时间序列计量模型

1、第第1章章 时间序列模型时间序列模型 1.1 时间序列的基本概念时间序列的基本概念 1.1.1.时间序列数据的平稳性时间序列数据的平稳性 随机变量是刻画随机现象的有力工具。随机变量是刻画随机现象的有力工具。随机变量的动态变化过程称为随机过程。随机变量的动态变化过程称为随机过程。一般地，对于每一特定的一般地，对于每一特定的t（tT），），Yt为为一随机变量，称这一族随机变量一随机变量，称这一族随机变量Yt为一个为一个随机过程。若随机过程。若T为一连续区间，则为一连续区间，则Yt为连为连续型随机过程。续型随机过程。 若若T为离散集合，则为离散集合，则Yt为离散型随为离散型随机过程。机过程。 离散型

2、时间指标集的随机过程通常离散型时间指标集的随机过程通常称为随机型时间序列，简称为时间序称为随机型时间序列，简称为时间序列。列。 经济分析中常用的时间序列数据都经济分析中常用的时间序列数据都是经济变量随机序列的一个实现。是经济变量随机序列的一个实现。 时间序列的平稳性（时间序列的平稳性（stationary process）是时间序列经济计量分析中）是时间序列经济计量分析中的非常重要问题。时间序列的平稳性是的非常重要问题。时间序列的平稳性是指时间序列的统计规律不会随着时间的指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。就是说产生变量时间推移而发生变化。就是说产生变量时间序列数据的随机过程的特

3、征不随时间变序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。化而变化。 用平稳时间序列进行计量分析，估用平稳时间序列进行计量分析，估计方法和假设检验才有效。计方法和假设检验才有效。 GDP的时间序列 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y818547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74462.6 一个平稳的时间序列过程的概率分布与时间的位移无关。如果从序列中任意取一组随机变量并把这个序列向前移动h个时间，其联合概率分布保持不变。这就是严格平稳的

4、含义，其严格定义如下: 平稳随机过程：对一个随过程平稳随机过程：对一个随过程Yt:t=1,2, h为整数，如为整数，如 的联合分布与的联合分布与 的联合分布的联合分布相同，那么随机过程相同，那么随机过程Yt就是平稳的。就是平稳的。tmttYYY,21htmhthtYYY,21 平稳性的特征就是要求所有时间相平稳性的特征就是要求所有时间相邻项之间的相关关系具有相同的性质。邻项之间的相关关系具有相同的性质。判断一个时间序列数据是否产生于一个判断一个时间序列数据是否产生于一个平稳过程是很困难的。通常而言，时间平稳过程是很困难的。通常而言，时间序列数据是弱平稳的就足够了。因此，序列数据是弱平稳的就足够

5、了。因此，弱平稳是时间序列分析中的常用平稳性弱平稳是时间序列分析中的常用平稳性概念。概念。 弱平稳也称为协方差平稳过程。 弱平稳是指随机过程Yt的均值和方差不随时间的推移而变化，并且任何两时期之间的协方差仅依赖于该两时期的间隔，而与t无关。即随机过程Yt满足(1)均值 ，为与时间t 无关的常数。(2)方差 为与时间t无关的常数。(3)协方差 ，只与时间间隔h有关，与时间t无关。 则称Yt为弱平稳过程。在时间序列计量分析中，平稳过程通常指的是弱平稳。)(tYE22 ,)(tYVarhhttYYCov),( 如果一个时间序列是不平稳的，就称它为非平稳时间序列。也就是说，时间序列的统计规律随时间的推

6、动而发生变化。此时，要通过回归分析研究某个变量在跨时间区域的对一个或多变量的依赖关系就是困难的，也就是说当时间序列为非平稳时，就无法知道一个变量的变化如何影响另一个变量。 在时间序列计量分析实践中，时间序列的在时间序列计量分析实践中，时间序列的平稳性是根本性前提，因此，在进经济计平稳性是根本性前提，因此，在进经济计量分析前，必须对时间序列数据进行平稳量分析前，必须对时间序列数据进行平稳性检验。性检验。 1.1.2平稳性的单位根检验平稳性的单位根检验 时间序列的平稳性可通过图形和自相关函数进行检验。在现代，单位根检验方法为时间序列平稳性检验的最常用方法。 1.单位根检验（unit root te

7、st） 时间序列中往往存在滞后效应，即前后变量彼此相关。对于时间序列Yt而言，最典型的状况就是一阶自回归形式AR（1），即Yt与Yt-1 相关，而与Yt-2 , Yt-3 ，无关。其表达式为 （1.1） 其中，vt为经典误差项，也称之为白噪声。tttvYY1 如果式（1.1）中=1，则 （1.2） 式（1.2）中Yt称为随机游走序列。随机游走序列的特征为: Yt以前一期的Yt-1为基础，加上一个均值为零且独立于Yt-1的随机变量。随机游走的名字正是来源于它的这个特征。 tttvYY1 对式（1.2）进行反复迭代，可得 （1.3） 对式（1.3）取期望可得 （1.4） 随机游走时间序列的期望值与

8、t无关。011YvvvYttt1 t),( )()()()()(0011YEYEvEvEvEYEttt 假定Y0非随机，则 ，因此 （1.5） 式（1.5）表明随机游走序列的方差是时间 t 的线性函数，说明随机游走过程是非平稳的。tvVarvVarvVarYVarvttt211 )()()()(0)(0YVar 表达时间序列前后期关系的最一般模型为m阶自回归模型AR（m）。 (1.6) 引入滞后算子L， （1.7）tmtmtttvYYYY2211mttmttttYYLYYLYLY,221 则式(1.6) 变换为 （1.8） 记为 则称多项式方程 为AR（m）的特征方程。可以证明，如果该特征方程

9、的所有根在单位圆外（根的模大于1），则AR（m）模型是平稳的。212(1)mmttLLL Yv0)1 ()(221mmZZZZ)1 ()(221mmLLLL 对于AR（1）过程。 （1.9） vt为经典误差项，如果1，则Yt有一个单位根，称Yt为单位根过程，序列Yt是非平稳的。因此，要判断某时间序列是否平稳可通过判断它是否存在单位根，这就是时间序列平稳性的单位根检验。tttvYY1 检验一个时间序列Yt的平稳性，可通过检验一阶自回归模型中的参数是否小于1。或者检验另一种表达形式 （1.10） 中参数是否小于0。 式（1.9）中的参数=1时，时间序列Yt是非平稳的。式（1.10）中，=0时，时间

10、序列Yt是非平稳的。t1 - t1vY ) 1(tttvYY 2.DF检验 要检验时间序列的平稳性，可通过t检验完成假设检验。即对于下式 （1.11） 要检验该序列是否含有单位根。设定原假设为:=1，则 t 统计量为 （1.12）tttvYY1) (1Set 但是，在原假设下（序列非平稳），t 不服从传统的 t 分布，因此 t 检验方法就不再适用。Dickey和Fuller于1976年提出了这一情况下 t 统计量服从的分布（此时表示为?统计量），即DF分布，因此该检验方法称为DF检验。 该方法采用OLS法估计式（1.11），计算 t 统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较。如果

11、 t 统计量的值小于临界值（左尾单侧检验），就意味着足够小，拒绝原假设:=1，判别时间序列Yt不存在单位根，是平稳的。 Dickey和Fuller研究认为DF检验的临界值与数据序列的生成过程以及回归模型的类型有关。因此，他们针对以下三种模型编制了DF分布表。 (1)一阶自回归模型 （1.13） （2）包含常数项的模型 （1.14） （3）包含常数项和时间趋势项的模型 （1.15） DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即tttvYY1tttvYY1tttvYtY1 DF检验常用的表达式为如下的差分表达式，即 （1.16） 令1，则 （1.17） 同理，可得另外两种模型为 （1.18） （1.

12、19）1(1)tttYYv1tttYYv1tttYYv1tttYtYv 对于式（1.17）、（1.18）、（1.19）而言，对应的原假设和备择假设为 （非平稳） （平稳） DF检验的判别规则是：DF临界值，则Yt非平稳，Dp时， 。偏自相关函数在滞后期p以后具有截尾特性，因此可以用此特性识别AR(p)过程的阶数。对于AR(1)过程，当k1时， ，当k1时， 。所以AR(1)过程的偏自相关函数特征是在k1时出现峰值（ ），然后截尾。0kk0kk0kk110111 在实际识别时，由于样本偏自相关函数是总体偏自相关函数 的一个估计，因为样本波动，当kp时， 不会全为0，而是在0的左右波动。可以证明，

13、当kp时， 服从渐近正态分布： N(0,1/n), n为样本容量。如果样本偏自回归函数 满足 ,就可以以95.5的置信水平判断该时间序列在kp后截尾。kkkkkkkkkk2kkn3.MA(q)过程的识别(1) 用自相关函数ACF识别 对于MA(1)过程 （1.40）有 当k0时 当k1时 11tttYvv1111()()kttt kt kE uuuu 11221111212221t-11() =E(u )tttttttE u uuu uu u 1222201111121()(1)tttttttE uu uu uu u 当k1时 因此，MA(1)过程的自相关函数为 （1.41） 由式（1.41）

14、可以看出，MA(1)过程的自相关函数具有截尾特征。当k1时， 。 0k12011, k=0, k=11+0, k1kk0k 同理，MA(q)过程的自相关函数也具有截尾特征。当kq时，自相关函数呈衰减特征。当kq时，自相关函数为0，具有截尾特征。 在实际识别时，由于样本自相关函数 是总体自相关函数 的一个估计，因为样本波动，当kp时， 不会全为0，而是在0的左右波动。可以证明，当kp时， 服从渐近正态分布： N(0,1/n),n为样本容量。如果样本自回归函数 满足 ,就可以以95.5的置信水平判断该时间序列在kp后截尾。kkkkkk2kn (2)用偏自相关函数PACF识别 MA(1)过程可以表达

15、为关于无穷序列 的线性组合，即 （1.42） 这是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但确趋于0，因此MA(1)偏自相关函数是拖尾但却趋于0. 12,tttY YY212212 ttttttttvYYYYYYv或 在式（1.42）中， 只有时才有意义，否则就表示距离越远的Y值对的影响越大，这是不符合常理的。所以， 是MA(1)的可逆性条件（invertibility condition）或可逆性。11 因为任何一个可逆的MA(q)过程都可以转换成一个无限阶的、系数按几何级数衰减的AR过程，所以MA(q)过程的偏自相关函数呈缓慢衰减特征，称为拖尾特征。 MA(1)过程的偏自相关函数呈指数衰减

16、特征。若 10 , 偏自相关函数呈交替改变符号式衰减；若 10 ，偏自相关函数呈正弦衰减特征（拖尾特征）。4.ARMA(p,q)过程的识别 ARMA(p,q)的自相关函数可以视为AR(p)的自相关函数和MA(q)的自相关函数的混合物。当p0时，它具有截尾性质，当q0时，它具有拖尾性质，当p,q都不为0时，它具有拖尾性质。 对于ARMA(1,1)过程，自相关函数从 开始衰减。 的大小取决于 1 和 1 。若 10 ，指数衰减是平滑的，或正或负。若10 ，自相关函数为正负交替式指数衰减。对于高阶的ARMA过程，自相关函数的表现形式比较复杂，有可能呈指数衰减、正弦衰减或二者的混合衰减。11 ARMA

17、(p,q)过程的偏自相关函数也是无限延长的，其表现形式与MA(q)过程的偏自相关函数类似。据模型中移动平均分量的阶数q和参数 的不同，偏自相关函数呈指数衰减和正弦衰减混合形式。(1,2, )iiq 对于时间序列数据，自相关函数通常是未知的。相关图是对自相关函数的估计。因为MA过程和ARMA过程中MA分量的自相关函数具有截尾特性，所以可以利用相关图估计MA过程的阶数q。相关图是识别MA过程和ARMA过程中MA分量阶数的重要方法。 对于时间序列数据，偏自相关函数通常是未知的。偏相关图是对偏自相关函数的估计。因为AR过程和ARMA过程中AR分量的偏自相关函数具有截尾特性，所以可以利用偏相关图估计自回

18、归过程的阶数p。偏相关图是识别AR过程和ARMA过程中AR分量阶数的重要方法。1.3.3随机时间序列模型的建立随机时间序列模型的建立 对于时间序列模型，完成了平稳性检验和模型识别后就可以估计模型参数建立计量模型。时间序列模型的建立主要有以下三个步骤。 第一步，进行模型识别。 第二步，模型参数的估计。 对AR(p)模型的估计较简单。因为滞后变量都是t期以前的，这些滞后变量与误差项相互独立，所以可以使用普通最小二乘法估计模型参数，得到具有一致性的估计量。 对于MA(q)和ARMA(p,q)模型的估计就比较困难。不能简单的用最小二乘法估计参数，一般应该采用迭代式的非线性最小二乘法，这些方法在流行的经

19、济计量分析软件中的广泛使用。 完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的模型是否正确。若不合适，应该知道下一步怎样修改。 这一阶段主要检验拟合的模型是否正确。一是检验估计值是否具有统计显著性；二是检验残差序列的随机性。 参数估计值的显著性检验是通过t统计量完成的，而模型拟合的优劣以及残差序列随机性的判别是用伯克斯-皮尔斯（Box-Pierce,1970）提出的Q统计量完成的。 若拟合模型的误差项为白噪声过程，统计量221(2)()KkkrQT TKpqTK 渐近服从 分布，其中T表示样本容量，rk表示用残差序列计算的自相关系数值，K表示自相关系数的个数或最大滞后期

20、，p表示模型自回归部分的最大滞后值，q表示移动平均部分的最大滞后值。 这时的原假设为（模型的误差序列是白噪声过程）。2()Kpq012:kHL 用残差序列计算自相关系数估计值，进而计算Q统计量的值。若拟合的模型不正确，残差序列中必含有其他成分，Q值将很大。反之，Q值将很小。判别规则是： 若 ，则接受H0。 若 ，则拒绝H0。 其中表示检验水平。2()QKpq2()QKpqEViews操作：1.进入方程对话框，输入自回归模型估计命令 D(Y) c AR(1)2.如果有移动平均项，用MA（q）表示。3.点View键，选Residual Tests,Correlogram-Q-statistics,

21、指定滞后期，得到残差序列的相关和偏相关图。4.点击估计结果窗口的Forcast键，进行预测。自相关图判断：平稳序列：自相关系数很快（滞后阶数大于2或3）趋于0，即落入随机区间。非平稳序列：自相关系数很慢趋于0。白噪声序列：自相关系数都落入随机区间。1.4 协整与误差修正模型协整与误差修正模型 1.4.1协整的概念协整的概念 协整（Cointegration）的概念是由恩格尔和格兰杰（Engle and Granger）于1987年正式指出，这个概念的提出使得非零阶单整变量的回归也变得有意义。 经济系统中的某些变量具有长期依存关系，经济学中称其为均衡关系，这种均衡关系的存在是经济计量等建模的依据

22、。 这种均衡关系的存在表示经济系统中形成均衡的机制是稳定的，当因为季节影响或随机干扰这些变量偏离其均衡点时，均衡机制会在下一期进行调整使其重新回到均衡状态。但是，如果这种偏离是持久的，则变量之间的均衡机制是不稳定的，均衡关系已遭到破坏。协整就是这种均衡关系的统计表示。 协整概念的提出使得我们能研究两个或多个变量之间的均衡关系。对于每个单独的序列而言可能是非平稳的，但是这些时间序列的线性组合却可能是平稳的。 协整：时间序列Xt，Yt是两个I（1）过程，如果存在使得Yt-Xt成为I（0）过程，则称Xt和Yt是协整的。其实，协整就是指多个非平稳时间序列的某种线性组合是平稳的。 协整的定义告诉我们，只

23、有两个变量都是单整变量，并且它们的单整阶数相同时，才能协整，如果它们的单整阶数不同，就不可能协整。 协整的经济定义在于：具有各自长期波动规律的两个时间序列，如果它们是协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的协整关系。从变量之间的协整关系出发建立经济计量模型是牢固可靠的，可以避免出现伪回归。因此，协整检验是经济计量分析建模的根本所在。 1.4.2 协整的检验协整的检验 协整检验从检验对象上可以分为两类，一类是基于回归残差的协整检验，这种检验也称为单一方程的协整检验。另一类是基于回归系数的协整检验。这里，我们只考虑单一方程的协整检验。 1.两变量的恩格尔格兰杰检验 这种协整检验方法就是对回归方程的残

24、差进行单位根检验。从协整的思想来看，两变量之间具有协整关系就是具有长期均衡关系。因此，被解释变量不能由解释变量解释的部分即残差序列应该是平稳的。如果残差是平稳的，说明两变量之间的线性组合是平稳的，则变量之间具有协整关系。 恩格尔格兰杰检验法也称为EG两步法，其检验程序如下。 第一步，如果Xt,Yt均为d阶单整序列，用OLS法估计回归方程（协整回归） (1.22) 得到残差tttuXY)(tttXYe 第二步，检验 的平稳性。如果 为平稳序列，则Xt与Yt是协整的，否则不是协整的。如果Xt与Yt不是协整的，则它们的任一线性组都是非平稳的，因此残差 也是非平稳的。通过对残差 的平稳性检验，就可判断

25、Xt与Yt之间是否存在协整关系。 tetetete 检验的平稳性的方法可使用前面介绍的DF检验或ADF检验。这里的DF或ADF检验是针对协整回归计算出的残差项进行的，并不是针对非均衡误差进行的，对于平稳性检验的DF与ADF临界值比正常的DF与ADF临界值要小。麦克金农（Mackinnon,1991）通过模拟试验给出了协整检验的临界值。 【例8.3】 中国城镇居民家庭人均可支配收入与消费支出的协整检验。 由前面的检验结果可知，居民家庭人均实际消费支出Y与实际可支配收入X均为二阶单整的。Y对X进行协整回归可得 (8.23) t (17.480) (128.318) DW=2.001XY704. 0

26、496.150 对该模型的残差进行ADF检验，结果统计量为-3.712，5显著性水平临界值为-2.918。检验结果表明ADF检验的统计量小于临界值，因此拒绝原假设，残差序列不存在单位根，为平稳序列。因此，居民家庭人均实际消费支出Y与实际可支配收入X均为（2，2）阶协整的，两变量之间存在长期的稳定均衡关系。 2.多变量协整关系检验 对多个变量间的协整关系的检验要比双变量协整关系检验复杂。因为对于多变量而言，可能存在多种稳定的线性组合，也就是存在多个协整关系。 多变量协整检验与双变量协整检验的原理是相同的，就是判断是否有稳定的线性组合。检验的步骤如下： 第一步，对于k+1个同阶单整序列，建立回归方

27、程 (1.24) 用OLS法估计该模型，得到残差为 (1.25)tktktttuXXXY22110)(22110ktkttttXXXYe 第二步，检验残差序列 是否平稳 如果通过变换各种线性组合（即用不同的变量为被解释变量），都不能得到平稳的残差序列，则认为这些变量之间不存在协整关系。te 三、误差修正模型 误差修正模型最早是由Sarger(1964)提出的，误差修正模型的基本形成是在1978年由Davidson、Hendry、Srba和Yeo提出的，因此又称为DHSY模型。变量之间存在协整关系说明变量间存在长期稳定的均衡关系，这种长期稳定的均衡关系是在短期动态过程的不断波动下形成的。 变量间长期均衡关系的存在是因为存在一种调节机制，即误差修正机制使得长期关系的偏差被控制在一定范围内。任何一组协整时间序列变量都存在误差修正机制，反映短期调节行为。 对于具有协整关系序列,，其误差修正模型为 (1.26) 其中，ecm表示误差修正项。一般情况下01。 ecm的修正原理如下：若t-1时刻Y大于其长期均衡值，ecm为正，则-ecm为负，使得Y减少；若t-1时刻Y小于其长期均衡