第五章静定结构位移计算

1、结结 构构 力力 学学第五章第五章 静定结构位移计算静定结构位移计算Displacement of Statically Determinate Structures5-1 概述概述5-2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理5-3 结构位移计算的一般公式（单位荷载法）结构位移计算的一般公式（单位荷载法）5-4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算5-5 图乘法图乘法5-6 静定结构在广义荷载作用下的位移计算静定结构在广义荷载作用下的位移计算5-7 线弹性体系的互等定理线弹性体系的互等定理静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章5-1 PAAA 结构位移结构位移线位移线

2、位移角位移角位移AxAyA点线位移点线位移AAxAyA点水平线位移点水平线位移A点竖向线位移点竖向线位移A截面角位移（转角）截面角位移（转角） 位移（位移（Displacement）与变形（）与变形（Deformation）的区别）的区别 位移指位置的变化。线位移主体一般是点，角位移主体一般是截面位移指位置的变化。线位移主体一般是点，角位移主体一般是截面或杆件。或杆件。 变形指物体在外部作用下，由于材料应变引起的尺寸或形状的变化。变形指物体在外部作用下，由于材料应变引起的尺寸或形状的变化。如杆件拉伸、弯曲、剪切等。如杆件拉伸、弯曲、剪切等。 变形一般会引起位移。变形一般会引起位移。 位移不一定

3、产生变形（刚体位移无变形）。位移不一定产生变形（刚体位移无变形）。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 产生位移的原因产生位移的原因一般荷载一般荷载力的作用力的作用广义荷载广义荷载温度温度变化变化支座位移支座位移制造误差制造误差P一般荷载一般荷载t温度变化温度变化ABBB支座位移支座位移ABBCCABl制造误差制造误差静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章为了控制位移，需要起拱。为了控制位移，需要起拱。 刚度要求刚度要求结构设计计算应考虑的内容结构设计计算应考虑的内容强度校核强度校核稳定性验算稳定性验算刚度验算刚度验算在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度1/600

4、1/600跨度；跨度； 房屋主梁允许挠度房屋主梁允许挠度1/3501/350跨度。跨度。高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移高层建筑框架结构，风荷载作用下的最大位移1/4501/450高度，高度， 最大层间位移最大层间位移1/5501/550层高；层高； 地震作用下的地震作用下的最大位移最大位移1/4001/400高度；高度； 最大层间位移最大层间位移1/5001/500层高。层高。 超静定结构的计算基础超静定结构的计算基础超静定结构必须考虑几何条件超静定结构必须考虑几何条件( (位移约束或变形协调位移约束或变形协调) )方可求解。方可求解。 施工要求施工要求静静定定结结构构位位移移计计算

5、算第第五五章章小变形小变形 (Small Deformation)假定：变形很小以致于不影响荷载的作用，假定：变形很小以致于不影响荷载的作用， 故，可忽略变形对平衡方程的影响。故，可忽略变形对平衡方程的影响。线弹性线弹性 (Linear Elastic)材料假定：材料服从虎克定律材料假定：材料服从虎克定律(Hookes Law)，应，应 力应变成线性关系。力应变成线性关系。 线弹性体系的特征线弹性体系的特征变形与作用力成正比。变形与作用力成正比。非线性结构体系非线性结构体系材料非线性：不满足假定材料非线性：不满足假定几何非线性：不满足假定几何非线性：不满足假定 基本假定基本假定P1PKK)(柔

6、度系数KPEIEIKPPKPKP单位荷载引起的位移；位移符号一般规则：位移符号一般规则：位移发生点和方向；第一个下标一般荷载引起的位移；产生位移的原因。第二个下标静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章叠加原理（叠加原理（Principle of Superposition)适用。适用。 线弹性体系的特征线弹性体系的特征变形与作用力成正比。变形与作用力成正比。P1PKK)(柔度系数KPEIEIKPPKPKP单位荷载引起的位移；位移符号一般规则：位移符号一般规则：位移发生点和方向；第一个下标一般荷载引起的位移；产生位移的原因。第二个下标K2P1PiPnPKKPnKPiKPKPK21nKniK

7、iKKPPPP2211iiKiP静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章5-2 力对物体作用的累计效果的度量。力对物体作用的累计效果的度量。力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移 功功力在自身所产生的位移上所做的功。力在自身所产生的位移上所做的功。 实功实功PPW21力在非自身所产生的位移上所做的功。力在非自身所产生的位移上所做的功。 虚功虚功tPWPtt【例例】1P111111121PW122P2212112 PW2222221PW静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 W=PW=P PP广义力；广义力； 与与P P对应的广义位移。

8、对应的广义位移。 PW【例例】 作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶MW 作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶作虚功的力系为两个等值反向作虚功的力系为两个等值反向 的集中力的集中力PMABMMBAMMWBAMMPAPBBAPPWBAP M静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章AAQBANAMBQBNBMs sq sp 原理的表述原理的表述变形体平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所做虚功之变形体平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所做虚功之和等于变形体所接受的应变

9、能（即内力虚功之和），即和等于变形体所接受的应变能（即内力虚功之和），即ieWW 原理的证明原理的证明状态状态(力状态力状态)：外力作用下：外力作用下AB杆平衡杆平衡AuAvAABABBuBvBSvuS状态状态 (位移状态位移状态)：其它原因引起的位移和变形：其它原因引起的位移和变形 sq sp sN sQ sMdMM dNN dQQdsds微段受力图微段受力图000pdsdNqdsdQQdsdM平衡条件dsdv剪切变形刚体转动dsdvds微段变形图微段变形图静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章AAQBANAMBQBNBMs sq sp 原理的证明原理的证明状态状态(力状态力状态)：外

10、力作用下：外力作用下AB杆平衡杆平衡AuAvAABABBuBvBSvuS状态状态 (位移状态位移状态)：其它原因引起的位移和变形：其它原因引起的位移和变形 sq sp sN sQ sMdMM dNN dQQdsds微段受力图微段受力图000pdsdNqdsdQQdsdM平衡条件dsdv剪切变形刚体转动dsdvds微段变形图微段变形图状态状态的外力在状态的外力在状态的位移上做的虚功为的位移上做的虚功为BABBBBBBAAAAAABAeuNvQMuNvQMupdsvqdsW静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章状态状态的外力在状态的外力在状态的位移上做的虚功为的位移上做的虚功为BABBBBB

11、BAAAAAABAeuNvQMuNvQMupdsvqdsW将第一、二项变形为了应用平衡条件00pdsdNqdsdQBABABABAdsudsdNdsvdsdQudspdsdNdsvqdsdQBBBBBBAAAAAAuNvQMuNvQM第三、四项分部积分BABABABABABANduNuQdvQvudspdsdNdsvqdsdQBBBBBBAAAAAAuNvQMuNvQM改写第四项为了应用变形关系dsdvBABABABAdsQdsQdsQQdv其中，改写第二项为了应用平衡条件0QdsdMBABABAdsdsdMdsQdsdMdsQ第三项分部积分BABABABAMdMdsQdsdMdsQ上式代入上

12、式代入W We e中，得中，得静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章状态状态的内力在状态的内力在状态的位移上做的虚功为的位移上做的虚功为BABABAedsQdsdMudspdsdNdsvqdsdQW AABBAAvQAQMBMMAM BBAAABuNBNuNANvQBQBABABAMdQdvNdu该项即为内力虚功之和该项即为内力虚功之和W Wi i从而，从而，BABABAedsQdsdMudspdsdNdsvqdsdQW AABBAAvQAQMBMMAM iBBAAABWuNBNuNANvQBQ静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章必要性的证明：即由必要性的证明：即由ABAB平衡证

13、明平衡证明W We e=W=Wi i由由AB平衡可知：平衡可知：000QdsdMpdsdNqdsdQ AAANANQAQMAM BBBNBNQBQMBM微元体的平衡微元体的平衡力的边界条件力的边界条件BABABAedsQdsdMudspdsdNdsvqdsdQW AABBAAvQAQMBMMAM iBBAAABWuNBNuNANvQBQ由由得得ieWW （必要性证毕）（必要性证毕）充分性的证明：即由充分性的证明：即由W We e=W=Wi i证明证明ABAB平衡平衡由上述由上述W We e的表达式，的表达式，并根据并根据ieWW ，可得，可得静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章BABA

14、BAdsQdsdMudspdsdNdsvqdsdQ AABBAAvQAQMBMMAM 0BBAAABuNBNuNANvQBQ（充分性证毕）（充分性证毕） 从而得到从而得到ABAB的平衡条件，即的平衡条件，即ABAB平衡平衡。 由于虚位移由于虚位移 是满足位移约束条件的任意位移，故，是满足位移约束条件的任意位移，故，上式积分号内和方括号内每一项均应为零。即上式积分号内和方括号内每一项均应为零。即BBBAAAvuvuvu，000QdsdMpdsdNqdsdQ AAANANQAQMAM BBBNBNQBQMBM静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 变形体虚功原理的必要性也可以通过功的物理含义

15、得到证明变形体虚功原理的必要性也可以通过功的物理含义得到证明 xqabab1.1.利用变形连续性条件计算利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和W微段外力分微段外力分为两部分为两部分体系外力体系外力微段间相互作用力微段间相互作用力微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分体系外力功体系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段总外力功微段总外力功 d dW= d dWe+d+dWn2.2.利用平衡条件条件计算利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和所有微段的外力虚功之和W微段外力功微段外力功分为两部分分为两部分在刚体位移上的功在刚体位移上的功d dWg

16、在变形位移上的功在变形位移上的功d dWi微段总外力功微段总外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=dWg +d dWi =Wi微段位移分微段位移分为两部分为两部分刚体位移刚体位移变形位移变形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We相邻微段间作用力与反作用力相邻微段间作用力与反作用力大小相等，方向相反；截面变大小相等，方向相反；截面变形连续，位移相同；故相互作形连续，位移相同；故相互作用力虚功和为零。用力虚功和为

17、零。平衡力系在刚体位移上做的虚平衡力系在刚体位移上做的虚功之和为零（刚体体系的虚功功之和为零（刚体体系的虚功原理）。原理）。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 变形体虚功原理应用的几点说明变形体虚功原理应用的几点说明 虚功原理涉及到同一体系的两个不同状态：虚功原理涉及到同一体系的两个不同状态： 力状态和位移状态是相互独立的，二者之间不存在因果关系。力状态和位移状态是相互独立的，二者之间不存在因果关系。 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足变形协调条件。力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足变形协调条件。 虚位移必须是约束所允许的任意微小的位移。虚位移必须是约束所允许的任意微小的

18、位移。 虚功原理的适用范围：虚功原理的适用范围： 上述虚功原理的论述和证明过程中没有涉及到结构类型、材料性质、上述虚功原理的论述和证明过程中没有涉及到结构类型、材料性质、加载过程、变形大小等问题，所以虚功原理适用于任何变形体和任何结加载过程、变形大小等问题，所以虚功原理适用于任何变形体和任何结构。包括线弹性问题、非线性弹性问题、弹塑性问题、塑性问题等等。构。包括线弹性问题、非线性弹性问题、弹塑性问题、塑性问题等等。 虚功原理的应用方式：虚功原理的应用方式： 虚功原理讲述了充分和必要两个条件，对应地反映了两个方程：虚功原理讲述了充分和必要两个条件，对应地反映了两个方程： 反映了几何方程（变形协调

19、条件）；反映了几何方程（变形协调条件）； 反映了平衡方程（力的平衡条件）。反映了平衡方程（力的平衡条件）。 相应地有两个方面的应用：相应地有两个方面的应用： 虚力原理应用方式（虚设力的状态，求位移）；虚力原理应用方式（虚设力的状态，求位移）； 虚位移原理应用方式（虚设位移状态，求未知约束力）虚位移原理应用方式（虚设位移状态，求未知约束力）。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【例例1 1】求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。【解解】去掉去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态。，构造相应的虚位移状态。待分析的力状态待分析

20、的力状态虚设的位移状态虚设的位移状态0CAPX由外力虚功总和为零，得由外力虚功总和为零，得单位位移法单位位移法(Unit-Displacement Method) 虚位移原理虚位移原理虚功原理用于虚功原理用于虚设的虚设的位移状态位移状态与与实际的实际的力状态力状态之间。之间。单位位移法本质：单位位移法本质：将力的将力的平衡问题化为几何问题来求解。平衡问题化为几何问题来求解。ABCPab(a)X(b)PABC(c)ACABC将将代入，得代入，得baCAabPX通常取通常取1A单位位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【例例2 2】求求

21、A 支座发生竖向位移支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向位移点的竖向位移 C。【解解】首先构造出相应的虚设力状态。通常，在拟求位移点（首先构造出相应的虚设力状态。通常，在拟求位移点（C点）沿点）沿拟求位移方向（竖向）设置与拟求位移对应得拟求位移方向（竖向）设置与拟求位移对应得单位荷载单位荷载。待分析的位移状态待分析的位移状态虚设的力状态虚设的力状态上述方法称为上述方法称为单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)。它是。它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出的，故也称为提出的，故也称为Maxwell-Mohr Method。 虚力原理虚

22、力原理虚功原理用于虚功原理用于虚设的虚设的力状态力状态与与实际的实际的位移状态位移状态之间。之间。单位荷载法本质：单位荷载法本质：将将几何问题化为几何问题化为力的力的平衡问题来求解。平衡问题来求解。ABCabAcC解得解得abcC单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程虚功方程虚功方程10CAYc 由由 得得 0MBAYb a ABCAY1P静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 平面杆系结构虚功方程表达式平面杆系结构虚功方程表达式 We的计算：的计算：任意荷载作用下，任意荷载作用下，We=PiDi+Miqi+p(s)u(s)ds+q(s)v(s)ds（集中荷载外力虚功

23、）（集中荷载外力虚功）（分布荷载外力虚功）（分布荷载外力虚功） Wi 的计算的计算:微段变形由如下几部分组成微段变形由如下几部分组成:微段剪切微段剪切dsdv微段拉伸微段拉伸dsduWi =N+Q+Mkds对于直杆，上述三种变形互不耦连，有对于直杆，上述三种变形互不耦连，有:结构中截取微段结构中截取微段dsPiDi+Miqi+puds+qvds =N+Q+Mkds可得平面杆系结构虚功方程如下可得平面杆系结构虚功方程如下:微段外力微段外力:MdMM NdNN QdQQdsqdsd微段弯曲微段弯曲静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章5-3 下面从虚功方程入手，以图示结构为例，建立杆系结构位

24、移计算的一下面从虚功方程入手，以图示结构为例，建立杆系结构位移计算的一般公式。般公式。 ACPBxBBC实际位移状态实际位移状态【虚拟力虚拟力】与待求位移对应的单位力。与待求位移对应的单位力。【问题问题】求求B B点水平位移点水平位移DBx=? 设内力为：设内力为：QMN,外力包括：外力包括：RP支反力, 1设变形为：设变形为：位移包括：位移包括：dvddu,0,cBx支座位移虚功方程为虚功方程为dvQdMduNcRPBx（外力虚功）（外力虚功）（内力虚功）（内力虚功）表示沿杆件长度积分表示沿杆件长度积分表示对杆件数量求和表示对杆件数量求和dvQdMduNBx上式就是位移计算一般表达式。上式就

25、是位移计算一般表达式。 适用条件如何？适用条件如何？BC虚拟力状态虚拟力状态1PA静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章位移计算一般表达式位移计算一般表达式 中中 ，虚力状态，虚力状态的内力的内力 可求，位移状态的变形可求，位移状态的变形 与位移状态的内力、截与位移状态的内力、截面几何特征和材料特征有关。面几何特征和材料特征有关。 dvQdMduNBxQMN,dvddu,对于线弹性结构，取直杆的对于线弹性结构，取直杆的ds微段微段 ，有，有dsGAkQdvdsEIMddsEANdu,所以，线弹性结构位移计算的一般公式为所以，线弹性结构位移计算的一般公式为dsGAQQkdsEIMMdsEA

26、NN位移计算一般表达式理解和应用中应注意的两个问题：位移计算一般表达式理解和应用中应注意的两个问题：两个表达式的适用范围有何不同？两个表达式的适用范围有何不同？表达式及其中每项、每个符号的物理含义是什么？表达式及其中每项、每个符号的物理含义是什么？单位荷载法计算位移的步骤：单位荷载法计算位移的步骤：建立虚力状态：在拟求位移点、沿拟求位移方向、施加与拟求位移对应建立虚力状态：在拟求位移点、沿拟求位移方向、施加与拟求位移对应的广义单位力。的广义单位力。分别计算实际位移状态的内力分别计算实际位移状态的内力 和虚力状态的内力和虚力状态的内力 。按位移计算一般公式计算拟求位移。按位移计算一般公式计算拟求

27、位移。D正负表示真实位移的方向，如正正负表示真实位移的方向，如正表示位移与虚拟单位力方向相同，反之，则方向相反。表示位移与虚拟单位力方向相同，反之，则方向相反。QMN,QMN,静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 结构类型：适用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：适用于梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；静定和超静定结构； 位移原因：该公式虽然是按一般荷载作用下的受力情况推导出来的，位移原因：该公式虽然是按一般荷载作用下的受力情况推导出来的， 但方法适用于荷载、温度改变、支座移动等各种情况。但方法适用于荷载、温度改变、支座移动等各种情况。 材料性质：线性、非线性；材

28、料性质：线性、非线性； 弹性、弹塑性、塑性。（仅指变形展开前的第一个表达式）弹性、弹塑性、塑性。（仅指变形展开前的第一个表达式） 变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形。变形、剪切变形。 位移种类：线位移、角位移；相对位移、绝对位移。位移种类：线位移、角位移；相对位移、绝对位移。 位移计算一般表达式的普遍性表现位移计算一般表达式的普遍性表现 目的与要求目的与要求目的：尽量简化虚功的计算，使外力虚功恰好等于拟求的位移。目的：尽量简化虚功的计算，使外力虚功恰好等于拟求的位移。要求：虚力状态的广义单位力与位移状态的拟求广义位移一一对应。要求：虚力状态的广义单位力与位移状态

29、的拟求广义位移一一对应。 具体三个要求：在拟求位移点沿拟求位移方向施加与拟求具体三个要求：在拟求位移点沿拟求位移方向施加与拟求位移对应的广义单位力。位移对应的广义单位力。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章ACCBCACBCDC1P1P 求某点的绝对线位移：在拟求位移点沿拟求位移方向施加单位力。求某点的绝对线位移：在拟求位移点沿拟求位移方向施加单位力。 与四种可能拟求位移类型对应的虚力状态与四种可能拟求位移类型对应的虚力状态求求DC，在，在C点沿点沿DC方向加方向加单位力。单位力。CCePW 求受弯杆某截面或桁架某杆件的转角：在拟求转角处施加一单位力距或求受弯杆某截面或桁架某杆件的转角

30、：在拟求转角处施加一单位力距或 力偶矩。力偶矩。ABA1MAAeMWABBAd1d1ABABBAeddW11ABBAd力偶矩仍为力偶矩仍为1，但，但力与杆轴不垂直可力与杆轴不垂直可以吗？以吗？求求AB转角，由于桁转角，由于桁架只能承受结点荷架只能承受结点荷载，虚力状态应在载，虚力状态应在AB两端施加一力偶两端施加一力偶矩为矩为1的力偶。的力偶。d1d1ABd静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章外加力偶的轴向分量外加力偶的轴向分量FN在在AB轴向伸缩变形上做的功轴向伸缩变形上做的功 NBNNANQBQQAQeFFFFWNANBNQBQAQFFa1ABa1ABQAQBNBNAaa1ABa1

31、a1QFNFa1QFNFsin1cos1aFaFQNNANBQBQAaacossinNANBQBQAaacossinABABQBQAlalcosABABlacos外力虚功外力虚功待求位移待求位移内力虚功内力虚功待求位移待求位移静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章AB1P1PAB1P1P 求两点的相对线位移：在拟求位移两点沿相对线位移方向施加一对方求两点的相对线位移：在拟求位移两点沿相对线位移方向施加一对方 向相反的单位力。向相反的单位力。求求DAB，ABBABAePPW 求两截面或两桁架杆件的相对转角：在两处施加一对反向作用的单位力求两截面或两桁架杆件的相对转角：在两处施加一对反向作用

32、的单位力 矩或单位力偶矩。矩或单位力偶矩。ABC1M求求C左右截面相对转角左右截面相对转角ABdAABd111 dBCBCd1BCd1BCd求求ABAB、BCBC相对转角相对转角静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 桁架桁架只有轴力，无弯矩和剪力，故，位移计算公式简化为只有轴力，无弯矩和剪力，故，位移计算公式简化为iiiiiEAlNNdsEANN【例例1】 求图示桁架求图示桁架C点的竖向位移点的竖向位移DCV。所有各杆。所有各杆EA为常量。为常量。ABCDEPPdddddABCDE1P真实位移状态真实位移状态虚拟力状态虚拟力状态00PPPP2P2图N2221122222221图N dP

33、dpdPEACV212221222221)(224向下EAPd5-4 静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 梁和刚架梁和刚架对于杆系结构，轴力和剪力对位移的影响一般要比弯矩的影响小得多，对于杆系结构，轴力和剪力对位移的影响一般要比弯矩的影响小得多，通常可以忽略不计，故，位移计算公式简化为通常可以忽略不计，故，位移计算公式简化为dsEIMM【例例2】 求图示刚架求图示刚架C截面的转角截面的转角qC。所有各杆。所有各杆EI为常量。为常量。真实位移状态真实位移状态虚拟力状态虚拟力状态ddCdxqdEIdxqxEI020212111211)(323顺转EIqdABCqddABC1M图Mxx22

34、21:21:qdMBAqxMCB图M111:1:MBAMCB静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 组合结构组合结构对于组合结构，桁架杆只有轴力，而受弯杆件与梁和刚架类似，通常只对于组合结构，桁架杆只有轴力，而受弯杆件与梁和刚架类似，通常只考虑弯矩的影响，故，位移计算公式简化为考虑弯矩的影响，故，位移计算公式简化为dsEIMMEAlNNiiii该项仅对桁架杆该项仅对桁架杆 曲杆和拱曲杆和拱dsEIMMdsEANN严格地说，位移计算的一般公式严格地说，位移计算的一般公式只适用于直杆，当只适用于直杆，当 时，可不考虑曲率的影响，按直杆公时，可不考虑曲率的影响，按直杆公式近似计算位移，即式近似

35、计算位移，即dsGAQkQdsEIMMdsEANN5hR截面高度曲率半径静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【例例3】 求图示圆弧悬臂端求图示圆弧悬臂端B的竖向位移的竖向位移DBV。已知。已知EI为常量。为常量。真实位移状态真实位移状态虚拟力状态虚拟力状态RABqcossin212qxQqxNqxMdxdsAB1PxcossinQNxMABABMdsxEIqdsEIMM32ABABNdsxEAqdsEANN2sinABABQdsxGAkqdsGAQkQ2cos34cos31cos322EIqRM32cos31cos32EAqRN32cos13GAkqRQRddsRxsin，6001MN

36、时，；当设矩形截面，则38101902 . 1,1212GERhkhAI，3751MQ可见，可见，DN、DQ通常可以忽略。通常可以忽略。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章梁和刚架位移计算公式梁和刚架位移计算公式 ，当杆件数量较多，荷载复杂时，当杆件数量较多，荷载复杂时，积分计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以积分计算工作量很大，应用比较麻烦。一定条件下，上述积分计算可以简化。简化。dsEIMMPdsMMEIdsEIMMPP15-5 （ Graphic Multiplication Method ）dsxMEIPtan1dxMxEIPtanxdEItan轴的静矩关

37、于面积yEItancxEItanEIyEIxcctan静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。生。 图乘法应用说明图乘法应用说明图乘法的适用条件是什么？图乘法的适用条件是什么？正负号规则：正负号规则：若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。取正值；反之，取负值。cycy常见图形的面积和形心：常见图形的面积和形心： 抛物线顶点处的切线应与基线平行，否则，为非标抛物线。非标抛物抛物线顶点处的切线应与基线平行，否则，为非标抛物线。非标抛物线的

38、面积和形心不能按上式计算，属于复杂图形，面积、形心计算方法线的面积和形心不能按上式计算，属于复杂图形，面积、形心计算方法后述。后述。非标抛物线非标抛物线（三角形的面积和形心此不赘述）（三角形的面积和形心此不赘述）静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章abcdl两梯形图乘公式：两梯形图乘公式：注意：注意：abcd同侧同号，异侧异号。同侧同号，异侧异号。复杂图形可根据叠加原理分解成简单图形复杂图形可根据叠加原理分解成简单图形121y2y2211yydsMMbadlbacl323121313221bcadbdacl226abcdlbcadbdacldsMM226【例例】qBAMABMABlAB

39、MBAM281qlABMBAM281ql=+静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章如果求如果求yc的图形是分段直线，那么的图形是分段直线，那么w图形也应该对应地分段，即图形也应该对应地分段，即yc只能只能 取自一条直线取自一条直线。ABCq2l82ql2lABC1P2l4l2l【例例】上例上例483212llqlEICV2854283212 llqlEICV正确做法为：正确做法为：【例例】ABCq2l82ql2lABC1P2l4l2l两个容易犯的错误：两个容易犯的错误：纵标纵标yc必须取自直线图形，即，两图形中如果只有一个是直线变化，必须取自直线图形，即，两图形中如果只有一个是直线变化，

40、 那么，曲线的求那么，曲线的求w，直线的求，直线的求yc。842112qlllEICV静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【例例1】判别下列位移计算是否正确，并说明理由。如错误，改正之。判别下列位移计算是否正确，并说明理由。如错误，改正之。向下EIMlllMEICV842112ABCM2l2lEIM1P4l位移状态位移状态图PM虚力状态虚力状态图M求求DCV错误，错误，yc应取自一条直线。应取自一条直线。正确做法为：正确做法为：向下EIMlMllEICV16242112ABqlEI2ql1Pl位移状态位移状态图PM虚力状态虚力状态图M求求DBV2qlP 向下EIqlllqlEIVB44

41、331142281ql错误，错误，MP图非标准抛物线。图非标准抛物线。正确做法为：正确做法为：向下EIql2474llqlllqlEIBV2181323221122静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章1P虚力状态虚力状态ABC【例例2】已知图示梁已知图示梁EI=1.51.510105 5kNmkNm2 2，求给定荷载作用下，求给定荷载作用下C点的竖向位移。点的竖向位移。ABm6kNP20CmkNq10m6【解解】m6图M图PMABCkNm300kNm452166453223266300211EIVC cmmEI44. 40444. 06660静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章

42、【解解】hlhlhlhhhhEICD83262546411233EIh1545【例例3】求水压力作用下求水压力作用下C、D之间的距离变化。已知各杆之间的距离变化。已知各杆EI相同。相同。ABhl2ChDABCD图PM63232hhh82hl三次抛物线三次抛物线二次抛物线二次抛物线hhh图M1P1PABCDBDAC AB静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章241212kNmM图ABCDE【解解】21411232324129211EIC214396324312439266段AC段BC【例例4】求求C截面转角。已知各杆截面转角。已知各杆EI为常量。为常量。ABCm3DEm3m6m2kN8kN

43、4mkN2?kN5 . 6919图M1MABCDE81814143 EI349静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章ABCED【解解】如何求如何求M图？图？复杂刚架复杂刚架先附属先附属(BDE)，再基本再基本(ACD)qlFyB2qlFyAqlFxA22qlMA图M22ql22ql22ql82ql【例例5】求求E结点截面转角。已知各杆结点截面转角。已知各杆EI为常量。为常量。ABCqDlql5 . 1lEIkMElll3lEIkNEIEIEIEI2静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章(转动弹簧转动弹簧)(线弹簧线弹簧)(EB段段)(CD+DE段段) 3221212122lqlEI

44、ABCED【解解】qlFyB2qlFyAqlFxA22qlMA图M22ql22ql22ql82qlABCED图M21212121 lFyB21lFyA210 xAF21AM1MMMNNcCFFEIyMAANyByBckMMkFFEIy杆件弯曲内力功杆件弯曲内力功线弹簧内力功线弹簧内力功转动弹簧转动弹簧内力功内力功 322122121212lqlEI 2121281322lql2122123qlEIllqlEIl EIql48333静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章ABCED1P虚力状态ABCDm3mkN20Em4m2EAEI4EIEI4m3【解解】【例例6】求图示结构求图示结构C点的

45、竖向位移。已知点的竖向位移。已知I0.03Am2。2325图M图NABCED40180kN150kNmMP图图PN4032331802142EICV432240311EI21244032322440211EI5251501EAEBAECDEDBD EI25.366静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章5-6 ttttdMdvQduN温度变化产生位移计算的一般公式温度变化产生位移计算的一般公式等式及式中各项的物等式及式中各项的物理含义？理含义？要求要求Dt的关键是温度产生的变形的关键是温度产生的变形 的计算。的计算。、tdu、tdvtd图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高t1，

46、内侧温度升高，内侧温度升高t2 ，求，求K点的竖向位移点的竖向位移Dkt。为了分析为了分析 ，在结构杆件上任意截取，在结构杆件上任意截取ds微段。微段。、tdu、tdvtd静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章设温度沿杆件截面厚度为线性分布（温度场假定）设温度沿杆件截面厚度为线性分布（温度场假定），则，则hththt12210杆轴温度变化杆轴温度变化t0为：为：上、下边缘的温差上、下边缘的温差Dt为：为：12ttt微段轴向伸长微段轴向伸长 为：为：tdudstdut0温度变化不产生剪应变：温度变化不产生剪应变：0tdv微段截面相对转角微段截面相对转角 为：为：tdhdstdt其中其中a为

47、材料的线膨胀系数。为材料的线膨胀系数。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章虚力状态如下：虚力状态如下：FP=1静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章由虚功原理，得由虚功原理，得hsMtsNthstMstNMvuNttttkddddddQd00 MNkthtt0对于等截面直杆对于等截面直杆轴力图轴力图 面积面积N弯矩图弯矩图 面积面积M上式中的符号判断规则：上式中的符号判断规则：注意：对于梁和刚架，注意：对于梁和刚架，一般荷载作用下通常忽一般荷载作用下通常忽略轴力产生的位移略轴力产生的位移 ，而，而温度变化情况下轴力产温度变化情况下轴力产生的位移生的位移不可忽略不可忽略。 t0、D

48、t取绝对值。取绝对值。 若若Dt引起的杆件弯曲变形方向和由引起的杆件弯曲变形方向和由 引起的弯曲方向一致，取正，反引起的弯曲方向一致，取正，反之取负。之取负。 若若t0引起的杆件轴向伸缩和由引起的杆件轴向伸缩和由 引起的杆件轴向伸缩一致，取正，反之引起的杆件轴向伸缩一致，取正，反之取负。取负。MN静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【解解】建立虚力状态建立虚力状态【例例1】图示刚架施工时温度为图示刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度，试求冬季外侧温度 -10 ，内侧温内侧温度为度为0 时时A点的竖向位移点的竖向位移DAy。已知。已知 l=4m，a=10-5，各杆均为矩形截面杆各杆均为

49、矩形截面杆，高度高度 h=0.4m。虚拟力状态虚拟力状态真实位移状态真实位移状态虚力状态内力图为：虚力状态内力图为：M图图N图图CtCtoo10)30(20252)20()30(0)(005. 00mhttMNAy静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章（支座位移引起的位移计算一般表达式）（支座位移引起的位移计算一般表达式）从而从而iiKCcR图图(a)所示结构所示结构发生支座位移发生支座位移C1、C2、C3，欲，欲求求K点竖向位移点竖向位移DKC，建立图，建立图(b)所示的虚力状所示的虚力状态。态。1c2c3cKKKC(a)K1R12R3R(b)真实位移状态真实位移状态虚拟力状态虚拟力状

50、态虚功方程为虚功方程为 We=Wi。iiKCKCecRcRcRcRW3322111静定结构在支座位移情况下，既不产生内力，也不产生变形，只发生刚静定结构在支座位移情况下，既不产生内力，也不产生变形，只发生刚体位移，故体位移，故0iW正确理解公式及其各符号的物理含义静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【解解】【例例1】求求C点水平位移点水平位移DCx。CBAAC1c2c3cllcRCx1CVCBA1P虚拟力状态虚拟力状态1AV1AH321cVcVcHCAA321ccc位移方向根据数值计算结果的正负判别。位移方向根据数值计算结果的正负判别。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【例例

51、2】已知已知l=12m，h=8m， DBx=0.04m， DBy=0.06m，求，求A截面转角截面转角fA。FAyFAx【解解】 建立虚力状态，并求支座反力。建立虚力状态，并求支座反力。Ai iR c ( )211(BxByhlrad 0075. 0)04. 082106. 0121(静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章制造误差就是结构在位移状态的变形，故应用位移计算一般公式计算由制造误差就是结构在位移状态的变形，故应用位移计算一般公式计算由制造误差引起的位移时，只需建立虚力状态并求与制造误差对应的结构制造误差引起的位移时，只需建立虚力状态并求与制造误差对应的结构内力，然后代入位移计算

52、一般公式即可。内力，然后代入位移计算一般公式即可。【例例1】图示桁架每根上弦杆加长了图示桁架每根上弦杆加长了8mm，求由此引起的，求由此引起的A点竖向位移。点竖向位移。Amm4868m11A1P11811811811848)118(AV)(27.23mm静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章【例例2】图示结构图示结构AB、BC原设计为直杆，现加工成圆弧，求由此引起的原设计为直杆，现加工成圆弧，求由此引起的D点竖向位移。点竖向位移。图虚力状态MdMDV由虚功原理，m6m2mR400mR400DCABm2【解解】本例制造误差为弯曲变形。建立虚力状态如下：本例制造误差为弯曲变形。建立虚力状态如

53、下：1PDCABm1m3微段两截面的相对转角dsdsdR微段变形虚力状态dsRdsdRdxRdxMDVCBBAdxMRdxMR11142163211R cmm75. 240011弯矩与弯曲变弯矩与弯曲变形一致为正形一致为正静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章5-7 Reciprocal Theory in Linear Structures 考虑体系受考虑体系受P1、P2共同作用的情况。共同作用的情况。 推导方法一推导方法一(a)(b)是同一线弹性体系的两个不同受力状态。是同一线弹性体系的两个不同受力状态。12P212(b)状态状态11P221(a)状态状态先加先加P1、再加、再加P2

54、：12111P212P122222212111112121PPPW外力功实功实功虚功虚功静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章先加先加P1、再加、再加P2：12111P212P122222212111112121PPPW外力功实功实功虚功虚功先加先加P2、再加、再加P1：1222122P1P112111121222222121PPPW外力功实功实功虚功虚功因为功与路径无关，是状态的函数，所以因为功与路径无关，是状态的函数，所以 ，从而，从而21WW 212121PP静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章 推导方法二推导方法二11P221(a)状态状态内力记为内力记为N1、Q1、M1

55、状态状态作为力状态，状态作为力状态，状态作为位移状态：作为位移状态：12P212(b)状态状态内力记为内力记为N2、Q2、M2212121121dMdvQduNP虚功方程为EIdsMMGAdskQQEAdsNN212121状态状态作为力状态，状态作为力状态，状态作为位移状态：作为位移状态：121212212dMdvQduNP虚功方程为EIdsMMGAdskQQEAdsNN121212比较可见，比较可见，212121PP功的互等定理适用条件？适用条件：线弹性结构体系，小变形假定。适用条件：线弹性结构体系，小变形假定。静静定定结结构构位位移移计计算算第第五五章章112P212(b)状态状态111P221(a)状态状态对图示同一线弹性体系的两个不同受力状态应用功的互等定理，有对图示同一线弹性体系的两个不同受力状态应用功的互等定理，有212121PP从而，从而，2112注意：力和位移可以是广义的；力和位移的