第五章 样本均值的区间估计

1、样本均值的抽样分布11.所有样本指标（如均值、比例、方差等）所形成的分布称为抽样分布2.是一种理论概率分布3.随机变量是 样本统计量样本均值, 样本比例等4.结果来自容量相同的所有可能样本抽样分布（概念要点）2样本均值的抽样分布（一个例子）3样本均值的抽样分布 （一个例子）3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n = 2 的样本（共16个）4样本均值的抽样分布 （一个例子）3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二

2、个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）5所有样本均值的均值和方差式中：式中：M为样本数目为样本数目比较及结论：比较及结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的样本均值的方差等于总体方差的1/n6样本均值的分布与总体分布的比较7样本均值的抽样分布与中心极限定理X8中心极限定理（图示）9样本方差的抽样分布10样本方差的分布11卡方 (c2) 分布 选择容量为选择容量为n 的的简单随机样本简单随机样本计算样本方差计算样本方差S2计算卡方值计算卡方值c c2 = (n-1)S2/2计算出所有的计算出所有的c c 2值

3、值总体总体21211niixxnS12均值的标准差1. 所有可能的样本均值的标准差，测度所有样本均值的离散程度2. 小于总体标准差3. 计算公式为13T 统计量的分布14T 统计量的分布15第二节第二节 参数估计基本方法参数估计基本方法一一. . 点估计点估计二二. . 点估计的优良性准则点估计的优良性准则三三. . 区间估计区间估计16参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计17被估计的总体参数总体参数符号表示用于估计的样本统计量一个总体均值均值比例比例方差方差两个总体均值之差均值之差比例之差比例之差方差比方差比x18点 估 计19点估计1. 从总体中抽取一个样本

4、，根据该样本的统计量对总体的未知参数作出一个数值点的估计例如: 用样本均值作为总体未知均值的估计值就是一个点估计2.点估计没有给出估计值接近总体未知参数程度的信息3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等201.用于估计总体某一参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本中位数等例如: 样本均值就是总体均值的一个估计量如果样本均值 x = 3 ，则 3 就是的估计值2. 理论基础是抽样分布估计量21估计量的优良性准则（无偏性）无偏性：估计量的数学期望等于被估计的总体数22估计量的优良性准则（有效性）有效性：一个方差较小的无偏估计量称为一个更有效性：一个方差较小的无偏估计量

5、称为一个更 有效的估计量。如，与其他估计量相比，样本均值有效的估计量。如，与其他估计量相比，样本均值是一个更有效的估计量是一个更有效的估计量23估计量的优良性准则（一致性）一致性：随着样本容量的增大，估计量越来越接近被估计的总体参数24区间估计25区间估计1.根据一个样本的观察值给出总体参数的估计范围给出总体参数落在这一区间的概率例如: 总体均值落在5070之间，置信度为 95%26置信区间估计 2 2 已知已知 2 2 未知未知 均均 值值方方 差差比比 例例置置 信信 区区 间间27落在总体均值某一区间内的样本281. 总体未知参数落在区间内的概率2. 表示为 (1 - 为显著性水平，是总

6、体参数未在区间内的概率 3. 常用的显著性水平值有 99%, 95%, 90%相应的 为0.01，0.05，0.10置信水平 29区间与置信水平 1 - /2 /230影响区间宽度的因素1. 数据的离散程度，用 来测度2. 样本容量，3. 置信水平 (1 - )，影响 Z 的大小31第三节第三节 总体均值和总体比例总体均值和总体比例 的区间估计的区间估计一.一.总体均值的区间估计总体均值的区间估计二.二.总体比例的区间估计总体比例的区间估计三.三.样本容量的确定样本容量的确定32总体均值的区间估计 (已知)33总体均值的置信区间 ( 已知)1.假定条件总体服从正态分布,且总体方差（）已知如果不

7、是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30)2.使用正态分布统计量3. 总体均值总体均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为34总体均值的区间估计（正态总体：实例）【例例】某种零件某种零件长度服从正态分长度服从正态分布，从该批产品布，从该批产品中随机抽取件中随机抽取件，测得其平均长，测得其平均长度为度为21.4 mm。已知总体标准差已知总体标准差 =0.15mm，试，试建立该种零件平建立该种零件平均长度的置信区均长度的置信区间，给定置信水间，给定置信水平为平为0.95。35总体均值的区间估计（非正态总体：实例）【例例】某大学从该某大学从该校学生中随机抽取校学生中随机抽取1

8、00人，调查到他人，调查到他们平均每天参加体们平均每天参加体育锻炼的时间为育锻炼的时间为26分钟。试以分钟。试以95的的置信水平估计该大置信水平估计该大学全体学生平均每学全体学生平均每天参加体育锻炼的天参加体育锻炼的时间（已知总体方时间（已知总体方差为差为36小时）。小时）。36总体均值的区间估计 (未知)37总体均值的置信区间 ( 未知)1.假定条件总体方差（）未知总体必须服从正态分布2.使用 t 分布统计量3. 3. 总体均值总体均值 在在1-1- 置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为38总体均值的区间估计（实例）【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本， n = 25 ，其均值x

9、= 50 ，标准差 s = 8。 建立总体均值m 的95%的置信区间。39总体比例的区间估计40总体比例的置信区间1.假定条件两类结果总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量3. 3. 总体比例总体比例 的置信区间为的置信区间为41总体比例的置信区间（实例） 【例例】某企业在一项某企业在一项关于职工流动原因的关于职工流动原因的研究中，从该企业前研究中，从该企业前职工的总体中随机选职工的总体中随机选取了取了200人组成一个人组成一个样本。在对其进行访样本。在对其进行访问时，有问时，有140人说他人说他们离开该企业是由于们离开该企业是由于同管理人员不能融洽同管理人员不能融洽相处。

10、试对由于这种相处。试对由于这种原因而离开该企业的原因而离开该企业的人员的真正比例构造人员的真正比例构造95%的置信区间。的置信区间。42样本容量的确定43估计总体均值时样本容量的确定 44样本容量的确定（实例）解解: :已知2=1800000，=0.05， Z/2=1.96，=500 应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为【例例】一家广告公一家广告公想估计某类商店去想估计某类商店去年所花的平均广告年所花的平均广告费用有多少。经验费用有多少。经验表明，总体方差约表明，总体方差约为为18000001800000元。如置元。如置信度取信度取95%95%，并要使，并要使估计处在总体平均估计处在总体平均值附近值附近500500元的范围元的范围内，这家广告公司内，这家广告公司应抽多大的样本？应抽多大的样本？451. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为估计总体比例时样本容量的确定 2. 若总体比例P未知时，可用样本比例 来代替 46样本容量的确定（实例）【例】一家市场调研公司想估计某地区有彩色电视机的家庭所占的比例。该公司希望对比例p的估计误差不