专题03最值问题(训练篇B)-用思维导图突破圆锥曲线压轴题

1、专题03最值问题训练篇B22x y1 .已知椭圆E：f 22 1(a b 0)的右焦点为F短轴的一个端点为M ,直线a2 b2、一一 ， 一,4l : 3x 4 y0交椭圆E于A, B两点.若 AF BF 4 ,点M到直线l的距离不小于 一，5则椭圆E的离心率的取值范围是(A) (0,金(B) (0,3(C) y,1)(D) 3,1)解设左焦点为F1,连接AFi, BF1.则四边形BF1AF是平行四边形，故AF1BF ,所以,AF1 AF 4 2a,所以 a 2.设M (0, b),则,故b 1,从而a255的离心率的取值范围是(0,故选(A).22C2 1,0 c23,J3,所以椭圆e222

2、.设双曲线x2 y2 1 (a 0,b 0)的右焦点为F ,右顶点为A,过F作AF的垂线 a b与双曲线交于 B, C两点，过B, C分别作AC, AB的垂线，两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a Va2 b2 ,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是(A)1,00,1(B), 1 U 1,©J2,00,42),7272,解 要求渐近线斜率的取值范围，就要求出b满足的不等式，可以通a过解直线 DB、DC的联立方程组求出 D的坐标，也可以从对称性分析 在x轴上.解1由题意，需要求出 D的坐标，为此要求出直线BD、CD的方程.b2 b2如图所不，令 D(x, y)易知B(c,), C(c

3、,),aaD b2.又 由题息可知：kAB ,kACa(c a)直线CD的方程为：y a® ° bb2一b,所以 a(a c),、b2(x c), a17直线BD的方程为:两式联立解得x ca(a c)y 丁b4a2(a c) , y(x c) 丫 a0.依题意知：c (cb4(a c)a2. 22)a Va b a c，化简得(b)2 1,所以，双曲线的渐近线斜率的取值范围是(1,0) (0,1).，选A.a解2由对称性知 D在x轴上，可设 D(m,0),由D到直线BC的距离小于因为uuu urnrAB CD，所以 AB CD 0 ,于是(cb2. 一(m c,)0 ,即

4、(caa)(mc)b42， a所以Jc2 =( c aa)(c m) (c a)(c、2 一a) bib2a故双曲线的渐近线斜率的取值范围是1,0) (0,1).23.设直线l与抛物线y 4x相交于A,B两点，与圆0相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(A) 1,3(B) 1,4(C) 2,3(D) 2,4解 涉及中点弦问题求范围，常用方法是设出直线方程并代 入曲线方程，由判别式大于 0得到不等式，再利用其它条件 求某个变量的范围.求中点弦还可以利用 熏差法”.解1如图，设直线l的方程为x my b,则当m=0时，满足条件的直线只要两条；当m 0时，与抛物

5、线y2 4x联立，消去x,得2y 4my 4b 0.2_由 0,有m b 0.设 A(Xi, y1)，B(x2, y?),由韦达定理 必 y2 4m ,从而有 M (2m2 b,2m).222, i2m设圆(x 5)2 y2 r2(r 0)的圆心为C ,由CM l,则一22m b 5整理得 b 3 2m2,代入 m2 b 0,得 m2(0,3).所以 r 1b J |2 J m2 1 (2,4)选(D).m2 1解2设 A(x1，y)B(X2，y2), M (x0, y°), y1y24xi,4X2,223y因为A, B在抛物线y 4x上，所以 2y2两式相减得（y1 y2） （y1

6、 y2） 4（x1x2）.若直线l的斜率不存在，则满足条件的直线必有两条；若直线l的斜率k存在，则xix2,所以*y2 （y1 y2） 4,即ky0 2.K x2又AB CM ,所以k°1,即kyo 5 x0 ,所以5 x0 2 , 比 3,所以xo 5点M在直线x 3上.直线x 3与抛物线y2 4x交点坐标为（3, 2J3）,所以y； 12 .222222因为M在圆x 5 y r此加以（x0 5）y0 r ,即 r2 y2 4 12 4 16.22又y00,所以r 4,从而4 r 16,所以2 r 4.选（D）.2是根据几何意义，确注解1是把求圆半径r的范围转化成 m的函数，再求函

7、数值域；解定r2的范围，再求r的范围2x y 104,设实数x,y满足 x 2y 14,则xy的最大值为x y 6(A)25249(B)2解由2x y 10知，xy(C)12(D)14= 2x y 衿)2252当且仅当-,y 5 时.25在可行域内,一一 5经验证，x 5,y27,y同理可得 xy - x 2y (2L_?y_)2=4?.,当且仅当2222但点（7,Z）不在可行域内2显然不可能在直线 AC上，因此选（A）解2如图，画出可行域为图中的ABC.z表示一条双曲线，当双曲线xZy 与直线xAB相切时，Z最大.联立由 100 8z2x0,可得10，得 2x2 10x25z -2，即xy的

8、最大值为2525.在直角坐标系 xOy中，抛物线C : x 4y ,点P是直线x点P作C的两条切线，切点分别为 A、B,去线段AB的中点M,连接 (1)求证：直线 AB过定点，且求出定点的坐标；PMPN的值;(3)当P在直线上运动时，求 APAB的面积的最小值,并求出此时解（1）设 P x0, % 2B X2,y2 .因为直线与抛物线相切,xy'所以2kPAy'lx xiX1y -Xy1.2因为点P在PA上，所以x02Xi 2x0y1,化简得同理可得，B点的坐标满足 x0X22xo所以，直线AB的方程为x0x 2y 2x00,直线AB 的方程x0x 2 y2x02x°

9、x4x0 8 0 ,所以，点M的横坐标为xMyN2x0所以PMyP yM所以PN2.yPyN(3)由弦长公式得ABc1，S pab二一 AB d22PM0上任意一点，过 交C于点N.P的坐标.工，所以直线 PA的方程可表示为2XoXi 2yi 2xo 4 0.0.所以直线AB过定点(2,2).0与C的方程xXiX2X0,所以yM27x24 4x2 4x0 8 ,点 p 至|J AB 的距离 d4y2x0联立得2,cx0 4x0 8xo 43x2 4X0 8 5 ,所以，当X0 2时，S PAB取得最小值4,此时P(2,0)6.如图1所示，在平面直角坐标系 xOy中，F是x轴正半 轴上的一个动点

10、，以 F为焦点、O为顶点作抛物线 C.设P是第 一象限内C上的一点，Q是x轴负半轴上一点，使得 PQ为C 的切线，且|PQ|=2.圆均与直线OP相切于点P,且均与C1、 C2X轴相切.求点F的坐标，使圆与的面积之和取得最小值. C i C22解设抛物线C的万程为y 2px p 0 ,则焦点a）,所以点Q的坐标F -p 0 ，设点P的坐标为（a,b）,则过点P的切线方程为by p（x2，为（-a,0）,因为线段PQ的长为2,所以，pq|24a2 b2 4.设直线OP的倾斜角为 ，则两圆的半径的平方和为2222匕 OP tan OP cot 一 22一 .22 上=2OP2 si 2(a2 b2)

11、 ay-b-sinb27J>a b3 91 92 _229 222 1- b 2 b2 a b 2a b42=72=72bb记 f (x)当且仅当x43一时等号成立，此时3b24 3 2.'3 p b21V,a 1 1,2 4a 3 3于是点F的坐标为Q. 33,解2设抛物线 C的方程为 y2 2 Pxp 0 ,则焦点 F 0 ,设点 P的坐标为2，_222 一2pt ,2 pt ,则过点P的切线方程为2pty p(x 2pt ),所以点Q的坐标为2pt ,0 ,因为线段PQ的长为2,所以,22 42 222,2.、.PQ =16p t 4p t 4 ,即 p t (4t1) 1

12、.设直线OP的倾斜角为，则直线OP的斜率为k tan1-,020Pt2由二倍角公式得到2tan-2-,注意到0 tan 1t叫tan -. 1 t22t,cot 一 2,1 t2OP cot 2所以两圆的半径的平方和为2221r2OP tan 2= OP22tan 22cot 22 22=4 p t (t1) Jt2,1 t2o 2.2 .2 =8p t t1 2t2要使得两圆面积最小，只要212 一， ,一 2年小，由信14P于是,122128 t2 1 2t24t2 14t2当且仅当4t214122 一一一、，-,，于是，点 F的坐标为由得p_1_t - 4t2 13/3/I .7.设圆X

13、22y 2x 150的圆心为 A,直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交 AD于点E.(1)证明EAEB为定值，并写出点 E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线 C1，直线I交C1于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆 A交于 P,Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围.解(1)圆A整理为22x 1 y 16A坐标 1，0 ,如图,由 BE/AC,则 / CAD,则/所以/EBD /D,则EBED , AE EBAE ED根据椭圆的定义，点E的轨迹为一个椭圆，方程为AD2x44.2y3(y 0).,联立与圆Cix4my1,因为PQ± I

14、 ,所以可设PQ： ymy2y3 m24 y26my 9 0.则 | MN |.1 m2 |yMyN2. 36m2 36 3m2 423m 4212 m23m 4圆心A到PQ距离dI2m|m2所以 |PQ | 2. | AQ| d4m m221612 m4 3m,x4Smpnq1_1|MN | | PQ|221223m 4431一 2 ,m 42m24. m2 13m2 42-x8.椭圆一2a12,8 3 .y21ab 0的左焦点为 b2F,过点F的直线交椭圆于 A,B两点，AF|的最大值是M, |BF|的最小值是 m,满足 Mm二 一 a .4(1)求该椭圆的离心率；(2)设线段AB的中点为

15、G, AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于 D, E两点，。是坐标原点.记AGFD的面积为§ , AOED的面积为S2 ,求2§S2s2 S2的取值范围.解（1）设F (-c,0）（c>0）,根据椭圆性质得 M =a c, m a c,而M即a224c , a 2c,因此，椭圆的离心率为 e(2)由（1）可知a2c,b Ja2 c2J3c,椭圆的方程为根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线A xi, yi , B X2, y2y k(x c)由工4c22 y 3c2,消去y并整理得14k28ck2x 4k2c2 12c2 0,所以X1X28ck24p,y1y

16、2 k(X1X22c)所以G4ck2 3ck2,24k2 3 4k2 33ck-T2 o因为DG ±AB ,所以4k34ck4k2 3XD由Rt FGD与Rt EOD相似，所以§ GF GDS2 OD OEGD2OD24ck24k2 3GFOE1,XdGDOD0,41.2X4 c2AB的方程为6ck2，4k 3ck2 4k2y k(x c),并设ck24k2 33ck24k2 3ck24k2 3二9T 9,x c -2§S22则t 9,从而2"2S2S；t 1t9412SiS2的取值范围是MOAMAO,求直线的l斜率的取值范围.229.设椭圆x2 2_ 1( a B 的右焦点为 F ,右顶点为 A, a 3,11 3e_已知 ,其中O 为原点，e为椭圆的离心率.|OF| |OA| |FA|(1)求椭圆的方程；(2)设过点 A的直线l与椭圆交于点 B ( B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M ,与y轴交于点 H ,若BF HF ,且a2 3由于OF OA3eFA=,解之得a 2 ,所以椭圆31.2 X 方程为：-4(2)由已知，设l的斜率为设 B(Xb ,由方程组得(3 4kVb)2 x4V2 2)xM(X0 , k(X0k (k2)，0),方程为2y3