考研极限试题(卷)

1、“考研数学”做到更好，追求最好南工程考研数学辅导材料之一高 等 数 学主编： 杨降龙 杨 帆刘建新翁连贵 吴业军序近几年来，随着高等教育的大众化、普及化，相当多的大学本科毕业生由于就业的压力，要想找到自己理想的工作比较困难，这从客观上促使越来越多的大学毕业生选择考研继续深造，希望能学到专业的知识，取得更高的学历，以增强自己的竞争能力；同时还有相当多的往届大学毕业生由于种种的原因希望通过读研来更好地实现自我。这些年的统计数据表明：应届与往届的考生基本各占一半。自 1989 年起，研究生入学数学考试实行全国统一命题，其命题的范围与内容严格按照国家考试中心制定的“数学考试大纲” ，该考试大纲除了在

2、1996 年实施了一次重大的修补以外， 从 1997 年起一直沿用至今，但期间也进行了几次小规模的增补。因此要求考生能及时了解掌握当年数学考试大纲的变化， 并能按大纲指明的“了解”，“理解，”“掌握”的不同考试要求系统有重点的复习。 通常研究生入学数学考试与在校大学生的期末考试相比，考试的深度与难度都将大大的增加，命题者往往将考试成绩的期望值设定在80（按总分 150 分）左右命题，试题涉及的范围大，基础性强，除了需要掌握基本的计算能力、运算技巧外，还需掌握一些综合分析技能（包括各学科之间的综合）。这使得研究生数学入学考试的竞争力强，淘汰率很高。为了我院学生的考研需要，我们编写了这本辅导讲义。

3、该讲义共分三个部分，编写时严格按照考试大纲，含盖面广、量大，在突出重点的同时，注重于基本概念的理解及基本运算能力的培养，力求给同学们做出有效的指导。第一章 函数 极限与连续考试内容函数的概念及其表示，函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性，复合函数、反函数、分段函数、隐函数，基本初等函数的图形与性质，初等函数的建立，数列极限与函数极限的性质，函数的左右极限，无穷小与无穷大的关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算，极限存在的两个准则，两个重要极限，函数连续的概念，函数间断点的类型，闭区间上连续函数的性质。考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。2、了

4、解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性的概念，注意这些问题与其它概念的结合应用。3、理解复合函数、分段函数的概念，了解隐函数、反函数的概念。4、掌握基本初等函数的性质及其图形。5、理解极限、左右极限的概念，以及极限存在与左右极限的关系。6、掌握极限的性质与四则运算。7、掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、理解无穷小、无穷大的概念；掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小计算极限。9、掌握利用罗必达法则求不定式极限的方法。10、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。11、理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最值存在、介值定理） ，并会利用这些性质

5、。1 函数一、函数的概念二、函数的性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性；三、函数的运算（重要考点） ：四则运算、复合运算（复合函数） 、逆运算（反函数） ；四、函数的分类：初等函数、非初等函数。例题1、（88）已知2xf (x) e , f ( x) 1 x ，且 ( x) 0，求 (x) 及定义域。2、（92）已知2f ( x) sin x, f ( x) 1 x ，求 (x) 定义域。3、设12f ( ) x(1 x 1), x 0 x，求 f (x) 。4、1 12f (sin x ) sin x 32sin x sin x，求 f (x) 。5、（97）22 x, x 0 x , x

6、0g( x) , f ( x)2 x, x 0 x, x 0,求 g f ( x) 。6、设f ( x)1 x, x 01, x 0，求 f f (x) 。7、（90 ）f (x)1, x 1 0, x 1，求 f f ( x) 。8、求y2x 2 1 x 02x 0 x 1的反函数。21 2x , x 19、（96 ）设函数3f (x) x , 1 x 2，12x 16, x 2（1）写出 f (x) 的反函数 g(x) 的表达式；（2） g( x) 是否有间断点、不可导点，若有，指出这些点。10、设 f (x) 满足： 1 caf (x) bf ( ) , a,b,c x x为常数，且 a

7、 b ，试证： f (x) 为奇函数。11、 x R, f (x) 满足：22 f (x) f (1 x) x ，求 f (x) 。12、设 f (x) 连续，且sin xf (x) 2lim f (x)x x，求 f (x),lim f (x) 。x13、（89）设 f (x) 连续，且1f (x) x 2 f ( x) dx ，求 f (x) 。014、（97）设1 12f (x) 1 x f (x)dx2 01 x，求10f (x) dx 。2 极限一、定义及性质 （1）唯一性；（2）局部有界性； （3）局部保号性 :（i ） 若 f ( x) 0,( 或 f (x) 0 ), 且 li

8、m f (x) A ， 则 A 0 ( 或 A 0 );x x0o o（ii ） 若 lim f ( x) A 0 ( 或 A 0 ),则 U( x , ), x U( x , ) ，f ( x) 0 ( 或 f (x) 0 );0 0x x0二、求极限的方法（重点）1、用定义证明和观察法1 1如 lim arctan x ; lim arctan x ;x x2 2x xlim e ; lim e 0 。x 0 x 02、用极限的四则运算法则和函数的连续性3、用两个重要极限：isin x) lim 1x 0xsin u（或 lim 1u0 u）注意比较如下几个极限 ：sin xlim 0xx

9、sin x，lim 1x0 x1 1，lim x sin 1， lim x sin 0xx x0 x11 1x n xii ) lim(1 ) e, lim(1 ) e, lim(1 x) e x nx n x 011u一般形式： u u elim (1 ) ， lim (1 ) eu 0 uu通常对于含三角函数的00型极限用 i)，对于 1 型极限用 ii)。4、(1) 用等价无穷小计算极限x 0时，常见的 等价无穷小 有xsin x, tan x, ln(1 x), e 1, arcsin x, arctan x x,121 cos x x , (1 x) 1 x ( 0) . 2注意：

10、x 的广泛的代表性u 1, arcsin , arctansin u, tan u, ln(1 u), e u u u1 cosu 122u , (1 u) 1 u 等(2) 有界函数乘无穷小仍为无穷小。5、用罗必达法则设（1）lim f (x) 0( ) ，lim F (x) 0( ) ，（ x x0 或 x ）（2）在 x0 的某个去心邻域内（当 x 充分大时） f ( x), F (x) 可导，且 F (x) 0f (x)（3）lim A( )F (x)则l i mfF(x)x)f (x)l i m A(F (x)基本类型有00和 。对于 0 , ，可以通过初等变形转化为00和 。对于0

11、 01 , , 0 ，通过取对数再用罗必达法则。6、用变量代换注意：该方法要视极限的具体形式而定，如：在计算 x x0 的极限时，如果被求极限中含有 x x0 的因式时，可以令 x x0 = t；在计算 x 的极限中，如果被求极限中含有1x1，则可令 tx。在研究生数学入学考试中不常出现7、用极限存在的二个准则i)夹逼（两边夹）定理；ii)单调有界定理：单调递增（减）有上界（下界）的数列必有极限。8、利用导数定义 (ch.2)9、用定积分定义 (ch.3)当已知函数 f (x) 可积时，有ni 11lim f ( ) f (x )dxn n n0i 1，nia 11lim f ( ) f (

12、ax) dxn 0n ni 1=1a 0af(x)dxni 11lim f (a ) f (a x) dxn n n0i 1=aa1f ( x)dxlimnin1(b a)i b abf (a ) f (x)n nadx10 、用微分和积分中值定理 (ch.2)11 、用 Taylor 公式(ch.2)注意：下面几类极限一般要讨论左右极限：分段函数在分段点的极限；x x 时，与绝对值或开偶次方根有关的极限；01x x 时，含有形如0x xa 因式的极限。0三、无穷小阶的比较设 , 均为无穷小，且不为 0，如果：（1） lim / 0时，则称 是 的高阶无穷小，或称 是 的低阶无穷小，记 0(

13、)。（2） lim / c 0时，则称 与 为同阶无穷小，特别当 c 1时，称 与 是等价无穷小。 k c 时，则称 是 的 k 阶无穷小。（3） lim / 0注意：无穷小的比较是在数学考试中一个经常考的考点，尤其在数二、三、四中。其主要考法有：已知函数 f (x) 与另一已知函数 g(x) 是同阶无穷小，求 f ( x) 中所含的参数；当函数 f (x) 满足什么条件时，是nx 的同阶（高阶）无穷小；将给出的几个无穷小按其阶从小到大排列。例题（一）极限的计算1、（00 ）设对任意的 x，总有 (x) f (x) g(x) ，且 lim g( x) ( x) 0 ，则 lim f (x) ：

14、x x（A）存在且等于零， （B）存在但不一定为零，（C）一定不存在， （D）不一定存在。2、（1）limx 0xe sin xxcos x sin x； （2）limx 0tanx x2x sin x；（3）（97 ）limx 0123sin x x cosx(1 cos x) ln(1 x)； （4）（00）limx 0arctanx x3ln(1 2x )。3、（1）limx 01 x 1 tan x1 x 1 sin x； （2）（99 ）limx 01 tan x 1 sin x2x ln(1 x) x。14、（1）（00）2 x sine xlim( )4x 0xx1 e。 （2）

15、（05 ）（数三、四） limx 011xxe1x(32)5、（1）1xlim(1 ) e xxx； （2）2lim x( x 100 x)。x6、（1）（04）求极限1 2 cos xxlim ( ) 1； （2）（93）3x 30x2 3x 5 2lim sinx5x 3 x；7、（1）（99）1 1lim( )2x 0 x x tan x； （2）（94 ）2 1lim x x ln(1 )xx。8、（1）（03）12ln(1 x )lim(cos x) ； （2）x 03x1 1 1x x xa b clim , ( a,b, c 0) 。x 39、（05）设函数 f (x) 连续，且

16、 f (0) 0 ，求极限x(x t) f (t )dt10lim ( )xx 0 x f (x t )dt 2010、（07）limx 0arctanx sin3xx= 。（二）关于数列极限 ：10、（03）设 a , b , c 均为非负数列，且 lim an 0, lim bn 1, lim cn ，则必有：n n nn n n（A） an bn对任意 n 成立； （B）bn cn 对任意 n 成立；（C）极限 lim ancn 不存在； （D）极限 lim bncn 不存在。n n11、（98）设数列x 与 yn 满足 lim( xn yn ) 0，则下列判断正确的是：nn（A）若 x

17、n 发散，则 yn 必发散， （B）若 xn 无界，则 yn 必有界，（C）若 xn 有界，则 yn 必为无穷小， （D）若1xn为无穷小，则 yn 必为无穷小。12、（1）（98）12nlim( n tan )nnn； （2） lim n( n 1)。n（3）（02）n 2na 1nlim ln nn(1 2a)13、 x1 2, x2 2 2 ,., xn 2 2 2 ，求 lim xn 。n14、（96） x1 10, xn 1 6 xn ，证明 lim xn 存在并求之。n1 115、（97）设 a1 2, a 1 (a )n n2 an，证明： lim an 存在。n116、设 x1

18、 2, xn 1 2 , (n 1)xn，求 lim xn 。n17、（06）设数列 xn 满足 0 x1 ， xn 1 sin xn ， n 1, 2,1证明：（1）lim xn 存在，并求该极限； （2）计算nxn 1limn xn2nx18、1 1 1lim( . )n n n n n2 2 21 2。19、（95）1 2 nlim( . )2 2 2n 1 2n n n n n n n。（三）极限中常数的确定20、（04）若sin xlim (cos x b) 5xx 0e a，求 a、b。21、（1）（97）设 x 0时，tan x xe e 与nx 是同阶无穷小，则 n ?（2）（

19、96）设 x 0时，x 1 axf ( x) e1 bx为 x 的三阶无穷小，求 a, b 。（3）（05 数二）当 x 0时，2(x) kx 与 (x) 1 x arcsin x cos x 是等价无穷小，则k ？（4）设f1 cos x 2(x) sin t dt ，05 x6xg( x) ，则当 x 0时 f (x) 是 g( x) 的（ ）5 6A：低阶无穷小 B：高阶无穷小C ：等价无穷小 D ：同阶但不等价无穷小（5）（06）试确定常数 A, B,C ，使得 （1/3，-2/3 ，1/6）xe(1 BxCx2 Ax o x3) 1 ()ax sin x22、（98）求 a, b,

20、c ，使 lim 3 c, (c 0)x 0 x bln(1 t ) tdt。23、（94）设a tan x b(1 cos x)2 2lim 2, a c 02xx 0c ln(1 2x) d(1 e )，则有：（A）b 4d ， （B） b 4d ， （C） a 4c， （D） a 4c。24 、（1）（01）设当 x 0时，2 n n(1 cosx ) ln(1 x )是比 x sin x 高阶的无穷小，而 x sin x 是比2x(e 1)高阶的无穷小，则正整数 n 等于：（A）1， （B）2， （C）3， （D）4。（ 2 ） （ 01 ） 已 知 f (x) 在 ( , ) 内 可

21、 导 ， 且 lim f (x) e ，xx cxlim( ) lim f (x) f ( x 1)x xx c，求 c 的值。25 、（02 ）设函数 f (x) 在 x 0的某个领域内具有一阶连续导数，且 f (0) 0, f (0) 0 ，若af ( h) bf (2 h) f (0)在 h 0时是比 h 高阶的无穷小，试确定 a、b 的值。26、（02）设函数 f (x) 在 x 0的某领域内具有二阶连续导数， 且 f (0) 0，f (0) 0 ，f (0) 0 ，证明：存在惟一的一组实数 1 , 2 , 3 ，使得当 h 0时， 1 f (h) 2 f (2 h) 3 f (3h)

22、 f (0) 是比2h 高阶的无穷小。27、3 3 2 1lim ( ax bx x x) ，求 a, b 。x33 连续与间断一、 f (x) 在点 x0 连续 （重点）：lim f ( x) f (x ) 或 lim y 0 。0x x x 00初等函数在定义区间内是连续的，分段函数分界点的连续性要用定义讨论。二、若 f (x) 在点 a 不连续，称 a 为 f (x) 的间断点。间断点分两类：第一类间断点（左、右极限都存在） ：可去间断点（左、右极限都相等）和跳跃间断点（左、右极限不相等）第二类间断点：无穷间断点（至少有一侧极限为无穷大） ，振荡间断点等。注意 ：这一部分在数三、四中是一

23、个常考的考点，主要以已知连续性或间断点的类型确定参数，计算题中以讨论间断点类型并补充定义使其连续为主；在数一、二中一般不单独以单个概念出题，通常会跟函数的建立、极限、微分方程等概念结合考查。三、闭区间上连续的函数有以下性质：1）最值定理：闭区间上连续的函数一定取到最大值 M 和最小值 m（必有界）；更一般地：我们可以得到如下结论设 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续，且 lim f (x)x a及 lim f (x)x b都存在，则 f ( x) 在(a, b) 内有界。2）介值定理：闭区间上连续的函数一定取到介于最小值和最大值 M 之间的任一数；3）零点定理：设 f (x) 在a,b

24、 上连续， f (a) 与 f (b) 异号，则至少有一点 (a,b) ，使得f ( ) 0 。推广的零点定理 ：设 f (x) 在区间 ( , ) 上连续，且 lim f (x) ( )x， lim f (x) ( )x，则至少存在一点 ( , ) ，使 f ( ) 0例题1（02）设函数tan x1 exxf ( x) arcsin22 xae x00在 x 0处连续，则 a= 。3ln(1 ax )x arcsin xx 0f (x) 6 x 0 ，问 a 为何值时， f (x) 在 x 0处连续； a 2（03） 设函数ax 2e x axxxsin41x 0为何值时， x 0是 f

25、(x) 的可去间断点？3、（00）设函数 f (x)xbxa e在 ( , ) 内连续，且 lim f (x) 0，则常数 a、b 满足：x（A） a 0, b 0 , （B） a 0, b 0 ,（C） a 0, b 0 , （D）a 0, b 0 .4、（05）设1f (x) ，则（ ）xx 1e 1（A） x 0, x 1都是 f (x) 的第一类间断点。（B） x 0, x 1都是 f (x) 的第二类间断点。（C） x 0是 f (x) 的第二类间断点 , x 1是 f (x) 的第二类间断点（D） x 0是 f (x) 的第二类间断点， x 1是 f (x) 的第一类间断点5、（0

26、4）设f (x) limn(n 1)x2nx1，则 f (x) 的间断点为 x 。6、（98）设f (x) limn11x2nx，讨论 f (x) 的间断点，结论为：（A）不存在间断点， （B）存在间断点 x 1，（C）存在间断点 x 0， （D）存在间断点 x 1。7、下列命题中正确的是（ ）（A）设函数 f ( x) 在 x x0 处连续 , g( x) 在 x x0 处不连续，则 f (x) + g(x) 在 x x0 处必不连续（B） f (x) ， g(x) 都在 x x0 处不连续，则 f (x) + g( x) 在 x x0 处必不连续（C） 设函数 f (x) 在 x x0 处

27、连续， g (x) 在 x x0 处不连续， 则 f ( x) g(x) 在 x x0 处必不连续（D） f (x) ， g( x) 都在 x x0 处不连续，则 f (x) g( x) 在 x x0 处必不连续x8、（98）求tan(x )f (x) (1 x) 在(0, 2 ) 内的间断点及类型。419、（07）函数f (x)x(ee)1tan x在 , 上的第一类间断点是 xxx(ee)(A) 0; (B) 1; (C) ; (D) 2 2。10、设 f (x) 在a,b 上连续，且2 ( ) 2a f x b ，求证： a,b ,使2f ( ) 。11、 f (x) 在0,1 上非负连

28、续， f (0) f (1) 0，证明：对 l R (0 l 1), x0 0,1 ，使f (x ) f ( x l ) 。0 012、证明：方程 x p q cos x 0 恰有一个实根，其中 p,q为常数，且 0 q 113、设 f (x)在 a,b 上连续， a x1 x2 b，试证，对 两个正数 t1 与t2 ，一定 点 c a,b ，使t1 f (x1 ) t2 f (x2 ) (t1 t2 ) f (c) 。（本题的证明思想应掌握，并应能将结论推广到更为一般的情况）14、（04）函数f (x)x sin( x 2)2x(x 1)(x 2)在下列哪个区间内有界：（A）（1，0）； （

29、B）（0，1）； （C）（1，2）； （D）（2，3）。单元练习1、 求函数 f (x) sin( x) 的定义域1 x2、 函数 f (x) ln(1 e ) 的定义域为 _。x3、 若 f (x) 的定义域为（ 0，1），则函数 f (e 1) 的定义域为 _。4、fcos x(x) x sin xe ， x ( , ) 是 （ ）（A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）偶函数、xn2n1nnnn为奇数n为偶数，则当 n 时， xn 是 （ ）（A）无穷大量 （B）无穷小量 （C）有界变量 （D）无界变量、设 f (x) 是连续函数，且1f ( x) x 2 f (t )dt

30、 ，则 f (x) _07、当 x 0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小 （ ）（A）2 2x （B） 1 x 1 （C） x tan x （D）21 cos x8、设 f (x) ， g(x) 在 x 0的某个领域内连续，且当 x 0 时 f (x) 是 g (x) 高阶的无穷小，则当x 0时，x0f (t) sin tdt 是x0tg( t)dt 的 （ ）（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）同阶但不等价无穷小 （D）等价无穷小9、5 xsin t(x) dt ，0t1sin x( t dt ，则当 x 0时 (x) 是 (x) 的 （ ） x) (1 t)( t dt ，则当 x 0时 (x) 是 (x) 的 （ ）0（A）低阶无穷小 （B）高阶无穷小 （C）同阶但不等价无穷小 （D）等价无穷小2ln(1 x) (ax bx )10 、已知 lim 22x0 x，则 （ ）（A）5a 1,b （B） a 0,b 2 （C）25a 0,b （D）a 1,b 2211 、当 x 0 时，变量1 1sin2 是 （ ）x x（A）无穷大量 （B）无穷小量（C）有界变量，但不是无穷小 （D）无界变量，但不是无穷大1 112 、lim ( )xx x e0 113 、