面积矩与形心位置

1、61 面积矩与形心位置面积矩与形心位置62 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩63 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理第六章 截面的几何性质64 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩6-1 6-1 面积矩与形心位置面积矩与形心位置一、面积（对轴）矩：（于力矩类似）是面积与它到轴的距离之积。PnPnWMGIMANmaxmaxmaxmax ; ; ydAdSx xdAdSy AAyyAAxxxdAdSSydAdSS二、形心：（等厚均质板的质心与形心重二、形心：（等厚均质板的质心与形心重合。）合。）)

2、(AAyyAAxxiiii正正负负面面积积法法公公式式累累加加式式 : iixiiyyAyASxAxASy x ASAy d AAtd Ay tmy dmASAx d AAt d Ax tmx dmxAAmyAAmr rr rr r r r :质心质心等厚等厚均质均质等厚等厚均质均质xy等于形心坐标等于形心坐标212121AAAxAxAAxxii 例 I-1-1 是确定下图的形心。xy解 ： 组合图形，用正负面积法解之。1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）3 .201080110101101035 7 .341080110101101060 yC1（0，0）C2（-35，60）图（a）

3、C2C1C12、用负面积法求解，图形分割及坐标如图（b）3 .201107080120)11070(5 图（b）负面积C2xyC1C1（0，0）C2（5，5）212121AAAxAxAAxxii 6-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩惯性矩、惯性积、极惯性矩一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方之积。之积。 AyAxdAxIdAyI22二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。yxAPIIdAI 2r r三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 AxyxydAI！如

4、果！如果 x 或或 y 是对称轴，则，是对称轴，则，Ix y =06-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理惯性矩和惯性积的平行移轴定理一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） ccybyxax以形心为原点，建立与原坐标轴平行以形心为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图的坐标轴如图0 cxcyASAbIIx cx2 a b x cy cC Axd AyI2 Acd Aby2)( Accd Abbyy)2(22Abb SIx cx c22 AbIIx cx2 AaIIy cy2 a b AIIx c y cx y AbaIIP cP2)( 注

5、注意意! C点点必必须须为为形形心心例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.解 ：求解此题有两种方法：一是安定义直接积分；二是用平行移轴定理等知识求。B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx d6454644442dddAdIIxAB xyxPIII dI2 32 4 圆xyO6-4 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理* 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 cosysinxysinycosxx11一、一、 惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理x1y1y1x1)2sin2c o s2(2 1 x yyxyxxIIIIII yx

6、yxIIII11)2sin2cos2(21xyyxyxyIIIIII)2cos2sin2(11xyyxyxIIII二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有02220000 )cosIsinII(Ixyyxyx 与 0 对应的旋转轴x 0 y 0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。ycxcxcycIIItg 220 2222 00 xyyxyxyxI)II(IIII 主主惯惯性性矩矩：2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩y cx cx c y cIIIt g22022)2

7、(2 0 0 x c y cy cx cy cx cy cx cIIIIIII形心主惯性矩：3、求截面形心主惯性矩的方法、求截面形心主惯性矩的方法、建立坐标系。、建立坐标系。、计算面积和面积矩、计算面积和面积矩、求形心位置。、求形心位置。、建立形心坐标系；求：、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ， Ixcyc ，、求形心主轴方向、求形心主轴方向 0 、求形心主惯性矩求形心主惯性矩 AAyASyAAxASxiixiiy2222 00 xcycycxcycxcycxcI)II(IIII ycxcxcycIIItg 220 例6-4-1 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)xyO解 ： 、建立坐标系如图。 、求形心位置。求形心位置。 、建立形心坐标系；求：Iyc ， Ixc ， I x c y c d.ddddAAyyAAAxxiiii1770434200222 x cy c)yd.(AIyAIIIIxxxcxcxc21250 圆圆圆圆矩矩矩矩圆圆矩矩4224223685017705046417