2021年高考数学(文)一轮复习讲义第3章32导数与函数的单调性

1、§3.2导数与函数的单调性最新考纲考情考向分析了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).考查函数的单调性，利用函数的单调性求参数范围；强化分类讨论思想；题型以解答题为主，一般难度较大.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf (x)在区间(a，b)上可导f(x)>0f (x)在(a，b)内单调递增f(x)<0f (x)在(a，b)内单调递减f(x)0f (x)在(a，b)内是常数函数概念方法微思考“f (x)在区间(a，b)上是增函数，那么f(x)>

2、0在(a，b)上恒成立，这种说法是否正确提示不正确，正确的说法是：可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零题组一思考辨析1判断以下结论是否正确(请在括号中打“或“×)(1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f(x)0，那么f (x)在此区间内没有单调性()(2)如果函数f (x)在某个区间内恒有f(x)0，那么f (x)在此区间内单调递增(×)(3)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有有限个，那么f

3、0;(x)在(a，b)内是减函数()题组二教材改编2.如图是函数yf (x)的导函数yf(x)的图象，那么以下判断正确的选项是()A在区间(2,1)上f (x)是增函数B在区间(1,3)上f (x)是减函数C在区间(4,5)上f (x)是增函数D在区间(3,5)上f (x)是增函数答案C解析在(4,5)上f(x)>0恒成立，f (x)是增函数3函数f (x)cosxx在(0，)上的单调性是()A先增后减B先减后增C增函数D减函数答案D解析因为在(0，)上恒有f(x)sinx1<0.所以f (x)在(0，

4、)上是减函数，应选D.4函数f (x)exx的单调递增区间是_，单调递减区间是_答案(0，)(，0)解析由f(x)ex1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，)；由f(x)<0，解得x<0，故其单调递减区间为(，0)题组三易错自纠5假设函数f (x)x3x2ax4的单调减区间为1,4，那么实数a的值为_答案4解析f(x)x23xa，且f (x)的单调减区间为1,4，f(x)x23xa0的解集为1,4，1,4是方程f(x)0的两根，那么a(1)×44.6函数f (x)x2(xa)(1)假设f (x)在(2,3

5、)上单调，那么实数a的取值范围是_；(2)假设f (x)在(2,3)上不单调，那么实数a的取值范围是_答案(1)(，3(2)解析由f (x)x3ax2，得f(x)3x22ax3x.(1)令f(x)0，得x0或x，假设f (x)在(2,3)上单调递减，那么有3，解得a；假设f (x)在(2,3)上单调递增，那么有2，解得a3，所以假设f (x)在(2,3)上单调，实数a的取值范围是(，3.(2)假设f (x)在(2,3)上不单调，那么有可得3<a<.不含参函数的单调性1函数y4x2的单调递增区间为()A(0，) B.C(，1

6、) D.答案B解析由y4x2，得y8x(x0)，令y>0，即8x>0，解得x>，函数y4x2的单调递增区间为.应选B.2函数f (x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)>0，解得x>2，应选D.3函数f (x)xlnx，那么f (x)的单调递减区间是_答案解析因为函数f (x)xlnx的定义域为(0，)，所以f(x)lnx1(x>0)，当f(x)<0时，解得0<x<，即函数f 

7、(x)的单调递减区间为.4定义在区间(，)上的函数f (x)xsinxcosx，那么f (x)的单调递增区间是_答案和解析f(x)sinxxcosxsinxxcosx.令f(x)xcosx>0，那么其在区间(，)上的解集为，即f (x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)>0，解集在定义域内的局部为单调递增区间(4)解不等式f(x)<0，解集在定义域内的局部为单调递减区间含参数的函数的单调性例1函数f (x)ax2(a1)xlnx，a>0

8、，试讨论函数yf (x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).当0<a<1时，>1，x(0,1)和时，f(x)>0；x时，f(x)<0，函数f (x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；当a1时，1，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f (x)在(0，)上单调递增；当a>1时，0<<1，x和(1，)时，f(x)>0；x时，f(x)<0，函数f (x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0<a<1时，函数f (x)在(0,1)和上单调递增，在上单

9、调递减；当a1时，函数f (x)在(0，)上单调递增；当a>1时，函数f (x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减假设将本例中参数a的范围改为aR，其他条件不变，试讨论f (x)的单调性解a>0时，讨论同上；当a0时，ax1<0，x(0,1)时，f(x)>0；x(1，)时，f(x)<0，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减综上，当a0时，函数f (x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0<a<1时，函数f (x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减；当a

10、1时，函数f (x)在(0，)上单调递增；当a>1时，函数f (x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点跟踪训练1(2022·重庆一中模拟)函数f (x)x3ax2b(a，bR)，试讨论f (x)的单调性解f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f (x)在(，)上单调递增；当a>0时，x(0，)时，f(x)

11、>0，x时，f(x)<0，所以函数f (x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，x(，0)时，f(x)>0，x时，f(x)<0，所以函数f (x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f (x)在R上单调递增；当a>0时，f (x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a<0时，f (x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2(1)函数f (x)xsinx，xR，那么f，f (1)，f的大小关系为()Af>

12、;f (1)>fBf (1)>f>fCf>f (1)>fDf>f>f (1)答案A解析因为f (x)xsin x，所以f (x)(x)·sin(x)xsin xf (x)，所以函数f (x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x>0，所以函数f (x)在上是增函数，所以f<f (1)<f，即f>f (1)>f，应选A.(2)定义域为R的偶函数f (x)的导函数为f(x)，当

13、x<0时，xf(x)f (x)<0.假设a，b，c，那么a，b，c的大小关系是()Ab<a<cBa<c<bCa<b<cDc<a<b答案D解析设g(x)，那么g(x)，又当x<0时，xf(x)f (x)<0，所以g(x)<0，即函数g(x)在区间(，0)内单调递减因为f (x)为R上的偶函数，所以g(x)为(，0)(0，)上的奇函数，所以函数g(x)在区间(0，)内单调递减由0<ln2<e<3，可得g(3)<g(e)<g(ln2)，即c<a<b，应

14、选D.命题点2根据函数单调性求参数例3函数f (x)lnxax22x(a0)在1,4上单调递减，求a的取值范围解因为f (x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立设G(x)，x1,4，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例中，假设f (x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解因为f (x)在1,4上存在单调递减区间，那么f(x)<0在1,4上有解，所以当x1,4时，a>有解，又当x1,4时，min1

15、(此时x1)，所以a>1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)本例中，假设f (x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为f (x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，f(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf (x)在(a，b)上单调，那么区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f (x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)且在(a，b)内的任一非

16、空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否那么会漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2(1)函数f (x)x32xex，其中e是自然对数的底数，假设f (a1)f (2a2)0，那么实数a的取值范围是_答案解析由f (x)x32xex，得f (x)x32xexf (x)，所以f (x)是R上的奇函数，又f(x)3x22ex3x2223x2，当且仅当x0时取等号，所以f(x)0，所以f (x)在其定义域内单调递增，所以不等式f (a1)f (2

17、a2)0f (a1)f (2a2)f (2a2)a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.(2)(2022·安徽毛坦厂中学模拟)函数f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不单调，那么实数t的取值范围是_答案(0,1)解析函数f (x)x23x4lnx(x>0)，f(x)x3，函数f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不单调，f(x)x3在(t，t1)上有变号零点，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0

18、,1)1当x>0时，f (x)x的单调递减区间是()A(2，) B(0,2)C(，) D(0，)答案B解析由f(x)1<0，又x>0，x(0,2)应选B.2函数yxcosxsinx在下面哪个区间上是增函数()A.B(，2)C.D(2，3)答案B解析yxsinx，经验证，只有在(，2)内y>0恒成立，yxcosxsinx在(，2)上是增函数3函数f (x)lnxax(a>0)的单调递增区间为()A.B.C.D(，a)答案A解析由f(x)a>0，x>0，得0<x<.f (x)的单调递增区间为.4如果函数f 

19、;(x)的导函数f(x)的图象如下列图，那么函数f (x)的图象最有可能的是()答案A5.在R上可导的函数f (x)的图象如下列图，那么关于x的不等式xf(x)<0的解集为()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(1,2)D(，2)(2，)答案A解析在(，1)和(1，)上，f (x)单调递增，所以f(x)>0，使xf(x)<0的范围为(，1)；在(1,1)上，f (x)单调递减，所以f(x)<0，使xf(x)<0的范围为(0,1)综上，关于x的不等式xf(x)<0的解集为(，1)(0,1)6f 

20、;(x)，那么()Af (2)>f (e)>f (3) Bf (3)>f (e)>f (2)Cf (3)>f (2)>f (e) Df (e)>f (3)>f (2)答案D解析f (x)的定义域是(0，)，f(x)，当x(0，e)时，f(x)>0，当x(e，)时，f(x)<0，故xe时，f (x)maxf (e)，又f (2)，f (3)，那么f (e)&g

21、t;f (3)>f (2)7函数f (x)kx33(k1)x2k21(k>0)(1)假设f (x)的单调递减区间是(0,4)，那么实数k的值为_；(2)假设f (x)在(0,4)上为减函数，那么实数k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)f(x)3kx26(k1)x，由题意知f(4)0，解得k.(2)由f(x)3kx26(k1)x0(k>0)，并结合导函数的图象可知，必有4，解得k，故0<k.8(2022·西安八校联考)函数f (x)在定义域R内可导，假设f (x)f (2x)，

22、且(x1)f(x)<0，假设af (0)，bf，cf (3)，那么a，b，c的大小关系是_答案b>a>c解析由可得f (x)的图象关于直线x1对称，且f (x)在(，1)上是增函数，a<b，又f (3)f (1)，a>c，b>a>c.9假设函数f (x)x3x22ax在上存在单调递增区间，那么a的取值范围是_答案解析对f (x)求导，得f(x)x2x2a22a.由题意知，f(x)>0在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a>0，解得a>，所以a的

23、取值范围是.10奇函数f (x)在区间(0，)上满足：xf(x)f (x)>0，且f (1)0，那么不等式xf (x)<0的解集为_答案(1,0)(0,1)解析由题意可令h(x)xf (x)，那么h(x)为偶函数当x>0时，h(x)xf(x)f (x)>0，那么h(x)为增函数，xf (x)<0等价于h(x)<0h(1)，即h(|x|)<h(1)，于是|x|<1，所以1<x<1，而h(0)0，故不等式的解集为(1,0)(0,1)11函数f (x)(k为常数

24、)，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f (x)的单调区间解(1)f(x)(x>0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x>0)设h(x)lnx1(x>0)，那么h(x)<0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f(x)<0.综上，f (x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，)12讨论函数f (x)(a1)lnxa

25、x21的单调性解f (x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a1时，f(x)>0，故f (x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)<0，故f (x)在(0，)上单调递减；当0<a<1时，令f(x)0，解得x，那么当x时，f(x)<0；当x时，f(x)>0，故f (x)在上单调递减，在上单调递增综上，当a1时，f (x)在(0，)上单调递增；当a0时，f (x)在(0，)上单调递减；当0<a<1时，f (x)在上单调递减，在上单调递增13(2022·安徽毛坦厂中

26、学模拟)函数f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不单调，那么实数t的取值范围是_答案(0,1)解析函数f (x)x23x4lnx(x>0)，f(x)x3，函数f (x)x23x4lnx在(t，t1)上不单调，f(x)x3在(t，t1)上有变号零点，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)14函数f (x)(xR)满足f (1)1，f (x)的导数f(x)<，那么不等式f (x2)<的解集为_答案x|x<1或x>1解析设F(x)f (x)x，F(x)f(x)，f(x)<，F(x)f(x)<0，即函数F(x)在R上单调递减f (x2)<，f (x2)<f (1)，F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，x2>1，即不等式的解集为x|x<1或x>115定义在区间(0，)上的函数yf (x)使