常用统计分布三个常用分布

1、第第3 3节节 抽样分布抽样分布一、常见分布一、常见分布二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数三、小结三、小结一、常见分布一、常见分布11111()()nniiiiE XEXE Xnnnn从而212122(,),(1,2)nniiXXXXXXXXEXDXin 设总体 的均值为 ，方差为，分布形式可以是未知的，为一样本，则独立且与总体 同分布，因而有 1.X的分布222211111()()nniiiiD XDXD Xnnnnn而而是是来来自自总总体体设设样样本本,),(21XXXXn),(2 NX则样本均值),/,(121nNXnXnii 12222212222,(0, 1),( ).nnnn

2、XXXNXXXnn定义、设相互独立，同服从分布 则称统计量服从自由度为的分布 记为.:222212变变量量的的个个数数中中右右端端包包含含独独立立指指自自由由度度nnXXX 22.分布（卡方分布）2( )n定理分布的概率密度为122210( )2( )20nxnxexnf x其它.)(2图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 分分布布的的性性质质2 性质性质1).(,),(),(2122221222122221221nnnn 则则立立独独并并且且设设)(2分布的可加性分布的可加性 (此性质可以推广到多个随机变量的情形此性质可以推广到多个随机变量的情形).(,), 2, 1(),(212

3、12222mmiiiiinnnmin 则则独立独立相互相互并且并且设设性质性质2.2)(,)(),(2222nDnEn 则则若若性质性质3而而是是来来自自总总体体设设样样本本,),(21XXXXn),(2 NX22(1)(1)nS则) 1(2 n .2是样本方差其中S212)(1XXnii 2(2).XS与独立注注),1(2 n 自由度减少一个自由度减少一个!222111()()nniiiiXXXX减少一个自由度的原因：减少一个自由度的原因：.),2 , 1(不相互独立不相互独立niXXi 事实上，它们受到一个条件的约束：事实上，它们受到一个条件的约束： niiXX1 niiXnX1)(1 n

4、iiXnX1. 001 .)()(,)1 , 0(,12265432221121621分分布布服服从从使使得得求求样样本本的的一一组组为为来来自自正正态态总总体体设设例例 XXXXCXXCYCCNXXX )1 , 0(2),2 , 0(2121NXXNXX 则则解解),(),(1044065436543NXXXXNXXXX则则同理同理221XX 且且46543XXXX与与相互独立相互独立2212)(XX 所以所以)2()4(226543 XXXX .41,2121 CC则则2(0,1),( ),/, ( ).XNYnX YXTnY ntTt n定义设且独立 则称随机变量服从自由度为的 分布 记

5、为t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t3.图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t.0对称的对称的显然图形是关于显然图形是关于 t当当n充分大时充分大时, 其图其图形类似于标准正态形类似于标准正态变量概率密度的图变量概率密度的图形形.,21)(lim22tneth 因因为为,)1 , 0(分分布布分分布布近近似似于于足足够够大大时时所所以以当当Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布与与但但对对于于较较小小的的Ntn2222( ,),( ),.YXN

6、nX YXTY n 例设且相互独立试求的概率分布222( ),YXYnX Y又且独立 则与独立由定理得)(/ )/(/ )(2ntnYXnYXT2( ,),(0,1)XXNN 解因为所以定理定理而而是是来来自自总总体体设设样样本本,),(21XXXXn),(2 NX则 (1)/Xt nSn定理定理.相相互互独独立立与与YX),(121nXXX样样本本总体总体X和和Y，则则分分别别来来自自与与),(221nYYY),(, ),(222211 NYNX设设总总体体),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 2222112212(1)(1),.2wwwnSnSSSSnn其中2212.SS

7、和分别是来自两个总体样本的样本方差),(221221nnNYX 212111)()( nnYXU ),1 , 0( N221112(1) (1),nSn由222222(1)(1),nSn分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 证证 由定理知由定理知2112(1)nSV2222(1)nS),2(212 nn 分分布布的的定定义义按按相相互互独独立立与与由由于于tVU,)2/(21 nnVUT212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt例例3则则统统计计量量来来自自总总体体设设), 0(,24321 NXXXX?242321的分布为的分布为XXXXT )1

8、, 0(2),2 , 0(221221NXXNXX 于是于是于于是是独独立立同同分分布布于于与与),1 , 0(2423NXX 解解)2(2224223 XX )2(2222423221tXXXXt 分分布布的的定定义义由由)(2242321tXXXX即即2212112212( ),(),/( ,)/,( ,).XnYnX YX nFn nFY nFF n n定义设且独立则称随机变量服从自由度为的分布 记为分布分布F4.其中其中 分别表示分别表示F分布的自由度分布的自由度21,nn分分布布的的概概率率密密度度为为),(21nnF 其它其它, 00,1222)(2212112221212111y

9、nynnnynnnnynnnn 图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F分布有以下性质分布有以下性质F).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若(1)21( ,1)FF nT由 分布的性质知2222 ( ),(0,1),( ),(1),Tt nXTY nXNYnX YXXY证明 因为由定义有其中且独立 那么且与 独立24 ( ),(1, ).Tt nTFn例已知试证22XTY n由定义有22(0,1),(1)XNX其中则(1, )Fn二、概率分布的分位数二、概率分布的分位数(01),.XxP XxxXx定义对于总体 和给定的若存 在 使上侧 分位数则称 为 的分布的通常记作x记记x

10、为为x /2/2/21/21/21/2/21/2/2/2(01),2.,2.XxP XxxXxP XxxXxx定义对于总体 和给定的 若存在使则称为 的分布的 若存在使则上侧分位数上侧1称为 的分布的和统-分位双侧数称分位数05. 0u附表附表2-12-1025. 0u根据正态分布的对称性知根据正态分布的对称性知. uu1,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2()1u 即.,的值可查得由附表给定 u2 u正正态态分分布布的的上上侧侧分分位位数数. 1,)(1) 1 , 0(),1 , 0(uuXPuNNX满足分位点的上服从标准正态分布设).()()()(, 10,或分位点或分位点分

11、位数分位数分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 ntntnttP.分分位位数数的的值值得得上上可可以以通通过过查查表表求求 由分布的对称性知由分布的对称性知).()(1ntnt )(. 2ntt 分分布布的的上上侧侧分分位位数数)10(05. 0t附表附表3-13-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-23-2.)(, untn时当45.)()()(, 10,2222分分位位数数（分分位位点点）分分布布的的上上为为的的点点称称满满足足条条件件对对于于给给定定的的正正数数 nnnP.,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以

12、通过查表求对于不同的对于不同的 n)(. 322n 分分布布的的上上侧侧分分位位数数)8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表4-14-1附表附表4只详列到只详列到 n=45 为止为止.,535.17 ,247. 3 附表附表4-24-2.382.34 附表附表4-34-3221,( )(21) .2.nnunu当充分大时其中是标准正态分布的上分位数例如例如220.051(50)(1.64599)267.221利用上公式利用上公式,而查详表可得而查详表可得.505.67)50(205. 0 .,45 分分位位点点的的近近似似值值上上时时可可以以求求得得 n费歇

13、费歇(R.A.Fisher)证明证明:.,),(21可可通通过过查查表表完完成成的的值值求求nnF )7 , 8(025. 0F)14,30(05. 0F附表附表5-15-1,90. 4 .31. 2 附表附表5-25-2.),(),(),(, 10,212121分位数分位数分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 nnFnnFnnFFP),(214nnFF 分布的上侧分位数:分位点具有如下性质分位点具有如下性质分布的上分布的上 F.),(1),(12211nnFnnF 证明证明),(1 211nnFFP 所所以以 ),(11211nnFFP ),(111211nn

14、FFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因因为为,),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因因为为,),(1 12 nnFFP所所以以, ),(),(11221-1nnFnnF 比较后得比较后得.),(1),(12211nnFnnF 即即)9 , 21(59 . 0F例例)12, 9(105. 0F 8 . 21 .357. 0 . 分分位位点点的的一一些些上上用用来来求求分分布布表表中中未未列列出出 三、小结三、小结1.三大统计分布三大统计分布 . , , 2分分布布分分布布分分布布Ft 的定义的定义,性质性质.2.概率分布的分位数练练 习习2122211

15、( ,),1().nniiXNXXXX 、设总体 服从分布，是来自总体的一个样本，求统计量的分布121222112212122211112222212(,)(,),().()nnniiniiXNYNXXXY YYXYXnYn 、设总体 服从分布，总体 服从分布，和分别是来自总体 和的两个样本，求统计量的分布223( )(1)(2)Xt nXX、设 服从分布，求下列随机变量的分布：； 12522212122223454,(1,25)(0,1).(1)()(2)iXXXX iNcc XXXXddtXXX、设是独立且同分布的随机变量，且每一个都服从分布试给出常数 ，使得服从分布，并指出它的自由度；试

16、给出常数 ，使得服从 分布，并指出它的自由度.5(20,3)10,150.3.N、求总体的容量分布为的两个独立样本均值差的绝对值大于的概率2121010216,(0,0.3 )1.44iiXXXNPX、设为的一个样本，求.7(10)()0.95TtcP Tc、设，求常数 ，使得附表附表2-12-1 标准正态分布表标准正态分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.01.00.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.

17、75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.

18、73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.

19、71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.

20、68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645,d21)(22 zttez 附表附表2-22-2标准正态分布表标准正态分布表z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.01.92.03.00.94520.95540.96410.97130.97720.98210.98610.98930.99180.99380.99530.99650.99740.99810.99870.94

21、630.95640.96480.97190.97780.98260.98640.98960.99200.99400.99550.99660.99750.99820.99900.94740.95730.96560.97260.97830.98300.98680.98980.99220.99410.99560.99670.99760.99820.99930.94840.95820.96640.97320.97880.98340.98710.99010.99250.99430.99570.99680.99770.99830.99950.94950.95910.96710.97380.97930.98

22、380.98710.99040.99270.99450.99590.99690.99770.99840.99970.95050.95990.96780.97440.97980.98420.98780.99060.99290.99460.99600.99700.99780.99840.96980.95150.96080.96860.97500.98030.98460.98810.99090.99310.99480.99610.99710.99790.99850.99980.95250.96160.96930.97560.98080.98500.98840.99110.99320.99490.99

23、620.99720.99790.99850.99990.95350.96250.97000.97620.98120.98540.98870.99130.99340.99510.99630.99730.99800.99860.99990.95450.96330.97060.97670.98170.98530.98900.99160.99360.99520.99640.99740.99810.99861.00001.96,d21)(22 zttez 附表附表4-14-1= 50.0250.010.005123456789101112131415161.3232.7734.10

24、85.3856.6267.8419.03710.21911.38912.54913.70114.84515.98417.11718.24519.3692.7064.6056.2517.7799.23610.64512.01713.36214.68415.98717.27518.54919.81220.06422.30723.5423.8415.9917.8159.48811.07112.59214.06715.50716.91918.30719.67521.02622.36223.68524.99626.2965.0247.3789.34811.14312.83314.44916.01317.

25、53519.02320.48321.92023.33724.73626.11927.48828.8456.6359.21011.34513.27715.08616.81218.47520.09021.66623.20924.72526.21727.68829.14130.57832.0007.87910.59712.83814.86016.75018.54820.27821.95523.58925.18826.75728.29929.89131.31932.80134.267n2 分布表分布表17.535=0.9950.990.9750.950.900.75123456789101112131

26、415160.0100.0720.2070.4120.6760.9891.3441.7352.1562.6033.0743.5654.0754.6015.1420.0200.1150.2970.5540.8721.2391.6462.0882.5583.0533.5714.1074.6605.2295.8120.0010.0510.2160.4840.8311.2371.6902.1802.7003.2473.8164.4045.0095.6296.2626.9080.0040.1030.3520.7111.1451.6352.1672.7333.3253.9404.5755.2265.892

27、6.5717.2617.9620.0160.2110.5841.0641.6102.2042.8333.4904.1684.8655.5786.3047.0427.7908.5479.3120.1020.5751.2131.9232.6753.4554.2555.0715.8996.7377.5848.4389.29910.16511.03711.912n3.247附表附表4-4-2 22 分布表分布表=50.0250.010.0051718192021222324252627282930313220.48921.60522.71823.82824.93526.03927

28、.14128.24129.33930.43531.52832.62033.71134.80035.88736.97324.76925.98927.20428.41229.61530.81332.00733.19634.38235.56336.74137.91639.08740.25641.42242.58527.58728.86930.14431.41032.67133.92435.17236.41537.65238.88540.11341.33742.55743.77344.98546.19430.19131.52632.85234.17035.47936.78138.07639.36440

29、.64641.92343.19444.46145.71246.97948.23249.48033.40934.80536.19137.56638.93240.28941.63842.98044.31445.64246.96348.27849.58850.89252.19153.48635.71837.15638.58239.99741.40142.79644.18145.55946.92848.29049.64550.99352.33653.67255.00356.328n34.382附表附表4-4-3 32 分布表分布表附表附表3-13-1 =50.0250.010.0

30、05123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.761

31、31.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498

32、 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208nt分布表分布表1.8125附表附表3-23-2 =50.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.

33、34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.718

34、1 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1315t分布表分布表附表附表5-15-1F分布表分布表025. 0 1234567891012152024304012012345678910111213141516171819647.838.5117.4412.2210.01 8.81 8.07 7.57 7.21 6.94 6.72 6.5

35、5 6.41 6.30 6.20 6.12 6.04 5.95 5.92799.539.0016.0410.65 8.43 7.26 6.54 6.06 5.71 5.46 5.26 5.10 4.97 4.86 4.77 4.69 4.62 4.56 4.51864.239.1715.44 9.98 7.76 6.60 5.89 5.42 5.08 4.83 4.63 4.47 4.35 4.24 4.15 4.08 4.01 3.95 3.90899.639.2515.10 9.60 7.39 6.23 5.52 5.50 4.72 4.47 4.28 4.12 4.00 3.89 3.8

36、0 3.73 3.66 3.61 3.56921.839.3014.88 9.36 7.15 5.99 5.29 4.82 4.48 4.24 4.04 3.89 3.77 3.66 3.58 3.50 3.44 3.38 3.33937.139.3314.73 9.20 6.98 5.82 5.12 4.65 4.23 4.07 3.88 3.73 3.60 3.50 3.41 3.34 3.28 3.22 3.17948.239.3614.62 9.07 6.85 5.70 4.99 4.53 4.20 3.95 3.76 3.61 3.48 3.38 3.29 3.22 3.16 3.1

37、0 3.05956.739.3714.54 8.98 6.76 5.60 4.90 4.43 4.10 3.85 3.66 3.51 3.39 3.29 3.20 3.12 3.06 3.01 2.96963.339.3914.47 8.90 6.68 5.52 4.82 4.36 4.03 3.78 3.59 3.44 3.31 3.21 3.12 3.05 2.98 2.93 2.88968.639.4014.42 8.84 6.62 5.46 4.76 4.30 3.96 3.72 3.53 3.37 3.25 3.15 3.06 2.99 2.92 2.87 2.82976.739.4

38、114.34 8.75 6.52 5.37 4.67 4.20 3.87 3.62 3.43 3.28 3.15 3.05 2.96 2.89 2.82 2.77 2.72984.939.4314.25 8.66 6.43 5.27 4.57 4.10 3.77 3.52 3.33 3.18 3.05 2.95 2.86 2.79 2.72 2.67 2.62993.139.4514.17 8.56 6.33 5.17 4.47 4.00 3.67 3.42 3.23 3.07 2.95 2.84 2.76 2.68 2.62 2.56 2.51997.239.4614.12 8.51 6.2

39、8 5.12 4.42 3.59 3.61 3.37 3.17 3.02 2.89 2.79 2.70 2.63 2.56 2.50 2.45100139.4614.08 8.46 6.23 5.07 4.36 3.89 3.56 3.31 3.12 2.96 2.84 2.73 2.64 2.57 2.50 2.44 2.39100639.4714.04 8.41 6.18 5.01 4.31 3.84 3.51 3.26 3.06 2.91 2.78 2.67 2.59 2.51 2.44 2.38 2.33101439.4913.95 8.31 6.07 4.90 4.20 3.73 3

40、.39 3.14 2.94 2.79 2.66 2.55 2.46 2.38 2.32 2.26 2.20101839.5013.90 8.26 6.02 4.85 4.14 3.67 3.33 3.08 2.88 2.72 2.60 2.49 2.40 2.32 2.25 2.19 2.132n1n4.90 1234567891015202430406012012345678910111213141516171819161.418.5110.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 3.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.4

41、1 4.38199.519.00 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 5.55 3.52215.719.16 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.81 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13224.619.25 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90230.219.30 9.01 6.26 5.05 4