP Xp ijvXvqpe 12()njv XXXjvXXvE eE e随机信号分析 146( )( )xf xeu x0()0( )( )xjvxjv xveeu x dxedxjv1( ), 0ateu taaj 随机信号分析 147随机信号分析 14812()( )jv XXjvYYvE eE e221212 221211( ), ()22xxXXfxefxe2221222212222( ), ( )Note: 2 vvjvxXXXvE eeeeve 241( )2yYfye显然，方法二比方法一简单。1212,( )jvXjvXYXXvE ee独立，12121(), ( )( )( )( )knnkkijv XXXjvYYYYYYXXvE eE ev