第5章 离散型随机变量的分布

1、第五章第五章 离散离散型随机变量型随机变量的的概率分布概率分布第一节第一节 二项分布二项分布第二节第二节 超几何分布超几何分布第三节第三节 泊松分布泊松分布第一节第一节 二项分布二项分布 一、二项分布的一、二项分布的定义定义P98 (Binomial Distribution) 二项分布是从著名的二项分布是从著名的贝努里实验贝努里实验中推导出中推导出来的。所谓贝努里实验是指只有两种可能来的。所谓贝努里实验是指只有两种可能结果的随机实验结果的随机实验。 二项分布二项分布是一种应用非常广泛，也非常重是一种应用非常广泛，也非常重要的一种分布。要的一种分布。 我们以投硬币为例，投一次硬币，只有两种结果

2、，正面朝我们以投硬币为例，投一次硬币，只有两种结果，正面朝上或反面朝上，单次实验就形成一个二点分布；正面朝上上或反面朝上，单次实验就形成一个二点分布；正面朝上的次数取值只有两个，要么的次数取值只有两个，要么1次，要么次，要么0次；我们这样来表次；我们这样来表达：达：P(X=1)=p，P(X=0)=q 接下来，我们来四次掷币，每次抛币都不会影响下一次抛接下来，我们来四次掷币，每次抛币都不会影响下一次抛币的结果，所以是独立实验；币的结果，所以是独立实验；正面朝上的次数正面朝上的次数这个这个随机变随机变量的取值量的取值就不会只是两个，而是会有就不会只是两个，而是会有41个取值。即：正个取值。即：正面

3、出现面出现0次和次和1、2、3、4次。次。 我们用小我们用小p来表示正面朝上的概率，用来表示正面朝上的概率，用q来表示反面朝上的来表示反面朝上的概率，我们把概率，我们把X的取值相应写成：的取值相应写成：X=0, X=1, X=2, X=3, X=4 ，来求这个随机变量，来求这个随机变量X的概率分布。的概率分布。 （1）X=0时，时， P(X0)1/2*1/2*1/2*1/2=q*q*q*q=1/160.0625 （2） X=1时，时， P(X=1)=p*q*q*q*4= =1/40.25 （3） X=2时，时， P(X=2)=p*p*q*q*6= =6/160.375 （4）X=3时，时， P

4、(X=3)=p*p*p*q*4= =1/40.25 （5） X=4时，时， P(X=4)=p*p*p*p= =1/160.0625 我们推广到我们推广到n次，则可以写出一般性的次，则可以写出一般性的二项分二项分布布的的概率分布概率分布公式：公式： (X共有共有n+1个取值个取值) 如果在相同条件下进行如果在相同条件下进行n次独立试验，每次试次独立试验，每次试验只有验只有2种可能的结果，事件种可能的结果，事件A出现的概率出现的概率P(A)=p, 事件事件A不出现的概率不出现的概率P( )=q,那么，那么，n次试验中事件次试验中事件A出现次数（随机变量出现次数（随机变量X）的概）的概率分布为：率分

5、布为： x=(0,1,2,.n) ， 可以可以简写为：简写为：B(n，p)(Binomial Distribution)，其中其中n为独立试验次数，为独立试验次数，p为每次试验中为每次试验中A出现出现的概率。的概率。()xxn xnP XxC p q 由于由于pq1，所以只要知道了，所以只要知道了n和和p，该二，该二项分布就已经被确定。我们可以不用计算，而项分布就已经被确定。我们可以不用计算，而是通过查表的方法非常方便的了解随机变量的是通过查表的方法非常方便的了解随机变量的概率分布的全貌。概率分布的全貌。 二项分布表的用法。二项分布表的用法。随机随机变量变量取值在某一区间内的概率：取值在某一区

6、间内的概率： （1）事件）事件A至多（最多）出现至多（最多）出现m的概率的概率： （2）事件）事件A至少出现至少出现m次概率次概率： （3）事件）事件A出现次数不少于出现次数不少于a，不大于，不大于b的概率为：的概率为： （4）事件）事件A出现的全部概率之和出现的全部概率之和：二、二项分布的二、二项分布的讨论讨论 （1）二项分布是）二项分布是离散型随机变量离散型随机变量的分布。的分布。X的取值有的取值有n+1个。个。 （2）二项分布的图形当）二项分布的图形当p=0.5时是时是对称对称的；当的；当p0.5时则是时则是非对称的。但是当非对称的。但是当n越大的时候，越趋向于对称。越大的时候，越趋向于

7、对称。 （3）二项分布的特征值：）二项分布的特征值： （4）二项分布由概率）二项分布由概率p和实验次数和实验次数n两个参数决定，也可以两个参数决定，也可以简单记为简单记为B(n，p)。 （5）二项分布的概率值即可以通过公式计算，也可以通过）二项分布的概率值即可以通过公式计算，也可以通过查表求得。查表求得。 （6）二项分布的特点是，已经知道两种结果发生的概率，）二项分布的特点是，已经知道两种结果发生的概率，实际上对总体的情况已经有所了解。这是求抽样时（任何样实际上对总体的情况已经有所了解。这是求抽样时（任何样本量下）每得到一个样本个体的概率。本量下）每得到一个样本个体的概率。 【例】根据生命表，

8、年龄为【例】根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的岁的人，可望活到下年的概率是概率是0.95。设某单位年龄为。设某单位年龄为60岁的人共有岁的人共有10人，问：人，问： （1）其中）其中9人活到下年的概率为多少？人活到下年的概率为多少？ （2）至少有）至少有9人活到下年的概率是多少？人活到下年的概率是多少？ 解：任选一人能否活到下一年与他人无关，因此是独立事件。解：任选一人能否活到下一年与他人无关，因此是独立事件。因为只有两种结果，所以符合二项分布。因为只有两种结果，所以符合二项分布。n=10，p=0.95 【例例2】一场火星文的考试，共一场火星文的考试，共10道单项选择题（五选一），道

9、单项选择题（五选一），你随机猜测答案。试问：你随机猜测答案。试问： （1）能够及格的概率是多少？）能够及格的概率是多少？ （2）一道也答不对的概率是多少？）一道也答不对的概率是多少？ （3）答对）答对13道的概率是多少？道的概率是多少？ （4）答对的期望值和方差。）答对的期望值和方差。 解：由题意得，解：由题意得，p=0.2， n=10， 【练习【练习1】按照以往的经验，你在】按照以往的经验，你在5点半到点半到5点点40这段晚这段晚高峰内等到公共汽车的概率是高峰内等到公共汽车的概率是90。一个星期内。一个星期内（周一（周一到周五）到周五）你每天下班（你每天下班（5：30）时等车都不会超过）时等

10、车都不会超过10分分钟概率时多少？至少有钟概率时多少？至少有2天等车会超过天等车会超过10分钟的概率是分钟的概率是多少？多少？求求期望值和方差。期望值和方差。 【练习【练习2】设离散型随机变量】设离散型随机变量 ，概率，概率 ，求：求： （1）参数）参数p值；值； （2）概率）概率P(X=2) ； （3）数学期望）数学期望 ；（；（4）方差）方差 【例【例3】某人在每天上班途中要经过】某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续红灯持续24秒而绿灯持续秒而绿灯持续36秒。试求他

11、途中遇到红灯的秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。 【练习【练习1】按照以往的经验，你在】按照以往的经验，你在5点半到点半到5点点40这段晚这段晚高峰内等到公共汽车的概率是高峰内等到公共汽车的概率是90。一个星期内。一个星期内（周一（周一到周五）到周五）你每天下班（你每天下班（5：30）时等车都不会超过）时等车都不会超过10分分钟概率时多少？至少有钟概率时多少？至少有2天等车会超过天等车会超过10分钟的概率是分钟的概率是多少？多少？求求期望值和方差。期望值和方差。第二节第二节 超几何分布超几何分布 一、超几何分布一、超几何分布

12、 二项分布的适用有一个非常重要的条件，那就是独立实验，只有在大群体的情况下，这种独立实验的要求才能近似的得到满足。但如果研究对象不是社区、大群体，而是一个小群体，比如是一个班组或者一个科室等等，这时总体不大，一般最多只有几十个人。 假定总体分为两类A和非A，如果这是从总体中抽取n名，那么每个抽取对象出现A类的概率将不再恒定，也就是不满足二项分布所要求的独立实验的条件。 超几何分布将适合这类小群体研究小群体研究。 【例【例1】设小组共有】设小组共有10名成员，名成员，7男男3女。任抽女。任抽3名，问其中名，问其中男性的概率分布。男性的概率分布。 【解】根据题意有【解】根据题意有N10 男男7 女

13、女3 n3 定义：总体性质共分两类：定义：总体性质共分两类：A类与非类与非A类。总体总类。总体总数为数为N，A类类K个，设从总体中任抽个，设从总体中任抽n个个（nN-K），则），则n中含有中含有A类个数类个数X的概率分布为的概率分布为： 注意：（注意：（1）为什么是）为什么是nN-K？ （2）X的取值是的取值是n+1或者或者K1，取小的那个。，取小的那个。 二、超几何分布的数学期望和方差：二、超几何分布的数学期望和方差： 如果用如果用p=K/N q=1-p，则有：，则有： 【例【例1】以随机方式自】以随机方式自5男男3女的小群体中选出女的小群体中选出5人组人组成一个委员会，求该委员会中女性人数

14、的概率分布，成一个委员会，求该委员会中女性人数的概率分布，期望值和变异数。期望值和变异数。 【练习【练习1】班里学生】班里学生30名名,兄弟民族有兄弟民族有13名名,问任抽问任抽5名名,抽中兄弟民族人数的概率分布。抽中兄弟民族人数的概率分布。 解：解： 由题意由题意得得：N=30 ，K=13， n=5 ，X有有6个取值，代入超个取值，代入超几何分布公式：几何分布公式： 超几何分布适合小群体研究，但如果群体规模逐超几何分布适合小群体研究，但如果群体规模逐渐增大，以致抽样个体间的改变可以忽略不计，渐增大，以致抽样个体间的改变可以忽略不计，这时也可以采用二项分布来讨论。且两种分布计这时也可以采用二项

15、分布来讨论。且两种分布计算的结果应该是逐渐的接近。数学上也可以证明，算的结果应该是逐渐的接近。数学上也可以证明，当当N很大（很大（N）时超几何分布将趋向于二项分）时超几何分布将趋向于二项分布。布。第三节第三节 泊松分布泊松分布（Poisson Distribution） 一、一、泊松分布泊松分布 泊松分布泊松分布是由法国数学家泊松是由法国数学家泊松Simeon Denis Poisson提出的，提出的，Poisson对于对于小概率事件小概率事件特别着迷，特别是许多情特别着迷，特别是许多情况下可能出现的事件。他研究了在那况下可能出现的事件。他研究了在那个骑兵仍旧骑马而不是用坦克的时代个骑兵仍旧骑

16、马而不是用坦克的时代里普鲁士士兵被马踢死的人数的数据。里普鲁士士兵被马踢死的人数的数据。他的成果发表于他的成果发表于1837年。年。 泊松利用二项分布的公式推导出泊松分布的公式：泊松利用二项分布的公式推导出泊松分布的公式： x0，1，2，。，。 (e=2.718) 泊松分布只有一个参数泊松分布只有一个参数，确定了，确定了，就确定了泊，就确定了泊松分布。松分布。二、泊松分布的二、泊松分布的性质性质 （1）泊松分布随机变量）泊松分布随机变量X的取值为的取值为0和一切正整数。比如和一切正整数。比如被马踢死了几个人。被马踢死了几个人。 （2）泊松分布图形是非对称的，但是随着）泊松分布图形是非对称的，但

17、是随着的增大，图形的增大，图形将变得接近对称。将变得接近对称。 （3）泊松分布的数学期望和方差：）泊松分布的数学期望和方差： E(X)= D(X)= 泊松分布的这个性质很重要，在泊松分布的这个性质很重要，在N较大，较大，p较小的情况下，较小的情况下，我们只要确定了我们只要确定了X的期望值（出现概率最大的那个值）实的期望值（出现概率最大的那个值）实际上就是际上就是,这时就可以确定这个随机变量的分布了。这时就可以确定这个随机变量的分布了。 【例例】见张彦教材见张彦教材P131，发生在，发生在18751894年普年普鲁士军队中，鲁士军队中，10个师团被马踢死士兵的事故记录个师团被马踢死士兵的事故记录

18、如下表。试与泊松理论分布相比较。如下表。试与泊松理论分布相比较。 分析：分析： 要了解泊松分布的理论分布，必须要知道参数要了解泊松分布的理论分布，必须要知道参数，根据泊松分布的根据泊松分布的非常重要的性质非常重要的性质= E(X) =D(X) ，如果我们知道了数学期望或者方差就可以知道如果我们知道了数学期望或者方差就可以知道了。了。 【例例】已知任抽一张卡片，上面的错字数服从泊已知任抽一张卡片，上面的错字数服从泊松分布。现在有松分布。现在有1000张卡片，一共有错字张卡片，一共有错字300个，个，求所抽卡片上错字数的概率分布。求所抽卡片上错字数的概率分布。 【解】X一张卡片上的错字数， x=0,1,2,.300，= E(X), 平均每张卡片上出现的错字数实际上是X的期望