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文档简介
1、用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段。现举例说明，供同学们参考。一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1. 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD，且A处到河岸CD中点的距离为500m。（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：这
2、个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A，B，在直线CD上求一点M，使最小。”（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点，再连接交CD于点M，则点M为所求的点。证明如下：在CD上任取一点，连接、AM。点A、关于直线CD对称，点M、在CD上，。最小。（2）由（1）知，。故M为CD中点，且最短路程为。二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。例2. 如图3，牧童家在A处。现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？解析：设点B、点C分别是马
3、饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA的最小值。我们通常需要把它和固定线段相比较。可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A”，点A关于直线b的对称点A”。连接A”A”。A”A”交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A”B+BC+CA”A”A”。而对其他地点B”、C”，也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A”，即为A”、A”两点间的折线段的长。根据“两点之间线段最短”知，线段A”A”最短，点B、C即为所求。三、为了在已知直线上寻找与异侧两点距离之差最小的点，可通过轴对称变换，把异侧两点转化为同侧两点，利用“三角形任意两边之差小于第三边”来确定例3. 如图5，已知直线l和位于直线l异侧的两点A、B。其中点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离。求作直线l上一点C，使最大。解析：如图6，作点B关于直线l的对称点B”，连接AB”，
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