2019-2020学年必修四2.1任意角的三角函数学案

1、11.2 任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数学习目标核心素养（教师独具）1.理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值.（重点、易错点）通过学习本节内谷提升2.会判断给定角的三角函数值的符号.（重点）学生的数学运算和数学3.会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大抽象核心素养.小及表示角的范围.（难点）自圭顶习送揺新- -旳* .-:,新知初SU一、任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设a的终边上任意一点 P 的坐标是（x, y），它与原点的距离是 r（r= .x2+ y20），那么名称定义定义域正弦sina=y rR余弦xcosa=rR正切ytana=xnaa 2+knkZsi

2、nacosa,tana分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数.思考 1:对于确定的角a,sinacosatana的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变？提示不会.因为三角函数值是比值，其大小与点 P（x，y）在终边上的位置2无关，只与角a的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关思考 2：若 P 为角a与单位圆的交点，sina,cosa,tana的值怎样表示?提示 sina=y, cos a x, tana=X.X二、三角函数在各象的限符号T*+OiOi二二 二半+=Mraw怡 0L1n a、三角函数线1 有向线段：规定了方向（即规定了起点和终点）的线段.2 三角函数线F

3、供迥a柏也 ”“ 0.二 3 是第二象限角，4 是第三象限角. cos 30.二 cos 3tan 40 合件採究林棉盍荐三角函数的定义及应用【例 11在平面直角坐标系中，角a的终边在直线 y= 2x 上，求 sina,cosa,tana的值.思路点拨：以a的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求 sina,COSa_sina=2 匸1 =2n小(2)T230),则 sin ay, COSa=x.当已知a的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便.rr2.当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对 参数进行分类讨论.囱探羸ill嫦.1 .已知角B终边上一点 P(x

4、, 3)(XM0),且 cos0=斗 0 x,求 sin0,tan0.解由题意知 r=|OP|=：x2+ 9,由三角函数定义得 cos0=x=x.rVx2+ 9所以 sin22,5戸=5=5COS a.2tana= = 2.-1所以 sinCOSa=2tan戸=2.Xvcos 歸,67ntan 0；3n3n50i 拌 b i& 3 tanA1= 3.当 x= 1 时，P( - 1,3),此时 sin =3,1010，3tan0= = 3.1三角函数值的符号空側 2 /_【例 2】(1)若a是第四象限角，则点 P(cosatana在第_(2)判断下列各式的符号：7nsin 183 ；ta

5、n: cos 5.4思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号(1)四T a是第四象限角，二 cosa0，tana0，点 P(cosa，tana在第四象限.(2)解T180183270象限.当 x= 1 时，P(1,3),37对于已知角a判断a的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定 义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理 2.确定下列式子的符号：(3) tan 120 sin 269 .解(1)T108是第二象限角，二 tan 108 0.从而 tan 108 os305 0.11n2n第二象限角，-歹是第四象限角，空是第二象限角5 冗小11 冗小.2nc

6、os60，tany0.5n11ncos6 tan 6- 从而 0.2nsinJ(3)T120是第二象限角，二 tan 120 0，T269是第三象限角，二 sin 269 0.应用三角函数线解三角不等式探究问题11.在单位圆中，满足 sin a2 的正弦线有几条？试在图中明确.1提示：两条，如图所示，MP1 与 NP2 都等于 1.(1)tan 108 cos 305；5n11nCOS2nsin -3812满足 sin a 1 的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确.提示：如图中阴影部分所示，所求角a的取值范围为n5na2kn+6wa2kn+ J，kz.【例 3】 求函数 f(x) = :

7、 1 2cosx+ In sin x右2的定义域.1 2cosx 0思路点拨：借助单位圆解不等式组2 便可.sin x 01 2cos x 0,sin x 2 0,1cos x则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示,n3二 x 2kn+3Wxv2kn+4n,kZ .理拌矗i盍1.利用三角函数线解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法.对于 sin xb, cos xa(sin xb, cos x c,取点(1, c)连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在 的位置，结合图象可确定相应的范围.2利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角a的三角函

8、数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围.在这个解题过程中实现了 一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想.3在单位圆中画出适合下列条件的角a的终边的范围，并由此写出角集合:V3i(1)sina_2；(2)cosa 2 J3解(1)作直线尸玄交单位圆于 A，B 两点，连结 OA, 0B,则 OA 与 OB围成的区域(图阴影部分)即为角a的终边的范围，故满足条件的角a的集合为n2na2kn+30,则a终边所在象限是()A.第一象限D .第四象限C 由 sinaV0 可知a的终边落在第三、四象限及 y 轴的负半轴上.由 tana0 可知a的终边落在第一、三象限内.故同时满足 si

9、naV0, tana0 的角a为第三象限角.32.角a的终边经过点 P(-b, 4)且 COSa= 5,则 b 的值为_.b 0,b2_ _9b2+ 16_25,3._若a是第一象限角，则 sina+cosa的值与 1 的大小关系是_sina+cosa1 作出a的正弦线和余弦线(图略),由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知 sina+cos o1.4 .已知角a的终边在直线 3x+ 4y_ 0 上，求 sina,cosatana的值.解角a的终边在直线 3x+ 4y_ 0 上，在角a的终边上任取一点 P(4t,B.第二象限C.第三象限解得 b_3.由三角函数的定义可知123t)(t丰0),则 x_4t, y_ 3t, r_ x2+ y2_V4t2+ 3t2_ 5|t|,13当 t0 时,r = 5t, sin ay 3t=r =3x 4t 45,C