点面距离的求解yong

1、点面距离的求解点面距离21一、点面距离的地位： 点面距离问题是整个立体几何这一章的重点，它不仅是线面角、二面角（三垂线法）求解的关键；而且是线面、面面及异面直线间距离转化的最后目的地。是高考的热点，每年都有所考 查。二、点面距的定义：二、点面距的定义： 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫这个点到这个平面的距离间的距离叫这个点到这个平面的距离.点面距离311、 直接法:作出垂线，直接求解； 2、间接法：平行线法、比例法；3、等体积法 三、点面距的求法：三、点面距的求法：四、求法的具体讲解：四、求法的具体讲解：（1）作出垂线，直接求解）作

2、出垂线，直接求解 “垂线如何作，垂足又落在哪里？垂线如何作，垂足又落在哪里？”是此法的关键，是此法的关键，其解决方案主要有下：其解决方案主要有下：1、依据面面垂直的性质及判定、依据面面垂直的性质及判定 常规遵循一作二证三计算的步骤；常规遵循一作二证三计算的步骤；点面距离41法一：依据判定法一：依据判定找找过已知点且与已知平面垂直的平过已知点且与已知平面垂直的平面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂面，后再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在直的性质可知，此垂线垂直于已知平面，且垂足落在交线上交线上 MCPAB例例1：如图：在四面体P-AB

3、C中， PC平面ABC， AB=BC=CA=PC=a，求B到面PAC的距离。 分析：由分析：由PC平面平面ABC，PC 面面PAC可得，可得，面面ABC面面PAC，又面，又面ABC过点过点B，面，面ABC面面PAC=AC，所以过，所以过B作作BMAC于于M，即可，即可得得BM面面PAC。而三角形。而三角形ABC为等边三角形为等边三角形故故 32BM =点面距离51 例例2 在棱长为在棱长为1的正方体的正方体 中，中，E、F分别为棱分别为棱 、 的中点，的中点，G 为棱为棱 上的一点，上的一点， 且且 求点求点G到面到面 的距的距离。离。 1 111ABCD ABCD1AA1BB11AB1(01

4、)AG=1D EFMDBCEFA1D1A1B1CG分析：由条件可知点分析：由条件可知点G在线段在线段 移动，而移动，而 面面 ，所，所以其上任意点到面以其上任意点到面 的距的距离都等于离都等于G到面到面 的距离，的距离，这样我们就可直接将这样我们就可直接将G点换为点换为点点 ，而由，而由EF平面平面 知，过知，过 的平面的平面 面面 且面且面 面面 = ，故仅需过，故仅需过 作作 于于M，即得，即得 面面 ，后在后在 中进行计算中进行计算即可。即可。11A B1D EF11A B1D EF1DEF11ADD A11ADD A1DEF11ADD A1DEF1D E1A M1D E1A M1DEF

5、11A D ERt1A点面距离615. 如图所示，已知如图所示，已知ABCD是矩形，是矩形，AB=a，AD=b，PA平面平面ABCD，PA=2c，Q是是PA的中点的中点.求：求：(1)Q到到BD的距离；的距离；(2)P到平面到平面BQD的距离的距离.【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互【解题回顾】解答求距离的问题，注意距离之间的相互转化转化，有时能取得意想不到的效果，有时能取得意想不到的效果点面距离71法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面法二，依据面面垂直的判定，首先在已知平面内找一条线；后再内找一条线；后再作作与此线垂直且过已知点的垂与此线垂直且过已知点的垂面（如何作见下）；

6、再在此平面内向二者的交线面（如何作见下）；再在此平面内向二者的交线引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直引垂线，由面面垂直的性质可知，此垂线即垂直于已知平面，且垂足落在交线上。于已知平面，且垂足落在交线上。 借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。借助三垂线定理或三垂线定理的逆定理。例例3如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱 中，中， AB=2， =4，则点则点C到平面到平面 的距离的距离为？为？ 111ABCABC1CC1ABCHOCAB1A1C1B点面距离81利用等腰三角形或全等三角形。利用等腰三角形或全等三角形。例4如图，三棱锥P-ABC 中，PA=PB=CA=CB=6，AB=PC=4，求C

7、面PAB 的距离。OHPABC分析：等腰PAB与等腰CAB公用底边AB，故仅需取AB的中点O，连结PO、CO，即可得到AB面POC，又面PAB，面PAB面POC，过C作CHPO于H，则CH面PAB，后在等腰POC中计算出CH即可。点面距离91例5如图，正三棱锥P-ABC 中，侧棱长为6，底面边长为4，求C面PAB 的距离。EOPABC分析：PAB全等于PAC，过C作CEPA于E，连BE则BEPA，所以PA面BCE，又面PAB故面BCE面PAB，过C作COBE于O，则CO面PAB， 点面距离1012、依据其他。、依据其他。如依据射影长如依据射影长定理定理及外心的及外心的定义定义。HOCBA例例6

8、 如图，已知，在如图，已知，在ABC中中ABC= ，AB=6，BC=8，O到到ABC各顶点的距离都等于各顶点的距离都等于10，求点，求点O到这到这个三角形所在平面的距离。个三角形所在平面的距离。90解：设解：设H为点为点O在平面在平面ABC内的射影，内的射影，连接连接OH、AH、BH、CH，在在ABC中中ABC= ，AB=6，BC=8 AC=10OA=OB=OCHA=HB=HC即即H为为ABC的外心，的外心，H 为为AC中点，中点，AH=BH=CH=5OAH中中AHO= ，OA=10，AH=5OH=即点即点O到平面到平面ABC的距离为的距离为。909022221055 3O AAH=5 3点面

9、距离1113. ABC中，中，AB=9，AC=15，BAC=120，ABC所在平面外一点所在平面外一点P到三个顶点到三个顶点A、B、C的距离都是的距离都是14，那么点那么点P到平面到平面ABC的距离为的距离为( )(A)7 (B)9(C)11 (D)13HPCAB点面距离121如依据如依据结论结论 “从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线面内的射影是这个角的平分线所在直线”。例例7如图，斜三棱柱如图，斜三棱柱 的各条棱长均为的各条棱

10、长均为4， = = ，求斜三棱柱的体积。，求斜三棱柱的体积。111ABCA BC1A AC1A AB60DO1BACB1A1C点面距离131再如依据正棱锥的再如依据正棱锥的性质性质“正棱锥的顶点在底面内的射影为底正棱锥的顶点在底面内的射影为底面的中心面的中心”。例例8求侧棱和底面长均为求侧棱和底面长均为6的正四棱锥的高。的正四棱锥的高。OBDACP分析：过分析：过P作作PO面面ABCD于于O，则则PO即为高，即为高，O为底面的中心，为底面的中心，又底面为正方形，又底面为正方形，故后在故后在 POA中即可完成中即可完成相应计算。相应计算。123 222AOACAB=R t点面距离141二、比例、

11、平行线法二、比例、平行线法借助平行，进行比例转化，来求解距离。借助平行，进行比例转化，来求解距离。BDCBCBCAAA点面距离151例例10如图，已知等腰梯形如图，已知等腰梯形ABCD中，中，ADBC，ACBD=O，AD=5，BC=10。若。若BC 平面平面 ，点，点O到平到平面面 的距离为的距离为7，求，求AD到平面到平面 的距离。的距离。1O1DBCODA分析：分析：ADBC，则，则AD平面平面 ，要，要求求AD到平面到平面 的距离，只需求出直线的距离，只需求出直线AD上任一点到平面上任一点到平面 的距离。可过的距离。可过D作作 平面平面 于于 ， 平面平面 于于 ，则则B、 、 共线且共

12、线且 ，所，所以以 ，又，又 =7， 所以所以1DD1D1OO1O1D1O11OOBODDBD=1OO1DD1OO102,51BCBOADOD=1132122DDOO=点面距离1614. 已知如图，边长为已知如图，边长为a的菱形的菱形ABCD中，中，ABC=60，PC平面平面ABCD，E是是PA的中点，求的中点，求E到平面到平面PBC的距的距离离.点面距离171三、等积法。三、等积法。利用利用三棱锥的顶点可换性三棱锥的顶点可换性，借助体积公式求解，关键是三棱，借助体积公式求解，关键是三棱锥的某个底面的面积及其上的高可求。锥的某个底面的面积及其上的高可求。例例10如图，在棱长为如图，在棱长为4的正方体的正方体 中中M、N分分别是棱别是棱 的中点，求点的中点，求点B到平面到平面AMN的距离。的距离。1111ABCDA BC D1111,A B A D1BABCDNM1A1C1D分析：要求点分析：要求点B到平到平面