4名商人带4名随从安全过河

1、4名商人带4名随从安全过河一. 问题提出：4名商人带4名随从乘一条小船过河，小船每次自能承载至多两人。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定，商人们如何才能安全渡河呢？二. 模型假设：商人和随从都会划船。三. 问题分析：商随过河问题可以视为一个多步决策过程，通过多次优化，最后获取一个全局最优的决策方案。对于每一步，即船由此岸驶向彼岸或由彼岸驶向此岸，都要对船上的人员作出决策，在保证两岸的商人数不少于随从数的前提下，在有限步内使全部人员过河。用状态变H表示某一岸的人员状况，决策变景表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律，问题转化为在状态的

2、允许变化范围内(即安全渡河条件)，确定每一步的决策，达到安全渡河的目标。四. 模型构成：xk第k次渡河前此岸的商人数，yk第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3,4;k=1,2,Sk=(xk,yk)过程的状态,S位许状态集合，S=(x,y)|x=0,y=0,1,2,3,4;x=4,y=0,1,2,3,4;x=y=1,2,3uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数允许dk=(uk,vk)决策,D=(u,v)|1=u+v=2,uk,vk=0,1,2决策集合k=1,2,因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态Sk随决策dk的变化规律是Sk1=Sk+(-

3、1)kdkM态转移律求dkCD(k=1,2,-n),使SkCS,并按转移律由S1=(4,4)到达状态Sn1=(0,0)。五. 模型求解：1.图解法：对于人数不多的情况，可以利用图解法来求解。在xoy平面坐标系上画出如图所示的方格，方格点表示状态s=(x,y)，允许状态集合S是圆点标出的13个格子点，允许决策dk是沿方格线移动1格或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时向右、上方移动。要确定一系列的dk使由S1=(4,4)经过那些圆点最终移动到原点(0,0)。由初始状态(4,4)到原点(0,0)，无论怎样走，都要经过(2,2),但是无论怎样变化人数，也只能到达此点后不能继续走下去，只能循环走

4、(由d7状态无法不重复循环地走下去)，达不到最终的目标(0,0),因此该问题无解。432101234x2.穷举法：根据分析可以通过编程上机求解，所用的c程序如下所示：#include#defineN30intxN,yN,u6,v6,k;/*x,y:状态值，分别表示此岸商人、随从数*/*u,v:决策值，分别表示船上商人、随从数*/*k:决策步数；k的奇偶性标志着船在河的此岸或彼岸*/next(intk,inti)/*计算下一状态*/if(k%2)/*k+1为偶数，船从此岸到彼岸*/xk+1=xk-ui;yk+1=yk-vi;else/*k+1为奇数，船从彼岸到此岸*/(xk+1=xk+ui;yk

5、+1=yk+vi;return;allow(intp,intq)/*判定状态是否允许，是否重复*/(intok,j;/*ok:标记状态是否允许，是否重复；j:循环变景*/if(px1|p!=0&qp|(x1-p)!=0&(y1-q)(x1-p)|qy1)ok=0;/*此时状态不属于允许集*/else(for(j=k-1;j0;j-=2)/*是否重复与船在河的哪一岸有关*/if(p=xj&q=yj)(ok=0;/*此时状态出现重复*/break;if(j=0)ok=1;/*此时状态属于允许集，且不重复*/returnok;voidmain()(inti,j,mN,flag=1;/*m:采用的决策

6、序号，flag:回溯标记*/u1=2;v1=0;/*给决策编号并赋值*/u2=0;v2=2;u3=1;v3=0;u4=0;v4=1;u5=1;v5=1;k=1;/*从初始状态出发*/printf(请输入商人和随从的初始状态：n商人数=);scanf(%d,&xk);printf(随从数=);scanf(%d,&yk);while(flag)for(i=1;i6;i+)/*遍历各种决策*/next(k,i);/*next(k,i);/*next(k,i);/*计算下一状态*/if(allow(xk+1,yk+1)/*若新状态允许且不重复*/(mk=i;/*记录采用的决策序号*/if(xk+1=0

7、&yk+1=0)/*若到达目标状态，输出结果*/(printf(初始值:商人d随从dn,x1,y1);for(j=1;j=k;j+)printf(第%2d次%d%dn,j,xj+1,yj+1);flag=0;break;else/*若未到达目标状态*/(k+;/*生成下一步的步数值*/break;/*遍历终止，进入下一步*/else/*若新状态不允许或重复*/(while(i=5)/*本步决策已经遍历时*/(if(k=1)(printf(本题无解！n);flag=0;break;else/*未到达初始状态*/(k-;/*回溯一一退回1步，寻找新路径*/i=mk;if(flag)continue;/*本步决策尚未遍历时*/elsebreak;/*