两向量作这样的运算

1、 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义第四节第四节 向量的数量积与矢量积向量的数量积与矢量积一、一、 向量的数量积向量的数量积ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数

2、量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. .数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba 关于数量积的说明：关于数量积的说明：.|)1(2aaa 0)2( ba.ba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )

3、(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求(1) ba ；(2) a与与b的夹角；的夹角；(3) a在在b上的投影上的投影.解

4、解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 证证明明向向量量c与与向向量量acbbca)()( 垂垂直直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(.Pr,Pr,3),(1, 2,3,32. 3AjBjBAbababaBbaABA 求求设设例例28376)3()32(.22 bbaababaBA解解.3128Pr,3728Pr,31,3722 BBAAjABABjBBBAAABA

5、设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为 ，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP与与F所所决决定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、二、 向量的向量积向量的向量积LFPQO 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .关于向量积的说明：关于向量积的说

6、明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.abc )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 证证ba/)(0sin . 0sin| bababa/或或0 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa 例例：已已知知,ba为为两两非非零零不不共共线线向向量量，求求证证：)()( baba)( 2 ba. .abbabbaababa )()(证明证明)2ba （,kji ,

7、 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式zzyxbaaa 000, 0 yxaa几何上几何上|ba 表示以表示以a和和b为邻边为邻边的平行四边形的面积的平行四边形的面积.xb、yb、zb不能同时为零，但允许两个为零，不能同时为零，但允许两个为零，例如，例如，abbac 此式仅是一个记号此式仅是一个记号向量积还可用向量积

8、还可用三阶行列式表示三阶行列式表示:zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出例例 4 4 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 5 5 在顶点为在顶点为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC边上的高边上的高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |521225BD |21BDS | AC. 5| BD例例6 设以向量设以向量 和和 为边做平行四边形，求平行为边做平行四边形，求平行四边形中垂直于四边形中垂直于 边的高线向量。边的高线向量。aba0,: auauabuaubu垂直于垂直于则则设高线为设高线为解解aba u.,0)(:22aaabbuaabaaabaab 即即例例 7 7 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4| m，2| n，3| p，计计算算pnm )(.解解),sin(|nmn