第四、五章 市场均衡状态下的资产定价模型、指数模型

1、第四章 市场均衡状态下的资产定价模型资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model, CAPM) 夏普(Sharpe,1964)、林特勒 (Lintner,1965)和莫辛 (Mossin,1966)等人在现代证券组合理论的基础上提出。 第一节 资本资产定价模型第一节 资本资产定价模型一、模型的假设条件1、不存在交易成本2、资产可以无限细分3、不存在个人所得税4、单一投资者的买卖行为不影响股价5、投资者是理性的6、允许无限制的卖空行为7、存在无限制的风险借贷8投资者具有统一的单期投资期限9、所有的投资者预期具有同质性10、所有的资产都在市场上交易二、资本资产定价模型的

2、推导（一）资本市场线（一）资本市场线CML无风险资产与风险资产组合再组合的新可行域纳入无风险资产,由无风险资产与风险证券组合再组合后将出现一条新的有效边缘。无风险资产指短期国债等。EMEfrMMEMEfrfMM资本市场线fMrrE)(PfMfMfPrrErrE)()(截距斜率等于零fM资本市场线描述有效资产组合的期望收益率和标准差之间的均衡关系。期望收益率=时间价值+单位风险的风险价格*风险数量()()MfPfPME rrE rr（二）证券市场线与资本资产定价模型在均衡的市场组合中，任意资产的期望收益率与其风险的关系。2()()MfifiMME RRE RR2iMiM()( ()ifiMfE

3、RRE RR在均衡的市场组合中任意资产的期望收益率=时间价值+单位风险的风险补偿*风险数量或：任意资产的期望收益率=时间价值+市场组合的风险补偿*该资产相对市场组合的风险敏感度证券市场线PEfrF01mPfMrrE)(fMM)(MrE举例Sample Calculations for SMLE(rm) - rf = 0.08 rf = 0.03 x = 1.25E(rx) = 0.03 + 1.25(0.08) =0.13 or 13% y = 0.6E(ry) = 0.03 + 0.6(0.08) = 0.078 or 7.8%练习练习1：资产组合的贝塔任一资产组合适用于任一资产组合适用于S

4、ML。组合贝塔组合贝塔=各证券贝塔的加权平均各证券贝塔的加权平均例：假定市场资产组合的风险溢价的期望例：假定市场资产组合的风险溢价的期望值值8%,标准差标准差22%,如果一资产组合由如果一资产组合由25%的通用公司股票的通用公司股票(贝塔贝塔=1.10)和和75%的福特的福特公司股票公司股票(贝塔贝塔=1.25)组成组成,问该资产组合的问该资产组合的风险溢价风险溢价?组合贝塔组合贝塔= 1.2125;资产组合的风险溢价资产组合的风险溢价=9.7%（三）特征线分析单个资产收益率与市场组合收益率之间的关系。()( ()(1)()ifiMffiiME RRE RRRE RitiiMtitRaR将以上

5、公式演变成随机变量的方程，即为特征线方程三.证券特征线 系数投资者对某证券期望收益率估计不等于均衡期望收益率时,该证券处于非均衡状态,位于证券市场线的上方或下方.均衡时, 的均衡期望收益率为:i代表 均衡期望收益率, 代表市场组合期望收益率.iifMfeirrErrE)()()(eirE)(MrE由于个体及条件限制,投资者对证券的期望收益率的估计一般不等于均衡期望收益率,两者差异为 的 系数. 代入考虑到投资组合的情形:i工作表计算E证券市场模型计算的EifMfeirrErrE)()()()(eiiirErEifMfiirrErrE)()(PfMfPPrrErrE)()(投资者对 期望收益率估

6、计 高于其均衡期望收益率 , 即 0 ,表示 的 系数为正,它位于证券市场线的上方,表明证券的价格被低估. A)(ArE)(eArE)()(eAArErEAiEr)(eBrEABi证券期望收益率和 系数SMLBMAM)(ArE)(eArE)(MrE 通过 可判断定价是否合理. 如果市场是有效的,信息对称,通过分析可以获得合理的均衡定价.但实际是投资者信息和偏好不同,分析方法各异,对同一证券收益率有不同的预测,价格上出现定价过高过低.错误定价不可能持续. 当市场价格高于实际价值时, 为负,投资者可以通过卖出获利,结果市场价格下降,最终使期望收益率与均衡期望收益率一致,证券回到 线上,证券市场处于

7、均衡状态.SML 证券特征线方程超额期望收益率由两部分构成:一是该证券的 系数;二是市场组合风险溢价和风险系数的乘积.描绘 和 之间线性关系的直线,即证券的特征线.firrE)(fMrrE)(ifMfiirrErrE)()(ifMifirrErrE)()(证券特征线描述了收益发生过程,可通过回归方程获得线性表达式. 在从经验数据中找出证券收益和市场组合收益之间的关系过程中,必然存在着随机误差, 即为随机误差,轮赌结果,这种随机误差的期望值为0,故实际超额收益率由三部分构成:ie系数; 同 的乘积;随机误差.由特征线方程可知,特征线的斜率等于这种证券的 系数,因此 系数就是测定证券期望收益率相对

8、市场组合期望收益率灵敏程度的指标.fMrrE)(iifMifierrErr)(特征线的斜率为正值时,表明市场组合的收益率越高,该证券期望收益率也越高firrE)(i1L2L0 系数和特征线fMrrE)(特征线在纵轴上截距不为0,说明偏离均衡时特征线位置,但是 在长期是难以维持非0的,短期内该证券的大量买卖可以获取利益,于是会逐步修正错误定价,重回均衡位置 系数特征线概念暗含按风险将股票分类的可能性.1.市场组合的 系数 F M 市场平均收益10% A B C 盈利 收益率 50% 30% 20% 100 50 30 20 10 10% 500 250 150 100 50 10% 1000 5

9、00 300 200 100 10%8000 2000 6000 3000 1800 12009000 4500 4500 2250 1350 900M 与 收益率上完全正相关.2.其他资产或资产组合的 系数MM1MM2),(MMMMrrCovMMMMMMrrCov),(221),(MMMMMMMMrrCov1),(222MMMMMMrrCov作为特征线的斜率, 测度的是证券收益率对市场组合收益率的灵敏度,成为了衡量某一证券系统性风险的重要指标. 1 ,系统性风险高于市场平均水平,为进攻型资产或资产组合; 1 , 系统性风险低于市场平均水平,为防御型资产或资产组合 firrE)(fMrrE)(

10、0SML第二节 因素模型因素模型因素模型套利定价理论认为，证券收益是与某些因素相关的。因素模型认为各种证券的收益率均受某个或某几个共同因素影响。各种证券的收益率之所以相关，主要是因为他们都会对这些共同因素起反应。 因素模型：因素模型：单因素模型证券收益率只受一种因素影响证券的预期收益率证券收益率的方差ittiiitFbarFbariii2222iFiib因素模型因素模型:单因素模型单因素模型证券收益率的协方差证券组合的方差2Fjiijbb2222pFppb因素模型因素模型:两因素模型 证券收益率取决于两个因素证券的预期收益率 ittitiiitFbFbar22112211FbFbariiii因

11、素模型：两因素模型因素模型：两因素模型证券收益率的方差证券收益率的协方差222222112212122(,)iiFiFiiibbb b COV F F),()(21122122222111FFCOVbbbbbbbbjijiFjiFjiij因素模型因素模型：多因素模型证券收益率取决于多个因素1 122itiititikktitrab Fb Fb F思考与练习思考与练习1、以下数据描绘了一个由三只股票组成的股票市场，而且该市场满足单指数模型。市场指数组合的标准差为25%，请问：市场指数投资组合的平均超额收益率为多少？股票与股票之间的协方差为多大？股票与指数之间的协方差为多大？将股票的方差分解为市场

12、和公司特有两部分。股票资本金（元）平均超额收益率标准差A30001.010%40%B19400.22%30%C13601.717%50%第三节 多因素模型及其应用一、多因素模型证券收益率取决于多个因素1122itiititikktitrab Fb Fb F二、基本多指数模型证券收益与宏观经济变量相联系的五因素模型1、长期政府债券和长期公司债券收益的非预期差异（I1）2、长期贴现率与短期贴现率的差异（I2）3、非预期通货紧缩（I3）4、公司销售量的增长率的非预期变化（I4）5、标准普尔500指数的非预期收益（I5）三、行业指数模型考虑了市场因素与行业因素的影响1 122iiimimiiiLLir

13、ab Ib Ib Ib I四、三因素模型1993年法码和法兰奇的三因素模型第四节第四节 套利定价模型套利定价模型套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory，简称APT) 罗斯 (Ross,1976) 提出，其与夏普等人的CAPM相比，假设条件减少了许多，使用起来较为方便。 一、套利与套利组合（一）套利的概念套利：利用同一种资产的不同价格来赚取无风险利润的行为。投资策略：以较高的价格出售一种资产并同时以较低的价格购进相同的资产。一价法则：两种相同的资产不能以不同的价格出售。如果一项资产比另一项资产更有价值，但其价格却低于或等于另一项资产，这种情况违反了一价法则，则存在套利机会

14、（二）套利组合的定义构建套利组合的三个基本条件： 1、套利组合要求投资者不追加资金, 即套利组合属于自融资组合； 2、套利组合对任何因素的敏感度均为零，即套利组合没有因素风险； 3、套利组合的预期收益率应大于零。 证券期望收益E（R） 风险因素FA15%0.9B21%3.0C12%1.80.1+X2+X3=00.9X1+3.0X2+1.8X3=0必须保证：15%*X1+21%*X2+12%*X30二.套利定价理论1.套利和市场均衡同一资产在不同市场存在价格差异;市场处在非均衡或市场偏离均衡位置.APT就是要说明均衡时合理价位是如何形成的.资本资产定价模型可以看着是套利定价理论的一种特殊情形.2

15、.单因子套利定价模型APT模型不再局限于 CAPM模型中对收益率和风险的讨论,而考虑各种因素对收益率的影响,这些因素称为因子. APT模型正是从套利者角度出发,考察市场不存在无风险套利机会而达到均衡时各证券及证券组合的定价关系.单因子套利模型iiiieFbErr式中: 表示证券 的未来收益率; 表示证券 的期望收益率; 为对各证券都有影响的共同因子; 是某证券 收益率对 因子的敏感程度,即风险因子; 为期望值为0的随机变量.iriiiErFibiFie单因子套利模型的各参数满足以下条件:0)(, 0)(ieEFE0),(, 0),(jiieeCovFeCov引入 APT因子模型后,其与特征线模

16、型(指数模型)有些相似.但实质不同:套利模型为均衡模型;特征线模型(指数模型)为非均衡模型.iiiieFbErriMiiirr投资组合的套利定价 未假定风险规避,尤其未假定必须按均值方差准则作出决策.但套利者也尽可能创造出收益为正不确定性小的投资组合.如构造出一种净投资为零的零 证券组合,能获取正的报酬,则套利者的套利行为就会取得成功.假定收益率只受一个因子 的影响,套利者对市场上 种证券构造一个净零投资的 组合,即满足:Fnniix10niiibx10式中: 表示证券 的组合权数, 表示套利组合对因素 的敏感性为零,即表明该组合不承担因素风险.满足上条件,可以通过卖空收益率低的证券(组合权数

17、为负),将所得资金买进收益率高的证券(正的组合权数),在忽略任何交易成本时,一定可以获得一个正的总体收益:ixiniiibx10F02211nnrxrxrx怎样理解净零投资零 证券组合:假定市场上只有三支证券:按照净零投资零 组合的约束条件可写出:解以上线性方程组,可得无穷多解:其中 为任意常数.11b22b33b0321xxx032321xxxTcX1 , 2, 1c令 为 ,则:计算表明:卖空证券1和3各 单位(如总资金量为1000元, 单位为500元),用所得收益全部投资到证券2上,便可得到净零投资零 投资组合c2121, 1,21321xxx2121进一步,用 乘以 ,可得:加总所有证

18、券( ),可得组合收益率:所以:式中 表示投资组合收率, ; 为组合收益率期望值; 为组合对因子 的敏感系数; 为组合平均收益偏差,它是组合 的非系统收益率.ixiiiieFbErriiiiiiiiexFbxErxrxni, 2 , 1niiiniiiniiiniiiexFbxErxrx1111PPPPeFbErRPRniiiPrxR1PErPbFPeP思考与练习思考与练习1、已知以下资料如表1.若设 并先计算的值 、再计算的值 ，A、B、C可否构建出一个套利组合？如果能构建一个套利组合，应采用什么策略？arbr可能经济状 况(%)概率预期收益率（%）rarbrcrm宽松货币政策 40 7 4

19、 6 5紧缩货币政策60 3 2 1 21 . 0ax可能的经济状况与可能的经济状况与A A、B B、C C和市场指数M的预期收益率分布表cxbx组合风险可以划分为共同因子引起的因素风险和其他原因带来的非因素风险两部分.即:2)(222PeFPPPPPbeFbErVar式中: 表示组合对共同因子 的方差; 为证券组合非因素风险的加权和,即2FF2)(PenieieiPx12)(22)(充分分散的投资组合, 为零, 也近似为零.这时,投资组合期望收益率可写作:2)(PePeFbErRPPP 比较: 可见单个证券因为随机误差 的干扰,收益率同共同因子间不存在完全线性关系,但充分分散的投资组合收益率

20、则与共同因子间存在着明显的线性关系.FbErRPPPiiiieFbErrie例:假设单因子套利模型成立，3个充分分散的证券组合有关数据如下:问是否有套利机会？若有套利机会，则套利策略是什么？ 证券组合期望收益率 系数 A 0.10 1 B 0.09 C 0.04 032据套利组合条件000ccbbaacbaccbbaaxxxxxxrxrxrx003210cbacbaxxxxxx设1 . 0ax0321.001.0bcbxxx1 . 0ax15. 0231 . 0bx05. 0cx 当 而只有卖空 和 ，同时买入 才能使组合收益为正。1.0ax000999. 01 . 005. 0015. 03

21、21 . 01005. 015. 01 . 0）（）（004. 005. 015. 009. 01 . 01 . 0）（ACB000999. 01 . 005. 0015. 0321 . 01005. 015. 01 . 0）（）（）（）（0)05.0(04.015.009.0)1.0(1.0单因子套利定价公式推导套利机会的存在导致套利行为的产生,众多的套利行为使市场均衡时任何零净投资零 组合期望报酬一定为零,即 . 否则即可构造一个 , 投资组合,永久地获取的收益. 显然,随着投资者继续买进这种证券组合,价格必然上扬,相应报酬率下降,直到 为止.均衡时,不存在任何套利机会.0PErniix1

22、0niiibx100PPErR联立均衡时由零投资零 投资组合所满足的方程得到:由线性代数知识可知,一定可写成:针对投资组合 , ,利用 乘 求和得:niix10niiibx1001niiiErxiibaaEr10), 2 , 1(niniix11niiibx10iibaaEr10ixniiiniiniiibxaxaErx111010100 aaa所以 .又因 ,所以这个证券组合为零风险组合, 故: ,因而 .进一步,考虑市场证券组合的情形,此时同样方法得:0aRP01niiibxfPrRfra0niiibx11niix11111110111ararbxaxaErxffniiiniiniii对市

23、场证券组合 ,代入可得:把求得的 和 代入 可以得到:MniiiErErx1111110111ararbxaxaErxffniiiniiniiifMrEra10a1aiibaaEr10ifMfibrErrEr)(比较:只要将 系数看作 ,两者在形式上一样.对式中参数,只要令 , 就同单因子套利定价模型形式上一致:实际上,只要令 为 ,则可以由得出单因子套利定价公式的典型形式: ifMfibrErrEr)(ifMfirErrEr)(ibifar FrErfMFbErriiifMrErifMfibrErrEr)(ifibrEr 该式的经济意义是: 任何证券的期望收益率由两部分构成,即一部分为无风险

24、收益率,另一部分为风险溢价(等于证券收益率对共同因子的敏感程 度和单位风险价的乘积). 由公式出的单个证券的套利定价方式很容易转化为投 资组合的套利公式. ifibrEr 投资组合中 , 则由公式加权求和,得: 即: 上式说明：投资充分分散的组合在市场均衡状态下,组合期望收益率包括无风险收益率 和风险溢价两部分.niix11niiiPbxb1ifibrErniiinifiniiibxrxErx111PfPbrErfr3.多因子套利定价模型现实市场中证券收益率受众多复杂因素作用往往是更普遍的情形.对单因子推广可得多因子模型一般形式:在多因子解析式中双因子方程为最简单的形式,也具有代表性: ini

25、niiiieFbFbFbErr2211iiiiieFbFbErr2211 分析多因子模型时,引入”纯因子作用”的投资组合.多种因子作用的投资组合中,证券数量和类别足够多,就可能构造一个对一个因素有单位灵敏度对其他因素只具有零灵敏度又不存在非因素风险的证券组合.双因子模型中就有:11212111nnbxbxbX02222121nnbxbxbx11212111nnbxbxbX02222121nnbxbxbx显然,线性方程组中共同因子数目少于证券数目 (因已假定证券数目足够多),故有无穷多解,符合纯因子条件的一组证券权数总可以找到. 此时,重构后的投资组合对共同因子 的敏感度为1,而对共同因子 的敏

26、感度为0,从而是一个“纯因子”组合.n1F2F例如,假定证券 和 在双因子套利模型中的因子敏感度如下表:ABC因子敏感度表 证券名称 -0.4 1.75 1.6 -0.75 0.67 -0.25ABC1 ib2ib 证券名称 -0.4 1.75 1.6 -0.75 0.67 -0.25ABC1 ib2ib如果投资者按组合权数0.30.7和0的比例投资到 和 ,则形成的组合对 和 的敏感度为1和0,即:ABC1F2F1067. 07 . 06 . 13 . 04 . 01Pb0025. 07 . 075. 03 . 075. 12Pb这个新组合就是一个“纯因子1”的证券组合. 证券名称 -0.4

27、 1.75 1.6 -0.75 0.67 -0.25ABC1 ib2ib如果同理,投资者如果以权数0.6250和0.375投资证券 和 ,则有:ABC0375. 067. 006 . 1625. 04 . 01Pb1375. 025. 0075. 0625. 075. 12Pb这样就获得了一个“纯因子2”的投资组合.类同单因子模型中的推导,可写出投资组合在双因子模型中收益率和风险的表达式: PPiPPPeFbFbErRi222)(222222211PeFPFPPbb同样,当投资组合 中证券数量足够多,非因素风险就可以充分分散, 就为零,非因素收益率 也几乎为零,上两式可转为: P2)(PePe

28、2121FbFbErRPPPP222222211FPFPPbb 充分分散的证券组合,期望收益率与风险系数之间存在着确定的关系: 风险系数 越大,组合的期望收益率越高.如果风险系数高的证券组合收益率不高的话,投资者一定会减少对风险系数高的证券的投资,从而使组合风险系数减小. 到均衡状态时,组合收益率与风险因子之间存在着线性关系.Pb线性关系成立的证明:采用纯因子组合 和组合 来说明. 是纯因子 的组合, 是纯因子 的组合,另存在另一个充分分散证券组合 .利用组合 和无风险资产 ,可构造另一个组合 使 .故,组合期望收益率和风险敏感系数分别为:fCCBBAAffBBAADrbbErxErxrxEr

29、xErxEr)1 (211211111001CfCCffBBAADbxbbbxbxbxbABA1FB2FCABD21211,CCfCBCAbbxbxbx第五节第五节 资产定价模型的实证检验资产定价模型的实证检验 CAPM和APT的提出对全世界的金融理论研究和实践的主要影响有： (1) 大多数机构投资者都按预期收益率-贝塔系数的关系来评价其投资业绩； (2) 大多数国家的监管当局在确定被监管对象的资本成本时，都把预期收益率-贝塔系数的关系连同对市场指数收益率的预测作为一个重要因素； (3) 法院在衡量未来收入损失的赔偿金额时也经常使用预期收益率-贝塔系数的关系来确定贴现率； (4) 很多企业在进

30、行资本预算决策时也使用预期收益率-贝塔系数的关系来确定最低要求收益率。 关于关于CAPMCAPM模型和套利定价理论的争模型和套利定价理论的争论论 1、罗尔的批评 (Roll,1977) （1）CAPM只有一个可检验的假设，那就是市场组合是均值-方差有效的。 （2）该模型的其他所有运用都不是单独可以检验的。 （3）不管从事前的角度看真正的市场组合是否有效，通过样本计算出来的 都会满足证券市场线的关系。 关于关于CAPMCAPM模型和套利定价理论的争模型和套利定价理论的争论论 （4）除非我们的样本包括所有资产，否则CAPM就无法检验。 （5）运用S&P500等来代替市场组合会面临两大问题：

31、一是无法通过替代物判断市场组合是否有效，二是运用不同替代物有不同的结论。罗尔和罗斯 (Roll &Ross,1994)坎德尔和斯坦博 (Kandel & Stambaugh,1987) 关于关于CAPMCAPM模型和套利定价理论的争模型和套利定价理论的争论论 2、系数的测度误差米勒和斯科尔斯(Miller& Scholes,1972)林特勒 (Lintner,1965)布莱克、詹森和斯科尔斯 (Black, Jensen & Scholes, 1972)，在检验中用组合而不用单个证券，解决了系数测度误差的问题。 关于关于CAPMCAPM模型和套利定价理论的争模型和套利定价理论的争论论法马和马克贝思 (Fama & MacBeth,1973)，CAPM在方向上是正确的，但数量上不够精确。关于关于CAPMCAPM模型和套利定价理论的争模型和套利定价理论的争论论 3、围绕收益率异常现象的争论异常现象(Anomalies)：市盈率较低的证券组合、小公司的股票、高股利收入的股票的收益率常高于根据资本资产定价模型计算的收益