二次根式的概念与性质

1、页眉内容页唧内容 12二次根式的概念与性质地编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知L汨1.学习目标：国理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由：理解并掌握下列结论:由之 0020）,8）并利用它们进行计算和化简.2.重点：曲20020）：（右）2=优（优NO）,后二aSMO）及其运用.3.难点：利用由 NO 值 NO）,卬）=优 0 对），扁二 2 之。）解决具体问题.二、知识要点梳理I益知识点一：二次根式的概念山一般地，我们把形如石（aNO）的式子叫做二次根式，“丁”称为二次根号.要点诠释：二次根式的两个要素：根指数为 2：被开方数为非负数.知识点二：二次根式的性质窿10（a0

2、）右）=a（a）腐+/（-0）3II1（次0）.4积的算术平方根的性质：屈=扁瑚9乏。,论 0）：占=卓心030）5.商的算术平方根的性质：V仍页眉内容贞脚内容 12要点诠释；14a=a(a()二次根式据(aNO)的值是非负数，其性质*，可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用： 逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式， 有利于在实数范围内进行因式分解.知识点三：代数式曲形如 5,a,a+b,ab,x血这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraicexpression).三、规律方法指导

3、函1. 如何判断一个式子是否是二次根式？(1) 必须含有二次根号，即根指数为 2；(2) 被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.2. 如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围， 可根据题意列出不等式， 通过解不等式确定字的取值范国.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.经典例题透析山类型一：二次根式的概念函1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：山、寿、x、(x0)xV5、-很、*+、才+、(xNO,yNO).思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“5”：

4、第二，被开方数是正数或 0.解：二次根式有：(x0)、Vo、/2、J，*(xMO,yO):A_L不是二次根式的有：驹、X、扼、x+y.52、当 X 是多少时，底可在实数范用内有意义？页脚内容 12思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0,所以 3X-1N0,奴二 1 才能有意义.解：由 3x-l0,得：当时，底日在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.举一反三【变式 1】X 是怎样的实数时，下列各式实数范用内有意义？1.7:解：(1)由 5+1)2，0,解得：X 取任意实数.当 x 取任意实数时，二次根式3+1 尸在实数范围内

5、都有意义.(2)由 X-1N0,且 X-1 尹 0,解得：X11当 X1 时，二次根式。在实数范围内都有意义.1【变式 2】当 X 是多少时，V2X+3+7+T 在实数范围内有意义？思路点拨：要使 V2X+3+7+1 在实数范围内有意义，必须同时满足 J2 名十 3 中的 2x+30 和 x+1 中的 x+1 夭 0.-2A+30解：依题意，得1+1。3由得：xN-2由得：x 尹-1页眉内容贞脚内容 123当XN-5且 xK-l 时，m+3+x+1 在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质囹举一反三【变式 1】计算:解：(1)因为 xNO,所以 x+l0(。府(bO)思路点拨：我们可以直接利

6、用2=(it(aNO)的结论解题.解:J.2=3项妨=9x5=45(3面-(而二45-75=-30-12+9?思路点拨：(1)因为 xNO,所以 x+l0：(3)a3+2a+l=(a+l)20：/NO：(4)4xT2x+9=(2x)-22x3+3(2x-3)N0.=a(aO)的重要结论解题.3、计算：有22+2(25+1所以上面的 4 题都可以运用页脚内容 12(3) Va3+2a+l=(a+l)32J疽十2仅十)又 V(a+l)oAa：+2a+10,A;二 a+2a+l：(4) V4x-12x+9=(2x)-22x3+32=(2x-3)2又 V(2x-3):0(也亍一 12 工+9)2.4x

7、2-12x+90I/=4xc-12x+9.4、化简：li 安】我矿妨：石矿思路点拨：因为(1)9=3、(2)(-4)J 妒，(3)25=5：,(4)(-所以都可运用后=(。)去化简.解：奴房=3：二押=4；V25席二 5：/(-努二够二 3.5、填空：当 a，0 时，二：当 aa 所以 a 不存在：当 aa,即 a0：综上，a0,可得x=2JV=5y5:.A/TT=0?=0ij+l=0,的1=0:.a=1,Z?=1.技场+时8二(_1*但+严8=2.牝、在实数范围内分解因式:的因为，当 aWO 时，履那么-aNO.(2)0,0 且后刀卜布互=0页眉内容贞脚内容 12(l)x3-5；(2)x-2

8、x：解：（1）原式=二（壮厕小）（2）原式=工（/一 2）出一但=I(X+/2)(X-72)学习成果测评崖I基础达标曲一、选择题1.下列式子中， 不是二次根式的是 （）J.D.人2.已知一个正方形的面积是 5,那么它的边长是（）A.5B.右1_C.5D.以上皆不对3.（福建省福州布）若代数式 xT 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为（）A.x0B.xNOC.x 尹 0D.xNO 且 x丰1D.以上都不对5. aNO 时，源、妇矿、一拼，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）AJ（-疔乏-石BJ（-疔-页眉内容贞脚内容 126.（辽宁省大连南）如图，数轴上点 N 表示的数可能是（）A.

9、而 B.V5c.V3二、填空题1.若五=4,则 x2.若如 4 有意义，贝岬的取值范围是3. -JO.0004 二J(3.14-矿*.6.若时二 7,则冼二8.化简：也拓二IIIi!yII1D1234QVJ(-)2D=J(_g7.若疔+腕二 0,则也.若=Al,贝衅页眉内容贞脚内容 1210.（内蒙古鄂尔多斯市）如图，在数轴上，A、B 两点之间表示整数的点有个.三、解答题1.求下列二次根式中字母 a 的取值范国:（1）&十 1,Vid:2.某工厂要制作一批体积为 1 虻的产品包装盒，其高为 0.2m,按设计需要，底而应做成正方形，试问底而边长应是多少？能力提升函一、选择题1.使式子才有

10、意义的未知数 X 有（）个A.0B.1C.2D.无数2. （山西省临汾市）若 j9-6 企+温=3-4,贝岬与 3 的大小关系是（）A.侃3D.3. 下列计算正确的是（）A.（QJ=-5B.（-冏*c.-（荷*D.-（-可4. （福建省厦门市）下列四个结论中，正确的是（）（2月+3*）（2&3旧）二页眉内容贞脚内容 123赔5503375。1够5一一-21二 a+(l-a)二 1；乙的解答为：原式二 a+J(E)=a+(a-l)二 2a-l 二 17.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.4. 若-3G 葺时，试化简 I2|+出十十&一IOI25.5.在实数范围内分解下列因

11、式:天一 2；?-9,答案与解析有基础达标11TTe、1.解：由 a+lN0,得 aN-1.字母 a 的取值范围是大于或等于-1 的实数。_1(2) 1 一 20,得 l-2a0,即 a21.字母 a 的取值范用是小于2的实数。(3) 因为无论 a 取何值，都有 S-3)220,所以 a 取值范围是全体实数。2.解：设底而边长为 x,则 0.2xF,解答：A 右.能力提升国一、l.B2.B3.B4.D二、L2.53.b一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B二、1.163.-0.024.7T-3.145.2-x6.717.339.(1)2:(2)6；(3)-610.4页眉内容贞脚内容 122兀十3乏0一51. 解：依题意得：工辛,3J2.+3.当 x-2 且 x 尹。时，X+/在实数范围内有意义.2. 解：出-x0,Jx-30,且 j3-x+Jx-3 有意义:./3x=0,3=0,x=33.解：v|X-510,Jy+4 乏0且11-5|+&+4=0:.x-5=0,必+4=0.为二5,j=-4/V2CO8（X+A）=】4 解.+30,4-y乏 0 且 Ji+3+”4-y=0:.S+3=0,jA-y=0：.x+3=0,4-=0-X=-3,y=4.1综