自动控制原理第七章z变换

1、线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正第七章第七章栗忍栗忍 83#D10383#D103p在线性连续系统中，连续时间函数在线性连续系统中，连续时间函数f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s);F(s);同样同样在线性在线性离散系统离散系统中，也可以对中，也可以对采样信号采样信号f f* *(t)(t)作拉氏变换作拉氏变换。课前复习课前复习- z- z变换的定义变换的定义采样信号采样信号f f* *(t)(t)拉氏变换拉氏变换TSez 0kkF zf kT z *0kTSkL ftFsf kT e 栗忍栗忍 83#D10383#D103课前复习课前复习-z -z变换的级数求和法

2、变换的级数求和法z z变换变换的级数求和法的级数求和法 0kkF zf kT z 1230023kkF zf kT zff T zfT zfT z例例 求指数函数求指数函数f f（t t）的）的z z变换变换000)(ttetfat栗忍栗忍 83#D10383#D103 1230023kkF zf kT zff T zfT zfT z0,1,2,kekTfakT)(aT1aT33aT22aT1aT0kkakTatezzze11zezeze1zeeZzF)(解：解：课前复习课前复习- -级数求和法级数求和法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1 z7.1 z变换与反变换变换与反变换 z z

3、变换部分分式法变换部分分式法 z z变换留数法变换留数法 z z变换性质变换性质 z z反变换方法反变换方法（部分分式、幂级数法、留数法）（部分分式、幂级数法、留数法）栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.27.1.2、 z z变换变换- -部分分式法部分分式法p设连续信号设连续信号f(t)f(t)没有直接给出，但给出了没有直接给出，但给出了f(t)f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)F(s)，求它所对应的求它所对应的z z变换式变换式F(z)F(z)。首先为了进行拉氏变换，将首先为了进行拉氏变换，将F(s)F(s)写成部分分式之和的形式，即写成部分分式之和的形式，即：niiiss

4、AsF1)(式中，式中，n n为为F(s)F(s)的极点数目；的极点数目；A Ai i为常数，为常数，S Si i为为F(s)F(s)的极点。的极点。然后，由拉氏反变换得出然后，由拉氏反变换得出f(t)f(t)为为nitsiieAtf1)( 0kkF zf kT z栗忍栗忍 83#D10383#D103nitsiieAtf1)(对上式中的每一项，都可以利用指数函数的对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z z变换直接写变换直接写出它所对应的出它所对应的z z变换式，这样就得到了变换式，这样就得到了F(z)F(z)如下：如下：aTatezzeZzF)(niTsiiezzAzF1)(指数函数指数函

5、数z z变换变换niiissAsF1)(7.1.27.1.2、 z z变换变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函数例：已知函数f(t)f(t)的拉氏变换如下式所示，求的拉氏变换如下式所示，求f(t)f(t)的的z z变换。变换。niTsiiezzAzF1)()()(assasFaT-aT-2-aTaT-eze1ze1zezz1zzzF)()()(assassasF11)()(解：解：由由可得可得7.1.27.1.2、 z z变换变换- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函数例：已知函数f(t)f(

6、t)的拉氏变换如下式所示，求的拉氏变换如下式所示，求f(t) )的的z z变换。变换。解：解：22)(asasFjasjjasjasasF2/12/1)(2221111cos21sin11211121)(zaTzaTzzejzejzFjaTjaTsincosiei7.1.27.1.2、 z z变换变换- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函数例：已知函数f(t)f(t)的拉氏变换如下式所示，求的拉氏变换如下式所示，求f(t) )的的z z变换。变换。解：解：) 1(1)(2sssF1) 1(1)(32212sAsAsAsssF1)(02

7、1ssFsA1) 1(1)(02022ssssFsdsdA1)() 1(13ssFsA1111)(2ssssF12121112111)1 ()1 () 1(1111)1 ()(zezzTeezeTzezzTzzFTTTTT7.1.27.1.2、 z z变换变换- -部分分式法部分分式法niiissAsF1)(栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.37.1.3、 z z变换变换- -留数法留数法p若已知连续函数若已知连续函数f(t)f(t)的拉氏变换式的拉氏变换式F(s)F(s)及全部极点及全部极点s si i，则，则f(t)f(t)的的z z变换可用留数计算法求取，即：变换可用留数计算

8、法求取，即：iiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsFssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(栗忍栗忍 83#D10383#D103式中式中 ， 为为F(s)F(s)的的n n1 1个单极点；个单极点；), 2 , 1(1nisi), 2, 1(11nnnisi 为为F(s)F(s)的的n-nn-n1 1个重极点个重极点； 为重极点为重极点 的阶数；的阶数；T T为采样周期；为采样周期；iris sRe 为极点为极点 处的留数。处的留数。iss iiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsF

9、ssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(7.1.37.1.3、 z z变换变换- -留数法留数法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函数例：已知函数f(t)f(t)的拉氏变换如下式所示，求的拉氏变换如下式所示，求f(t)f(t)的的z z变换。变换。)()(assasFassTssTassTisssTnizeassaaszeassaszeassaszesFszFi101, 01211111)()(11)(11)(Re11)(Re)()1)(1 ()1 (111111111zezzezezaTaTaT解：解：7.1.37.1.3、

10、 z z变换变换- -留数法留数法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函数例：已知函数f(t)f(t)的拉氏变换如下式所示，求的拉氏变换如下式所示，求f(t)f(t)的的z z变换。变换。解：解：22)(asasFisssTnizesFszF1111)(Re)(jassTizeasas1222111Re21111)cos2(1)(sin11211121zzaTzaTzejzejjaTjaTjassTjassTzeasajaszeasajas12212211)(11)(7.1.37.1.3、 z z变换变换- -留数法留数法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知函数例：已知函数

11、f(t)f(t)的拉氏变换如下式所示，求的拉氏变换如下式所示，求f(t)f(t)的的z z变换。变换。解：解：2)(1)(assF2112111221211111)(1)()!12(111)(1Re11)(Re)(zezTezezTezeasasdsdzeasszesFszFaTaTassTsTassTassTsssTi7.1.37.1.3、 z z变换变换- -留数法留数法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.37.1.3、 z z变换变换)(t)(1 tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT32)1(2)1(

12、zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.47.1.4、 z z变换性质变换性质1 1 线性定理线性定理)()(zFtfZ若若)()(zGtgZ)()()(tgtftx)()()(zGzFzX相加与相乘相加与相乘乘以乘以 后的后的z z变换？变换？k)()(1zFkfZk)()()()(1010zFzkfzkfkfZkkkkkk证明证明： 0kkF zf kT z栗忍栗忍 83#D10383#D1032. 2.实数平移定理（位移定理）实数平移定理（位移定理）0)(0)()()(knknkk

13、znTkTfzznTkTfnTtfZ证明：证明：)()(zFznTtfZn10)()()(nkknzkTfzFznTtfZnkm令令)()()(zFzzmTfznTtfZnnmmn滞后滞后超前超前 0kkF zf kT z7.1.47.1.4、 z z变换性质变换性质栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z例：求例：求 、 、 和和 的的z z变换。变换。) 1( kf)2( kf)(nkf)(nkf 是向左移了是向左移了n n个采样周期的序列（时间个采样周期的序列（时间超前超前）)(nkf)(nkf)0()()1(zfzzFkfZ) 1 ()0()()2(22zffz

14、zFzkfZ) 1()2() 1 ()0()()(21nzffzfzfzzFznkfZnnnn)()(zFznkfZn 是向右移了是向右移了n n个采样周期的序列（时间个采样周期的序列（时间滞后滞后）7.1.47.1.4、 z z变换性质变换性质栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z3. 3.复数平移定理复数平移定理)()(zFtfZ证明：证明：)()()()(00aTkkaTkkakTatzeFzekTfzekTftfeZ)()(aTatzeFtfeZ7.1.47.1.4、 z z变换性质变换性质栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z 例例

15、 ：求：求 的的z z变换。变换。atte 211)1 (zTztZ211)1 (zezTeteZaTaTat7.1.47.1.4、 z z变换性质变换性质栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z4. 4.初值定理初值定理)()(zFtfZ存在)(limzFz)(lim)0(zFfz5. 5.终值定理终值定理)()1 (lim)(lim)(11zFzkffzk 假设当假设当k0k0时时f(k)=0f(k)=0，它的，它的z z变换变换F(z)F(z)的所有极点都在的所有极点都在单位圆内，可能的例外是在单位圆上单位圆内，可能的例外是在单位圆上z=1z=1处有单极点。处有单

16、极点。7.1.47.1.4、 z z变换性质变换性质栗忍栗忍 83#D10383#D103 0kkF zf kT z例：如果例：如果 的的z z变换由下式给出，试确定其初始值变换由下式给出，试确定其初始值f(0)f(0)。)(tf)1)(1 ()1 ()(111zezzezFTT0)1)(1 ()1 (lim)(lim)0(111zezzezFfTTzz例：用终值定理确定下式的终值例：用终值定理确定下式的终值f( f( ) )。111111)(zezzFT1)111lim)1111)(1 (lim)()1 (lim)(111111111zezzezzzFzfTzTzz7.1.47.1.4、 z

17、 z变换性质变换性质栗忍栗忍 83#D10383#D103小结小结-z -z变换方法与性质变换方法与性质niTsiiezzAzF1)()()()(zGzFzX)()(aTatzeFtfeZ)(lim)0(zFfz)()1(lim)(11zFzfz栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.57.1.5、z z反变换反变换p z z变换在离散控制系统中所起的作用与拉氏变换在变换在离散控制系统中所起的作用与拉氏变换在连续控制相同中所起的作用是同样的。连续控制相同中所起的作用是同样的。z z反变换的符号为反变换的符号为 。F(z)F(z)的的z z反变换产生相应的时间序列反变换产生相应的时间序列f

18、(k)f(k)。p注意：由注意：由z z反变换获得的仅是在采样瞬时的时间序反变换获得的仅是在采样瞬时的时间序列。因而，列。因而，F(z)F(z)的的z z反变换获得的仅是单值的反变换获得的仅是单值的f(k)f(k)，而，而不是单值的不是单值的f(t)f(t)。1Z栗忍栗忍 83#D10383#D103Z Z反变换的方法反变换的方法栗忍栗忍 83#D10383#D103首先，对首先，对F(z)F(z)的分母多项式进行因式分解，并求其极点：的分母多项式进行因式分解，并求其极点：nmazazazbzbzbzbzFnnnnmmmm1111110)()()()(211110nmmmmpzpzpzbzbz

19、bzbzFp注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数的极点或零点。的极点或零点。7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103p当当F(z)F(z)的极点全部是低阶极点，并且至少有一个零点的极点全部是低阶极点，并且至少有一个零点是在坐标原点（即是在坐标原点（即bm=0bm=0）时，一般采用的反变换求）时，一般采用的反变换求解步骤是，用解步骤是，用z z去除去除F(z)F(z)表达式的两端，然

20、后将表达式的两端，然后将F(z)/zF(z)/z展开成部分分式。展开后的展开成部分分式。展开后的F(z)/zF(z)/z，将是下列形式，将是下列形式nnpzapzapzazzF2211)(ipziizzFpza)(单极点单极点7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103p若若F(z)/zF(z)/z有多重极点，例如，在有多重极点，例如，在 处有二重极点处有二重极点且无其他极点，那么且无其他极点，那么F(z)/zF(z)/z将有如下形式：将有如下形式：12211)(pzcpzczzF1)(211pzzzFpzc二重极点二重极点1)(21

21、2pzzzFpzdzdc1pz 7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：试求例：试求F(z)F(z)反变换反变换f(k)f(k)。)2 . 0)(1(10)(zzzzF2 . 05 .1215 .12)(zzzzF112 . 011115 .12)(zzzF11111zZkzZ2 . 02 . 01111, 2 , 1 , 02 . 015 .12)(kkfk0)0(f10) 1 (f12)2(f4 .12) 3(f48.12)4(f解：解：7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D1

22、0383#D103例：已知例：已知z z变换变换)(1()1 ()(aTaTezzzezF式中，式中，a a为常数，且为常数，且T T为采样周期，试用部分分式展开法为采样周期，试用部分分式展开法求解它的求解它的z z反变换反变换f(kT)f(kT)。aTezzzzF111)(111111)(zezzFaT11111zZakTaTezeZ1111, 2 , 1 , 01)(kekTfakT解：解：7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：已知例：已知z z变换变换2)2(2)(zzzzF求解它的求解它的z z反变换反变换f(kT)

23、f(kT)。12112211121)(zzzzzzzzF注意：在注意：在z=0z=0处，处，F(z)F(z)有双重极点。有双重极点。00, 3 , 2 , 12211111kkzzZk7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D1032121kzZ1111kzZ, 5 , 4 , 32002210121010100000)(11kkkkkfkk, 5 , 4 , 321 , 0210)(1kkkkfk7.1.57.1.5、z z反变换反变换- -部分分式法部分分式法栗忍栗忍 83#D10383#D1037.1.67.1.6、z z反变换反变

24、换- -幂级数法幂级数法p把把F(z)F(z)展开成展开成z z-1 -1的无穷幂级数，以获取的无穷幂级数，以获取z z反变换。反变换。特点：在确定特点：在确定z z反变换闭合表达式较困难的场合，反变换闭合表达式较困难的场合，以及以及只求取只求取f(k)f(k)的前几项的前几项时，直接除法是很有效的。时，直接除法是很有效的。kkkzkTfzTfzTffzkTfzF)()2()()0()()(210例：试求例：试求F(z)F(z)反变换反变换f(k)f(k)，k=0,1,2,3,4k=0,1,2,3,4)2 . 0)(1(510)(zzzzF栗忍栗忍 83#D10383#D103)2 . 0)(

25、1(510)(zzzzF21212 . 02 . 11510)(zzzzzF将将F(z)F(z)写成的写成的 多项式之比多项式之比1z21510 zz212 . 02 . 11zz32121210zzz432168.184 .181710zzzz32217 zz4324 . 34 .2017zzz434 . 34 .18zz54368. 308.224 .18zzz5468. 368.18zz654736. 3416.2268.18zzz7.1.67.1.6、z z反变换反变换- -幂级数法幂级数法栗忍栗忍 83#D10383#D103432168.184 .181710)(zzzzzF0)0

26、(f10) 1 (f17)2(f4 .18) 3(f68.18)4(fp由上例可见，如果仅仅希望求取序列的前几项，由上例可见，如果仅仅希望求取序列的前几项，直接除法可用手算来实现。直接除法一般不产生直接除法可用手算来实现。直接除法一般不产生f(k)f(k)的闭合表达式。的闭合表达式。7.1.67.1.6、z z反变换反变换- -幂级数法幂级数法栗忍栗忍 83#D10383#D103p若若f(t)f(t)的的z z变换为变换为F(z)F(z)，则，则nizzkkizzFsdzzzFjkTf111)(Re)(21)()5 . 0)(1(5 . 0)(zzzzFnizzkizzFskTf11)(Re

27、)(215 . 0, 1)5 . 0)(1(5 . 0Reizkzzzs5 . 01)5 . 0)(1(5 . 0)5 . 0()5 . 0)(1(5 . 0) 1(zkzkzzzzzzzzk5 . 01例：例：)(5 . 01)()()(*ttkTftfTkT7.1.67.1.6、z z反变换反变换- -幂级数法幂级数法栗忍栗忍 83#D10383#D103例：求例：求)()(2)(bzazzbazF的的z z反变换。反变换。nizzkizzFskTf11)(Re)(21,)()(2Reibazkbzazzbasbzkazkbzazzbabzbzazzbaaz)()(2)()()(2)()(2kkba )(2)()()(*tbatkTftfTkkT解：解：7.1.67.1.6、z z反