高中数学 3-1-3 空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1

1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律量积概念、性质和计算方法及运算规律掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题中一些简单的问题3.1.3 空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算【课标要求课标要求】【核心扫描核心扫描】空间向量的数量积运算空间向量的数量积运算(重点重点) )利用空间向量的数量积求夹角及距离利用空间向量的数量积求夹角及距离( (难点难点) )空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律(易错点易错点) )12

2、1231空间向量的夹角空间向量的夹角自学导引自学导引定义定义记法记法_范围范围_当当a，b 时，时，_a，b0，ab想一想想一想：a，b与与b，a相等吗？相等吗？a，b与与a，b呢？呢？提示提示a，bb，a，a，ba，b空间向量的数量积空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量定义：已知两个非零向量a，b，则，则|a|b|cos a，b叫做叫做a，b的数量积，记作的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律数量积的运算律2数乘向量与向量数乘向量与向量数量积的结合律数量积的结合律(a)b_交换律交换律ab_分配律分配律a(bc)_(ab)baabac(3)数量积的性质数量积的性质两个两个向量向量数

3、量数量积的积的性质性质(1)若若a，b是非零向量，则是非零向量，则abab0.(2)若若a与与b同向，则同向，则ab|a|b|；若反向，则若反向，则ab|a|b|.特别地：特别地：aa|a|2或或|a|(3)若若为为a，b的夹角，则的夹角，则cos .(4)|ab|a|b|.想一想：想一想：类比平面向量，你能说出类比平面向量，你能说出ab的几何意义吗的几何意义吗？提示提示数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos 的乘积的乘积空间向量夹角的理解空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同任意两个空间向量均是共面的

4、，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即两平面向量夹角范围一样，即0，；名师点睛名师点睛平面向量与空间向量数量积的关系平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同都与平面向量相同12空间向量数量积的应用空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体由于空间向量的数量

5、积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助于向量的数量积运算解决都可借助于向量的数量积运算解决(2)abab0，用于判断两个向量的垂直，用于判断两个向量的垂直(3)|a|2aa，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度段的长度3注意注意：数量积运算不满足消去律数量积运算不满足消去律若若a，b，c(b0)为实数，则为实数，则abbcac；但对于向量就；但对于向量就不正确，即不正确，即abbc(b0)/ ac.数量积运算不满足结合律数量积运算不满足结合律数

6、量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于不一定等于a(bc)这是由于这是由于(ab)c表示一个与表示一个与c共线的向量，而共线的向量，而a(bc)表示一个与表示一个与a共线共线的向量，而的向量，而c与与a不一定共线不一定共线题型一题型一利用数量积求夹角利用数量积求夹角 如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求，求OA与与BC所成角所成角的余弦值的余弦值【例例1】规律方法规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直

7、线所成在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题需注意的是：转化角的问题可转化为两向量的夹角问题需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补前后的两个角的关系可能相等也可能互补 如图所示，已知如图所示，已知S是边长为是边长为1的正三的正三角形角形ABC所在平面外一点，且所在平面外一点，且SASBSC1，M、N分别是分别是AB、SC的中点，求的中点，求异面直线异面直线SM与与BN所成角的余弦值所成角的余弦值【变式变式1】 如图所示，平行六面体如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求，求

8、AC1的长的长题型题型二二利用数量积求两点间的距离利用数量积求两点间的距离【例例2】如图，已知线段如图，已知线段AB平面平面，BC，CDBC，DF平面平面，且，且DCF30，D与与A在在的同侧，若的同侧，若ABBCCD2，求，求A，D两点间的距离两点间的距离【变式变式2】 (12分分)已知空间四边形已知空间四边形OABC中，中，AOBBOCAOC，且，且OAOBOC，M、N分别是分别是OA、BC的中的中点，点，G是是MN的中点求证：的中点求证：OGBC.题型题型三三利用数量积证明垂直关系利用数量积证明垂直关系【例例3】如图所示，正四面体如图所示，正四面体ABCD的每的每条棱长都等于条棱长都等于a，点，点M，N分别是分别是AB，CD的中点，求证：的中点，求证：MNAB，MNCD.【变式变式3】 把空间向量转化为平面向量，把立体几何问题转化把空间向量转化为平面向量，把立体几何问题转化为向量问题来解决是转化与化归思想在本节中的应用为向量问题来解决是转化与化归思想在本节中的应用 如图所示，在如图所示，在 ABCD中，中，AD4，CD3，ADC60，PA平面平面ABCD，PA6，求线段，求线段PC的长的长 方法技巧转化与化归思想在立