控制工程基础课件 3系统~1

1、第三章 物理系统的数学模型及传递函数本章主要内容本章主要内容： 1.建立数学模型的方法2.传递函数的定义与概念3.典型环节的传递函数4.传递函数方框图的简化本章重点与难点本章重点与难点1.如何建立系统的数学模型2.对传递函数的理解及方框图的简化3.1系统的数学模型 一数学模型的概念 数学模型是定量描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间关系的数学表达式。例如微分方程、差分方程、传递函数、频率特性式。 1.动态模型：微分方程（描述变量各阶导数之间关系） 2.静态模型：代数方程（变量的各阶导数为零时，描述变量之间关系的代数方程）n建立系统数学模型时，必须1.全面了解系统特性，确定研究

2、目的以及准确性要求，决定能否忽略一些次要因素而简化系统的数学模型2.根据所应用的系统分析法，建立相应形式的数学模型 建立系统的数学模型有两条途径：1.分析法2.实验法：根据对系统的观察，通过测量得到输入输出数据，推断出系统的数学模型。二.建立数学模型的步骤 1.分析系统的工作原理及系统中各变量间的关系，确定系统的输入量及输出量 2.对系统作必要的简化假设，略去次要的因素，便于分析和研究 3.根据物理学规律，依次列出系统中各部分的动力学方程 4.若出现非线性方程，可进行线性化 5.消去各方程的中间变量，即得描述系统输入量与输出量间关系得微分方程例1：设有由电感L、电容C和电阻R组成的电路，如图1

3、所示。试列写以输出电压为U2输出变量和以输入电压 U1为输入变量的运动方程。 图1 3.1系统的数学模型三.线性系统已知系统输入 和输出 之间动态关系的微分方程 txbtxbtxbtxatxatxaiimimoonon0101 txi txo1.若系数 都不是 和 的函数，也不是它们导数的函数，也不是时间的函数，则此方程是线性定常的，相对应的系统也就是线性定常系统；2.若 是时间 的函数，则该方程是线性时变的，相对应的系统也就是线性时变系统；3.若 中只要有一个系数依赖于 ， 或它们的导数，或者是在微分方程中出现 的其他函数形式，则该方程是非线性的，相对应的系统也就是非线性系统。), 2 ,

4、1 , 0(), 2 , 1 , 0(mjbniaji txi txojiba ,tjiba , txitxot txtxtxtxiooo42 txtxtxtxtxioooo23.2传递函数 一.传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为初始条件为零时， 系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 sXsXtxLtxLsGioio sGsXsXio我们可以看出输入信号经系统传递，也就是乘上 即得输出信号，所以我们把 叫做传递函数。可以用方框图表示 sG sGG（s） six sxo二.传递函数的求法设线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换系统的传递函数为 txbtxb

5、txbtxatxatxaiimimoonon0101 sXbsbsbsbsXasasasaimmmmOnnnn)()(01110111 01110111asasasabsbsbsbsGnnnnmmmm方法1：列写系统的微分方程 消去中间变量，整理成系统的微分方程模型 在初始条件为零的情况下，取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比，得到控制系统 的传递函数方法2：列写系统中各元件（各环节）的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的代数方程组，消去中间变量 整理成控制系统的传递函数求系统传递函数的方法： 三传递函数的特点1.微分方程左端阶数及各项系数只取决于系统本身的与外界无关的固有特性

6、，右端阶数及各项系数取决于系统与外界之间的关系，所以传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性。分子代表输入与系统的关系，因此传递函数表达了系统本身的动态性能。2.传递函数不说明被描述系统的物理结构。3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要看输入量和输出量二者的量纲及其比值4.传递函数是复变数S的有理分式，且分子、分母多项式的各项系数均为实数，分母多项式的次数n大于等于分子多项式的次数m。四传递函数的零点、极点和放大系数 nmpspspszszszsksG2121 K为放大系数 为传递函数的极点， 为传递函数的零点 mjzsj2 , 1njpsj2 , 1 传递函数的零点和

7、极点的分布影响系统的动态性能。 一般极点影响系统的稳定性， 零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。 系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。 3.3典型环节的传递函数 控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节和振荡环节。 一比例环节（放大环节） 只要输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟而按比例的反映 输入的环节称为比例环节。 其动力学方程为， 传递函数 tkxtxio ksXsXsGio二惯性环节(一阶惯性环节) 凡动力学方程为一阶微分方程 形式的环节称为惯性环节。 其传递函数为 其中K为放大系数，T为惯性环节的时间常数。 iookxtxtxT 1TsksG三微分环节凡

8、具有输出正比于输入的微分，即微分方程为 的环节称为微分环节传递函数 T为微分环节的时间常数四积分环节凡具有输出正比于输入对时间的积分的环节。微分方程 传递函数为 T为积分环节的时间常数 txTtxio TssG dttxTtxio1 TssG1五振荡环节振荡环节是二阶环节，其传递函数为 无阻尼固有频率 阻尼比对于二阶环节作阶跃输入时，输出有两种情况 1. 当 输出为一衰减振荡过程，此时为振荡环节 2. 当 时，输出为一指数上升曲线而不振荡，最后达到常值输出。这时二阶环节不是振荡环节，而是两个一阶惯性环节的组合，可见振荡环节是二阶环节，但二阶环节不一定是振荡环节。 2222nnnsssGn101

9、六延时环节延时环节是输出滞后输入时间 ，但不失真的反映输入的环节。即输出与输入信号形状完全相同，仅仅时间延迟 。延时环节一般与其它环节同时存在。传递函数为 sesG例1：求如图1所示系统的传递函数典型环节的传递函数 图1 例2：求如图2所示系统的传递函数图3 例3：求如图3所示系统的传递函数 图2 图3典型环节的传递函数例4：求如图4所示系统的传递函数 图4例5：求如图5所示系统的传递函数 图53.4系统的方框图及其连接 一.环节的基本联系方式1.串联 2.并联并联后等效环节的传递函数等于各个并联环节的传递函数之和。 串联后等效环节的传递函数等于每个串联环节传递函数的乘积。 3.反馈联接 反馈

10、回路传递函数（前向通道：由偏差信号至输出信号的通道； 反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道）G(s)H(s) sXi sXo sE sB-前 前向通道传递函数 ：它是输出信号与偏差信号之比，即 反馈通道传递函数 ：反馈输出信号与输出信号之比，即 开环传递函数 ：前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积 或定义为反馈信号与偏差信号之比 sG sEsXsGo sH sXsBsHO sGk sHsGsGk sHsGsEsBsGk 3.反馈联接 闭环传递函数 ：闭环系统输出与输入之比 ，已知： 那么： s sXsXsio sBsXsEi sBsEsXi sHsGsGsEsBsEsXsBsEsXsXsX

11、sooio11负号对应正反馈，正号对应负反馈正反馈是反馈信号加强输入信号，使偏差信号增大时的反馈负反馈是反馈信号减弱输入信号，使偏差信号减小时的反馈若 1，称为单位反馈系统以上引入开环传递函数及闭环传递函数的概念，这些都是对闭环系统而言的，今后若不加特别说明，当研究整个系统时，不论是开环系统还是闭环系统，均可以用 来表示整个系统的传递函数 sH sG4.干扰作用下的闭环系统 - sNG1(s)H(s)G2(s) sXi sE sXo sB作用下系统的输出 sXi sXsHsGsGsGsGsXi2121011作用下系统的输出 sN sNsHsGsGsGsXo21221 对于同一个闭环系统，当输入

12、的取法不同时，前向通道的传递函数不同， 反馈回路的传递函数不同，系统传递函数也不同，但传递函数的分母不变。 这说明了系统传递函数的分母确实反映了系统本身的固有特性，这个特性与 外界无关。而这一结论对开环系统并不适用。 二.方框图的变换与简化 1.方框图的变换 变动后输入和输出都不变，变换前后的方框图是等效的 （1）分支点等效移动规则 若将分支点从一函数方框的输出侧移至其输入侧，须在分出支路 中串入具有相同传递函数的函数方框； 若将分支点从一函数方框的输入侧移至其输出侧，须在分出支路 中串入具有相同传递函数的倒数的函数方框。 1.方框图的变换 （2）相加点等效移动规则 若将相加点从一函数方框的输

13、出侧移至其输入侧，则需在移动后的一个相加支路中串入相同传递函数的倒数的函数方框。 若将相加点从一函数方框的输入侧移至其输出侧，则需在移动后的一个相加支路中串入相同传递函数的函数方框。 传递函数方框图简化的一般步骤 (1）确定系统的输入量和输出量，如果作用在系统的输入量有多个，则必须分别对每一个输入量，逐个进行方框图的简化，求得各自的传递函数。对于具有多个输出量的情况，也要分别进行变换，求取各自的传递函数。 (2）若方框图中仅有多个无交叉回路，则按照先里后外的原则，逐个简化，直至简化成一个方框的形式。若方框图中有交叉的连接，用如下的方法。方法一：若系统的传递函数方框图同时满足以下两个条件 条件1，整个系统方框图中只有一条前向通道； 条件2，各局部反馈回路间存在公共的传递函数方框。则可以直接用下列公式求解：前向通道的传递函数/(1+( 每一反馈回路的开环传递函数) 括号内每一项的符号是这样决定的：在相加点处，对反馈信号为相加时取负号，对反馈信号为相减时取正号。2.方框图的简化 sXsXsGiO方法二：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两个条件，则可通过相加点、分支点的前后移动等法则，将系统传递函数方框图化为同时满足以上两个条件的形式，然后应用上述公式即可。 方法三：若系统的传递函数方框图不同时满足以上两