测量信号处理

1、主 要 内 容信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为信号是信息的载体和具体表现形式，信息需转化为传输媒质能够接受的信号形式方能传输。传输媒质能够接受的信号形式方能传输。广义的说，广义的说，信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中，才可能含有信息。中，才可能含有信息。l当信号是一确定的时间函数时，给定某一时当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值。这样的间值，就可以确定一相应的函数值。这样的信号称为确定信号。信号称为确定信号。l随机信号不是确定的时间函数，只知道该信随机信号不是确定的时间函数，只知道该信号取某一数

2、值的概率。号取某一数值的概率。l带有信息的信号往往具有不可预知的不确定带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性，是一种随机信号。性，是一种随机信号。l除实验室发生的有规律的信号外，通常的信除实验室发生的有规律的信号外，通常的信号都是随机的，因为确定信号对受信者不可号都是随机的，因为确定信号对受信者不可能载有信息。能载有信息。l如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，此信号称为连续信号。l和连续信号相对应的是离散信号。代表离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值。l一般而言，模拟信号是连续的（时间和幅值都是连续的），数字信号是离散的f(t)

3、0t0tf(t)f0f1f201234-1tf(tk)(3)(2)(4.5)(1.5)(6)(-1)l用确定的时间函数表示的信号，可以分为用确定的时间函数表示的信号，可以分为周期信号和非周期信号。周期信号和非周期信号。l当且仅当当且仅当 则信号则信号f(t)f(t)是周期信号，式中常数是周期信号，式中常数T T 是信号是信号的周期。换言之，周期信号是每隔固定的的周期。换言之，周期信号是每隔固定的时间又重现本身的信号，该固定的时间间时间又重现本身的信号，该固定的时间间隔称为周期。隔称为周期。l非周期信号无此固定时间长度的循环周期。非周期信号无此固定时间长度的循环周期。)(tfTtft严格数学意义

4、上的周期信号，是无始无终地重复着某一变化规律的信号。实际应用中，周期信号只是指在较长时间内按照某一规律重复变化的信号。实际上周期信号与非周期信号之间没有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期T 无限增大时，则此信号就转化为非周期信号f(t)。即lim( )( )TTftf tl表示信号的时间函数，包含了信号的全部信息量，信号的特性首先表现为它的时间特性。l时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅度变化的特性。 同一形状的波形重复出现的周期长短 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度）l以时间函数描述信号的图象称为时域图，在时域上分析信号称为时域分析。l信号还

5、具有频率特性，可用信号的频谱函数来表示。在频谱函数中，也包含了信号的全部信息量。l频谱函数表征信号的各频率成分，以及各频率成分的振幅和相位。 频谱：对于一个复杂信号，可用傅立叶分析将它分解为许多不同频率的正弦分量，而每一正弦分量则以它的振幅和相位来表征。将各正弦分量的振幅与相位分别按频率高低次序排列成频谱。 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限，但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率范围称为该信号的频带。l以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为频域分析。时域和频域 信号的频谱函数和信号的时间函数既然都包含

6、了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点,那么，信号的时间特性与频率特性必然具有密切联系。 例：周期性脉冲信号的重复周期的倒数就是该信号的基波频率，周期的大或小分别对应着低的或高的基波和谐波频率； 信号分析中将进一步揭示两者的关系。不同频率信号的时域图和频域图不同频率信号的时域图和频域图l信号还可以用它的能量特点加以区分。 在一定的时间间隔内，把信号施加在一负载上，负载上就消耗一定的信号能量。 把该能量值对于时间间隔取平均，得到该时间内信号的平均功率。 如果时间间隔趋于无穷大，将产生两种情况。l信号总能量为有限值而信号平均功率为零，称为能量信号；考察信号能量在时域和频域中的表达式，非周期的单脉

7、冲信号就是常见的能量信号；信号平均功率为大于零的有限值而信号总能量为无穷大，称为功率信号，考察信号功率在时域和频域中的表达式。周期信号就是常见的功率信号。dttfETT2/2/2| )(|dttfTPTTT2/2/2| )(|1lim 时域分析信号时域分析（线性系统叠加原理）卷积积分的应用及其数学描述 频域分析周期信号的频域分析(三角与指数傅立叶级数）非周期信号的频域分析（傅立叶积分）信号在频域与时域之间的变换（正反傅立叶变换式）频谱与时间函数的关系 系统的输入信号称为激励，输出称为响应 激励与响应都是时间的函数 激励函数s(t) 响应函数r(t) 系统对单位激励的的响应称为冲激响应函数h(t

8、) 对激励的响应是激励函数与系统冲激响对激励的响应是激励函数与系统冲激响应函数的应函数的卷积卷积 利用线性系统的叠加原理，把复杂的激励在时域中分解成一系列单位激励信号，然后分别计算各单位激励通过通信系统的响应，最后在输出端叠加而得到总的响应。 图2-4是时域分析法示意图。其中 (a)表示将激励函数分解为若干个脉冲函数，第k个脉冲函数值为s(kt) (b)表示系统对第k个脉冲的冲激响应，该响应的数值是 (c) 是系统对于(a)所示的激励函数的总响应，可近似地看作是各脉冲通过系统所产生的冲激响应的叠加。该总响应tkthttkstkr nktkthttkstr00000tttS(t)r(kt)r(t

9、)ktktkts(kt)r(kt)ttkstkthttks激励函数激励函数(输入输入信号信号)的分解的分解第第k个脉冲的个脉冲的冲激响应冲激响应(输输出信号出信号)波形波形冲激响应叠加冲激响应叠加后的总响应后的总响应(输输出信号出信号)波形波形第第k个脉冲函数之面积个脉冲函数之面积（当（当t 0，脉冲函数脉冲函数可近似表示为冲激函数）可近似表示为冲激函数）系统对第系统对第k个冲激函数个冲激函数的冲激响应函数的冲激响应函数 式中h(t)是单位冲激函数(t)对应的响应，称为单位冲激响应函数。 单位冲激函数(t) 也称狄拉克函数或函数，其定义是：在t0时，函数值均为0；在t=0处，函数值为无穷大，而

10、脉冲面积为1，即 当t无限趋小而成为d时，上式中不连续变量kt成了连续变量，对各项求和就成了求积分。于是有 这种叠加积分称为卷积积分卷积积分。 0t0,t0t1,dtt dthstrt0 考察信号考察信号 式中式中1 1=2=2f f1 1。1 1称为称为基波频率基波频率，简称基频，简称基频，1 1的倍数称为的倍数称为谐波谐波。 该信号的波形图和其频谱图见下图。该信号的波形图和其频谱图见下图。 对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分，对于周期信号而言，其频谱由离散的频率成分，即基波与谐波构成。图中，每一条谱线代表一个即基波与谐波构成。图中，每一条谱线代表一个正弦分量，谱线的位置代表这一正弦分

11、量的角频正弦分量，谱线的位置代表这一正弦分量的角频率，谱线的高度代表该正弦分量的振幅。信号率，谱线的高度代表该正弦分量的振幅。信号f f( (t t) )的成分正好是角频率为的成分正好是角频率为1 1、331 1 、551 1和和771 1的正弦波。的正弦波。 tttttf11117sin715sin513sin31sin 狄利希莱条件 要将一周期信号分解为谐波分量，代表这一周期信号的函数f(t)应当满足下列条件： 在一周期内，函数是绝对可积的，即在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；应为有限值； 在一周期内，函数的极值数目为有限；在一周期内，函数的极值数目为有限； 在一周期内，函数在

12、一周期内，函数f(t)或者或者为连续的，或者具有有限为连续的，或者具有有限个这样的间断点，即当个这样的间断点，即当t从较大的时间值和较小的时从较大的时间值和较小的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的有限的函数值。函数值。 测试技术中的周期信号，大都满足该条件。 dttfTtt|11 根据傅立叶变换原理，通常任何信号都可表示成各种频率成分的正弦波之和。 对于任何一个周期为T、且定义在区间（- T/2, T/2）内的周期信号f(t)，都可以用上述区间内的三角傅立叶级数表示： a0是频率为零的直流分量（如图），式中系数值为 傅立叶级数的这种形式称为

13、三角函数展开式或称正弦-余弦表示，是用正交函数集来表示周期信号的一种常用方法。 1110)sincos(nnntnbtnaatf tdtntfTbtdtntfTadttfTaTTnTTnTT12/2/12/2/2/2/0sin2cos210110022( )cos()tannnnnnnnnnf tAAntAaAabba 式中：An-，n-分别称为幅值谱和相位谱，统称为频谱。带有直流分量的信号带有直流分量的信号 指数傅立叶级数指数傅立叶级数 用正交函数集来表示周期信号另一种更常用的方法是傅立叶级数的指数表示法，称为指数傅立叶级数。 三角傅立叶级数与指数傅立叶级数并不是两种不同类型的级数，而只是同

14、一级数的两种不同的表示方法。指数级数形式比三角级数形式更简化更便于计算。 根据欧拉公式111111cossin1cos21sin2j tjntjntjntjntetjtnteejntee0002211(),()221122nnnnnnnnnnnCaACajbCajbCCAab 1/2/21,0, 1, 2,.TjntnTCf t edt nT 1jntnnf tC e 对于定义于区间（-，+）上的非周期函数，也能分解成许多正弦波的叠加。（也要满足狄利希莱条件） 如果在表示周期信号f(t)的傅立叶级数中令周期T，则在整个时间内表示f(t)的傅立叶级数也能在整个时间内表示非周期信号。f (t)的指

15、数傅立叶级数可写为 式中Cn是复数振幅，将其代入f(t),得到 1jntnnftC e 1/ 2/ 21TjntnTCftedtTtjnnTTtjnedtetfTtf112/2/)(1)( 当T 增加时，基频1变小，频谱线变密，且各分量的振幅也减小，但频谱的形状不变。在T的极限情况下，每个频率分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱变成了连续频谱。这时，f(t)已不是n1的离散函数，而是的连续函数。 以上过程可以用计算式说明。由于相邻频率分量间隔为=(=(n n+1)+1)1 1- -nn1 1=1 1 周期T 可写为 于是，有221TtjnnTTtjnedtetftf112/2/

16、)(21)( 当T 时，求和变成了取积分，变成d d ，n1用表示。因此有 式中方括号是原函数f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数，它具有单位频带振幅的量纲，记作F() 。即 将原函数写成 这就是非周期信号f(t)的傅立叶积分表示式，它与周期信号的傅立叶级数相当。 和傅立叶级数中的复数振幅相当，是无穷小量，频谱密度函数反映了各分量振幅间的相对比例关系。dedtetftftjtj)(21)(deFtftj21)(dtetfFtj)()()F jd 通过非周期信号的频谱分析得知，时域上的原函数中含有包含全部信息量的频谱函数，而频谱函数中也含有原函数。因此我们可以在时域与频域之间对信号进行相互变换。

17、 这种变换通过称之为傅立叶变换式的公式来实现。即我们前面已经推导出的一对傅立叶积分表示式： 前者称为傅立叶正变换式，它将时域内t t 的函数变换为频域内的函数；后者称为傅立叶逆变换式或反变换式，可把的函数变换为t t 的函数。 傅立叶变换式简记为 deFtftj21)(dtetfFtj)()( Ftf 傅立叶变换可将时域上较复杂的运算简化为相对简单的频域运算。 作为时域上卷积积分例子的函数r(t)对应的频域函数为 上式即卷积定理卷积定理，激励s(t)通过频率特性为H()的系统时，响应r(t)的频谱函数R()等于s(t)的频谱函数S() 和H()的乘积运算。 ( )()j tj tj tj tR

18、r t edtsh tdt edsh tedt dseH jdSH 通过时域与频谱分析的讨论，可总结为两个关系式 R() = S() H()r(t) = s(t)*h(t) 其中 两个关系式的意义是：两个频谱相乘，其乘积的时间函两个频谱相乘，其乘积的时间函数就是相应的两个时间函数相卷积。数就是相应的两个时间函数相卷积。反之，两个时间函两个时间函数相卷积，其频谱就是相应的两个频谱相乘数相卷积，其频谱就是相应的两个频谱相乘。 从滤波角度看，该两关系式的意义是：滤波可以两种方式实现。一是在频域上实现，将频谱H()与 S() 相乘得到R()，再由R()作傅立叶反变换得到r(t)。 二是在时域上直接实现

19、，将时间函数h(t) 与s(t) 相卷积得到r(t)。 s th tsh td几种典型信号的傅立叶变换几种典型信号的傅立叶变换 数字信号中典型的波形是矩形窗函数（矩形脉冲函数）。矩形脉冲g(t)及其对应的频域函数为G()分别如图和下面两式： 其它02/2/tAtg 22/2/222sin/2/22sinsinsin,j tj tjjAGg t edtA edtA eeAA Sincxc xx（ ）称为抽样函数 (t)函数的性质函数的性质：1.抽样性抽样性00( ) ( )( ) (0)(0)() ( )( )t x t dtt xdtxttx t dtx t2. 单位脉冲函数的积分等于阶跃函数

20、单位脉冲函数的积分等于阶跃函数( )( )tt dtu t 函数与其他函数的卷积函数与其他函数的卷积 ( ) t( )( )( ) ()( ) ()( )( )()( ) ()()f ttftdf tt dtf tf ttTftTdf tT 4. 函数的频谱函数的频谱( ) t 对于一个矩形脉冲信号，其能量主要集中在频谱中零频率到第一个过零点之间( ) ，所含能量达到信号全部能量的90%以上，故可将其定义为矩形脉冲信号的有效带宽。 一般而言，任何一个有限时间的信号之频谱宽度是无限的。然而，信号的大部分功率实际上只集中在某个有限的频谱宽度内。所谓信号的有效带宽就是指包含信号大部分功率的这部分频谱

21、的宽度。见图。 为了精确地说明以上概念，需要定义信号的功率谱密度2信号的能量谱与功率谱信号的能量谱与功率谱 除时域和频域的关系外，时间信号的另一个重要特征是能量和功率随时间分布的关系，即能量谱密度和功率谱密度。 信号f(t)在1电阻上所消耗的能量定义为信号的归一化能量，简称能量，表示为 只有在上式给出的积分值为有限时信号能量的概念才有意义。 当信号能量趋于于无穷大时，存在其平均功率，简称功率，即 上式可理解为信号f(t)在1电阻上所消耗的平均功率。该平均功率也就是f(t)的均方值，记作 。dttfE)(2dttfTPTTT2/2/2)(1lim tf2 信号的能量谱与功率谱信号的能量谱与功率谱

22、 帕什瓦尔定理 若f(t)为能量信号，且其傅立叶变换为F()，则有如下关系： 若f(t)为周期性功率信号，则有： 式中，T 为信号f(t)的周期，Fn为f(t)的傅立叶级数系数。 dFdttf22|21 22/2/2|1nnTTFdttfT前式说明时域内能量信号的总能量等于频时域内能量信号的总能量等于频域内各个频率分量能量的连续和域内各个频率分量能量的连续和。后式说明周期信号的功率等于该信号在完周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。备正交函数集中各分量功率之和。 设能量以E表示，功率以P表示，如果在频域内有 则称E()为能量谱密度函数， P()为功率谱密度函数。能量谱密度和

23、功率谱密度简称能量谱和功率谱。 能量谱的单位为J/Hz，功率谱的单位为W/Hz。 对于能量信号f(t)，其能量谱E()当然一定存在，将前式与帕什瓦尔定理前式对照，可得 由于 ，故能量谱是的一个实偶函数，此时信号能量E可简化为 dffPdPPdffEdEE2121 2|FE 22| FF dffEdEE0021信号的能量谱与功率谱信号的能量谱与功率谱对于功率信号，由于它的能量无穷大，所以只能用功率参数来描述。下图中非周期的功率信号f(t)，对其只保留| t |T/2的部分，该部分称为截断函数fT(t)，因为T为有限值，所以 fT(t)只具有有限能量。 假定fT(t) 的傅立叶变换为FT()，那么

24、fT(t)的能量ET为为上式称为雷利定理，它同时可表示为所以f(t)的平均功率为 dttfTtfPTTT2/2/22)(1lim dfFdFdttfETTTT222|21| dttfdttfTTT2/2/22| dfTFdTFdttfTPTTTTTTT222/2/2|lim|lim21| )(|1lim信号的能量谱与功率谱信号的能量谱与功率谱当T 增加时， fT(t)的能量也增加。因为f(t)是功率信号，所以上式的极限存在 。当T时， |FT()|2/ T趋于一极限值，定义此极限值为功率谱密度这样，功率P可表示为由本页第一式可知，功率谱是的偶函数。所以P可简化为由此可见，功率谱具有明显的物理意义：在以在以为中心的为中心的单位频谱宽度内，信号单位频谱宽度内，信号f f( (t t) )的频率分量对功率的贡献的频率分量对功率的贡献。功率谱只与功率信号频谱的模值有关，而与相位无关。凡具有相同幅度频谱特性的信号，不管相位频谱特性如何，都具有相同的功率谱。 TFPTT2|lim dffPdPdttfTtfPTTT21)(1lim2/2/22 dffPdP