b无穷小量无穷大量阶的比较

1、微积分（微积分（I I）浙江大学理学院浙江大学理学院讲课人：朱静芬讲课人：朱静芬E_mail:E_mail:0)(lim)(0 xfxxx 语言表述语言表述 当当 时时 ,有有 则则)(X , )0or ( 0, 0 X )(xf)(00Xxxx 例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时时的的无无穷穷小小是是当当数数列列 nnn （4）不能说函数）不能说函数 是无穷小是无穷小, 应该说在什么应该说在什么 情况下的无穷小情况下的无穷小. 即指出自变量的

2、变化过程即指出自变量的变化过程.)(xf（5) 同样有同样有 xxxxxx , , 0 , 000时无穷小时无穷小.注意注意: :（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数.0lim nnx （3）此概念对数列极限也适用）此概念对数列极限也适用. 若若 ,称称 数列数列 为为 的无穷小。的无穷小。nx n有界量与无界量有界量与无界量)(0 xUo若存在若存在 的某空心邻域的某空心邻域 ，使，使f (x) 在在 内有界，则称内有界，则称f (x)当当 时是时是有界量有界量。0 x)(0 xUo0 xx

3、对对 无论多么小的某空心邻域无论多么小的某空心邻域 ，任给，任给M 0 ，存在存在 x ,使使|f (x)| M，称，称 f (x) 当当 时是时是无界量无界量。0 x0 xx ),(0 xUo ),(0 xUo定义：定义：定义：定义：2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系: 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是当当0 xx 时时的的无无穷穷小小.意义意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误差为误差为式式附近的近似表达附近的近似表达在在）给出了

4、函数）给出了函数（ 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使使得得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与

5、无穷小的乘积是无穷小.证证内内有有界界，在在设设函函数数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为为无无穷穷小小时时当当 uxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.例如例如,xx

6、x2sinlim).1 (xxx1coslim).2(02arctanlim).3(xxxxxx2sin1lim. 0. 0 xxxarctan1lim2. 0注意注意无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. .例如例如, ,.1sin,sin,022都都是是无无穷穷小小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, , 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同. .;32要要快快得得多多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xxxxx3lim20 xxxsinlim0观察各极限观察各极限2201sinlimxxxxxx1sinlim0 型）型）（00不

7、可比不可比.不存在不存在. .；记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;, 0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果 lim)(是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxsin0，1sinlim0 xxx).0(sinxxx即即;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx ，03lim20 xxx

8、).0()3(2 xxox即即例如，例如，, 639lim32 xxx是是同同阶阶无无穷穷小小与与时时当当39,32 xxx., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk )(ko 记记作作：例：例：xnxxn111,0: 时时当当证证明明证明证明1)1()1(11)1(lim111lim2100 nnnnnnxnxxxxnxxnx11)1()1(lim210 nnnnxxxn)0(111 xxnxn的的主主要要部部分分是是称称为为必必要要条条件件是是等等价价无无穷穷小小的的的的充充分分与与定定理理 ).(o 证证必要性必要性，设设 1limlim ，0 ，即即

9、)()( oo充分性充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 , | , 0 , 0有有时时当当若若XxXM Mxf | )(| , )( ,记为记为时的无穷大量时的无穷大量为为则称则称成立成立 xxf. )( )( )(lim xxfxfx或或 . )(lim ,)( 称为正无穷大量称为正无穷大量则则换成换成 xfMxfx . )(lim ,)( 称为负穷大量称为负穷大量则则换成换成 xfMxfx : )(时的无穷大量时的无穷大量当当 xxf注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将

10、将（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界， 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大但是无界变量未必是无穷大.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要

11、,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy ,)(lim ) 1( xf若若 . | )(|lim xf则则(2)(2)在某极限过程中在某极限过程中, , 无穷大量与有无穷大量与有界量之和仍为无穷大量界量之和仍为无穷大量.(3)(3)在某极限过程中在某极限过程中, ,有限个无穷大量之有限个无穷大量之积仍是一个无穷大量积仍是一个无穷大量. . , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1(

12、 , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时此时时时显然显然 . , , , nnyxn考察考察有界量与无穷大量的乘积有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？是否一定为无穷大量？ , )( )(1xxxf 1, 1 | )(| , )1 | ( 2 xxgxx时时不不妨妨设设当当 . )( 011)()( 21 xxxxxgxf而而 , )( )(32xxxf . )( 1)()(232xxxxxgxf考察考察 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,

13、 ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒恒有有时时使使得得当当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.11lim:21

14、 xx求求例例解解:. 0)1(lim21 xx由于由于.)1(1lim21 xx所所以以.01)1(1lim,)1(1lim:2121 xxxx但但不不能能写写成成或或者者可可以以直直接接写写成成注注意意(1)1sinlim0 xxx证明证明)20(, xxAOBO 圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BDOAB的的高高为为 ACoBD,tansinxxx , 1sincos xxx即即BD.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxxcos11co

15、s0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx,1coslim0 xx,11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxxxysinXXxxtanlimx0 解解xcoslimxxsinlimxx100 111nsinnlimn312 解解xxxtanlim0例例. 求求xcosxxsinlimx10 nsinnlimn312 例例.求求nnsinlimn2131 323131 nnsinlimn32)lim(sinlim01 推广推广:0)(xtan:xx即即xxarcsinlimx0 1 xxarcsinlimx0例例. 求求解解.

16、usinulimuxarcsinu0 xsinxsinlimx350例例. 求求xsinxsinlimx350解解. 3533550 xxsinxxsinlimx3520cos1limxxx 例例. 求求220)2(sin2limxxx ).0(arcsin:xxx即即.2122sin21lim20 xxx).0(21cos1:2 xxx即即xxx)11(lim 限限我我们们讨讨论论另另一一个个重重要要极极定义：定义：ennn )11(lim,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx.)11(lim)11(lim)11(lim1exxxxxxxx 而而.)1

17、11(lim)111(lim)111(lim11exxxxxxxx .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim综综上上所所述述恒恒有有,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例：例： 求求.)11(limxxx 解解 原式原式xxx )11 (1lim1)11(lim xxx.1e 例例.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 定理定理( (等价无穷量替换定理

18、等价无穷量替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 意义：意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数的简单的等价量来替换，以便进行化简。但替换以后的函数极限要存在或为无穷大。极限要存在或为无穷大。注意：注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，用因式来替换。用因式来替换。例例 求求xxx5sin2tanlim0解解5252lim5sin2tanlim,55sin,22tan,000 xxxxxxxxxxx时时当当例例 求求xxxx3sinlim30 解解3131lim3lim3sinlim203030 xxxxxxxxxx例例.cos1