二次型的分类

1、二次型的分类二次型的分类第一页，共16页。2022-3-242 定义定义 如果对于任意的非零向量如果对于任意的非零向量X=(x1,x2,.,xn)T, 恒有恒有110nnTijijija x xX AX 就称XTAX为正定二次型, 称A为正定矩阵. 222164zyxf 为正定二次型22213xxf 为负定二次型例如第二页，共16页。2022-3-243取取yi=1, yj=0(j i), 代入二次型代入二次型, 得得f(0,.,0,1,0,.,0)=di 0, 与二次型与二次型f(y1,y2,.,yn)正定矛盾正定矛盾 正定的充分必要条件是di0 (i=1,2,.,n). (1)充分性：(2

2、)必要性（反证法）, 设di0,222221121),(nnnydydydyyyf二次型根据定义可得结论:(i)使使设设可可逆逆变变换换Cyx .ydCyfxfinii21 第三页，共16页。2022-3-244(ii) 一个二次型一个二次型XTAX, 经过非退化线性变换经过非退化线性变换X=CY, 化为化为YT(CTAC)Y, 其正定性保持不变其正定性保持不变, 即当即当 XTAX=YT(CTAC)Y (C可逆可逆) 时时,等式两端的二次型有相同的正定性等式两端的二次型有相同的正定性. 这是这是.0)(,. 0,),(,),(,:000000000)0()0(2)0(10为正定二次型即对于任

3、意的则正定若相对应的所以与可逆由于即对于任意的因为AXXYACCYYAXXAXXXYCCYXyyyYTTTTTTn0000第四页，共16页。2022-3-245由上述两个结论可见由上述两个结论可见: 一个二次型一个二次型XTAX(或实对称矩阵或实对称矩阵A), 通过非退化线性通过非退化线性变换变换X=CY, 将其化成标准型将其化成标准型(或规范形或规范形)21()nTTiiiYC AC Yd y(或将A合同于对角阵, 即CTAC=L), 就容易判别其正定性.第五页，共16页。2022-3-246 ( ) 00.Tf XX AXXf XA （1）称二次型是， 如果对于任意有此时称对称矩阵 为正正

4、定二次型定矩阵。 ( ) 0.Tf XX AXf XA （2）称二次型是， 如果对于任意X有此时称对称矩阵 为半半正定二次型正定矩阵。 ( ) 00.Tf XX AXXf XA （3）称二次型是， 如果对于任意有此时称对称矩阵 为负负定二次型定矩阵。第六页，共16页。2022-3-247理理 若若A是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵, 则下列命题等价则下列命题等价: (i) XTAX是正定二次型是正定二次型(或或A是正定矩阵是正定矩阵); (ii) A的正惯性指数为的正惯性指数为n, 即即A I; (iii) 存在可逆阵存在可逆阵P, 使得使得A=PTP; (iv) A的的n个特征值个特征值l l

5、1,l l2,.,l ln全大于零全大于零. 证 (i)(ii) 对于A, 存在可逆阵C使得CTAC=diag(d1,d2,.,dn). 令X=CY就有 XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+.+dnyn2 如有一个di0, 则上式必不恒大于零, 与命题(i) 矛盾, 故A的正惯性指数为n, 从而AI.第七页，共16页。2022-3-248(ii)(iii) 由CTAC=I(C可逆), 得 A=(CT)1C1=(C1)TC1, 取P=C1, 则有A=PTP.(ii)(iii) 设AX=lX, 即(PTP)X=lX, 于是便有 XTPTPX=lXTX, 即 (PX,PX)=l(X

6、,X). 由于特征向量X0, 从而PX0, 故A的特征值(,)0.(,)PX PXX Xl(iv)(i) 对于n阶实对称矩阵A, 存在正交阵Q, 使得 QTAQ=diag(l1,l2,.,ln), 作正交变换X=QY, 得 XTAX=l1y12+l2y22+.+lnyn2. 已知特征值l1,l2,.,ln都大于零, 故XTAX正定第八页，共16页。2022-3-249()Tf XXAXnfn 二次型为负定的充分必要条件是：它的标准形的 个系数全为负，即 的负惯性指标为 。推论()Tf XXAXA 二次型为负定的充分必要条件是：对称矩阵 的特征值全都小于零。()Tf XXAXA 二次型为半正定的

7、充分必要条件是：对称矩阵 的全部特征值非负。第九页，共16页。2022-3-2410定理定义设n阶方阵ij n nAa （ ）我们把n个行列式111Aa111222122aaAaa1111nnnnnaaAaa()Tf XX AXA 二次型为正定的充分必要条件是：对称矩阵的所有顺序主子式为正。都叫做矩阵的顺序主子式。推论()Tf XX AXA 二次型为负定的充分必要条件是：对称矩阵的所有奇数阶顺序主子式为负，所有偶数阶顺序主子式为正。第十页，共16页。2022-3-2411AA 对称矩阵 为半正定的充分必要条件是：的所有主子式非负。定义 如果方阵A的某一子式的主对角线完全位于A 的主对角线上，就

8、称该子式为的主子式。定理第十一页，共16页。正定矩阵具有以下一些简单性质;,A, . 1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA., . 2 矩阵矩阵也是正定也是正定则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若BAnBA 第十二页，共16页。例 判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定.解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故上述二次型是正定的.第十三页，共16页。例 判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定.解二次型的矩阵为,502040202 A用特征值判别法.0 AIl l令令. 6, 4, 1321 l ll ll l故此二次型为正定二次型.即知 是正定矩阵，A第十四页，共16页。例 判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性.解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.13为负定为负定知知根据定理根据定理f,402062225 A第十五页，共16页。2022-3-241622211 21 322 336222222fxx xx xxx xx例 、判断的类型f 对应的矩阵是