第8章导行电磁波

1、第八章 导行电磁波 第八章第八章 导行电磁波导行电磁波 8.1 沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析8.2 矩形波导矩形波导8.3 圆柱形波导圆柱形波导8.4 波导中的能量传输与损耗波导中的能量传输与损耗8.5 同轴线同轴线8.6 谐振腔谐振腔 第八章 导行电磁波 8.1 沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析沿均匀导波装置传输电磁波的一般分析 8.1.1 在导波装置中电磁场纵向场分量与横向场分量间的关系在导波装置中电磁场纵向场分量与横向场分量间的关系 在无耗的媒质中电磁波沿+z方向传输，则对于角频率的正弦电磁波，它满足无源区域的麦克斯韦方程： 00EHHjEEjH

2、第八章 导行电磁波 采用广义坐标系(u1, u2, z)，其中u1和u2为导波装置横截面上的坐标，z为纵向坐标。场强的纵向分量用Ez(u1, u2, z)和Hz(u1, u2, z)来表示，场强的横向分量用Et(u1, u2, z)和Ht(u1, u2, z)表示，则场强矢量可表示为 ztztztztHHzuuHzuuHzuuHEEzuuEzuuEzuuE),(),(),(),(),(),(212121212121第八章 导行电磁波 ttzztzttttzztzttHjzEeEHjEEjzHeHEjHztzzttztzzttEejHzHzkHejEzEzk222222第八章 导行电磁波 0,

3、00, 022222222zzzzttttHkHEkEHkHEkE式中 为电磁波在无限媒质中的波数。由分离变量法可知，式(8 - 4b)中的Ez和Hz的解，可表示为f(u1, u)e-z的形式， 其中 称为导行电磁波的转输常数。这样横向场分量与纵向场分量间的关系可表示成 k22kkc)(1)(122ztztctztztctEzjHkEHzjEkE第八章 导行电磁波 将广义柱坐标系中的t算子代入，可得横向场分量的表达式为 112222222112112222222112111111112121uEhkjuHhkEuEhkjuHhkHuHhkjuEhkEuHhkjuEhkEzczcuzczcuzc

4、zcuzczcu第八章 导行电磁波 8.1.2 导行波波型的分类导行波波型的分类 1. 横电磁波横电磁波(TEM波波) 此传输模式没有电磁场的纵向场量，即Ez=Hz=0，由式(8-6)可知，要使Et和Ht不为零，必须有kc=0，即 zcjkjkk22,10, 00, 022tztttttttttEeHHHEE第八章 导行电磁波 2. 横电波横电波(TE波波)或磁波或磁波(H波波) 此波型的特征是Ex=0, Hz0，所有的场分量可由纵向磁场分量Hz求出。 3. 横磁波横磁波(TM波波)或电波或电波(E波波) 此波型的特征是Hz=0，Ez0，所有的场分量可由纵向电场分量Ez求出。 第八章 导行电磁

5、波 8.1.3 导行波的传输特性导行波的传输特性 1. 截止波长与传输条件截止波长与传输条件 导行波的场量都有因子e-z(沿+z轴方向传输)，=+j， 为传播常数。由前面的推导可知 222kkc 对于理想导波系统， 为实数，而kc是由导波系统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的不同， 2可能有下述三种情况： (1) 20，即=。此时导行波的场为 tjaxeeuuEE),(21 显然这不是传输波，而是沿z轴以指数规律衰减的，称其为截止状态。 (3) =0。这是介于传输与截止之间的一种状态，称其为临界状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这时由 所决定的频率(fc)和

6、波长(c)分别称为截止频率和截止波长，并且 22kkcccccckfkf2,2第八章 导行电磁波 其中 为无限介质中电磁波的相速，而kc称为截止波数，并有 /1vcck2这样导波系统传输TE波和TM波的条件为 ccff或截止条件为 ccff或对于TEM波，由于kc=0，即fc=0，c=，因此在任何频率下， TEM都能满足ffc=0的传输条件，均是传输状态。也就是说TEM波不存在截止频率。 第八章 导行电磁波 2. 波导波长波导波长 zggzkk222或在传输状态下，=j=jkz，22221kkkkkkccz将kc=2/c，k=2/=2/0 代入上式得 rr22121cczkk第八章 导行电磁波

7、 所以可得 rrcrrcg11/12002对于TEM波，c=， rrpg0第八章 导行电磁波 3. 相速、群速和色散相速、群速和色散(1) 相速。 21cprrcv对于TEM波(c)，有 rrpcvv(8 - 11a)第八章 导行电磁波 (2) 群速。群速是指一群具有相近的和kz的波群在传输过程中的“共同”速度，或者说是已调波包络的速度。从物理概念上来看， 这种速度就是能量的传播速度，其一般公式为 ddvg2222cczkkkk21cgvddv(8 - 11d)第八章 导行电磁波 可见，群速vgfc，为纯虚数，=j=jkz， 电磁波才可能在波导中沿+z方向传输。这种z方向传输常数为 22222

8、bnamkkkcz或写成 )(12kffkkcz 当工作频率低于截止频率时，即f1，这时击穿功率可减小到 brbrPP 事实上，波导的击穿功率还与其它因素有关。如波导内表面不干净，有毛刺或出现不均匀性等等，都会使波导的击穿功率进一步降低。为使波导能安全地工作，通常把传输线允许通过的功率Pt规定为 5131brtPP第八章 导行电磁波 8.4.2 波导的损耗和衰减波导的损耗和衰减 在考虑损耗的波导中，电磁波的传输常数是复数，即=+j=+jkz，此时电磁波的场矢量 )(2121)(2121),( ),(),( ),(zktjazzktjazzzeeuuHzuuEeeuuEzuuE式中E(u1，u2

9、)e-z和H(u1，u2)e-z是场矢量的振幅。显然电磁波每传输一个单位距离，场矢量的振幅是原来值的e-z倍，而电磁波所携带的功率则是原来值的e-2倍。设在z处通过波导横截面的功率为P，则传输一个单位距离所损耗的功率PL为 )1 (2aLePP(8 - 80)第八章 导行电磁波 在一般情况下，波导中任意横截面处的传输功率P总是远大于该处单位长度波导中损耗的功率PL，即PPL，这说明衰减常数1。在此种情况下，将e-2展成幂级数，并取前两项作近似， 则式(8 - 80)可简化为 PPL2由此可得衰减常数的近似表示式为 PPL2(8 - 81)第八章 导行电磁波 1. 波导内壁导体损耗引起的衰减常数

10、波导内壁导体损耗引起的衰减常数c 若要计算c，必须先计算传输功率P和损耗功率PL。由电磁场理论可知， 这两部分功率分别为 0*)(Re21)(Re21SttLSdSHEPdSHEP第八章 导行电磁波 dlHRPdSHZPtlSLSt22|2|2)/(|2|22mNdSHzdlHRapStltSc式中，Z为传输模的波阻抗，RS为金属材料的表面电阻。将式(8 - 84)和式(8 - 85)代入式(8 - 81)，可得 (8 - 84)(8 - 85)第八章 导行电磁波 202200020022221|2| )(2bHakaHdyHdxHHdlHzbxzylazxtbzzxlatHakabdxdyH

11、dSH022022222212110aababRaScTE第八章 导行电磁波 图图 8 - 16 矩形波导中矩形波导中TE10模的模的c特性曲线特性曲线 第八章 导行电磁波 2. 波导中填充介质的损耗引起的衰减常数波导中填充介质的损耗引起的衰减常数d 当波导中填充非理想介质时，介质中将损耗部分功率，使得电磁波在传输过程中衰减。波导中非理想介质引起的损耗包括两部分：一部分是由介质电导率不等于零，即0而引起的； 另一部分是由介质极化阻尼而引起的。 介质电导率不为零引起的衰减常数dc由传输常数的表示式可以导出，其dc为 21tanccrrdea第八章 导行电磁波 介质极化阻尼损耗引起的衰减常数de为

12、 21tancerrde式中tane=/称为介质损耗角正切。 以上的分析表明，对于空气填充的波导，其损耗是由波导壁有限电导率引起的，衰减系数=c；对于非理想介质填充的波导， 不仅有波导壁引起的损耗，而且还有介质引起的损耗，其衰减常数=c+dc+de。 第八章 导行电磁波 8.5 同同 轴轴 线线 图 8 - 17 同轴线的结构与坐标 第八章 导行电磁波 8.5.1 同轴线主模同轴线主模TEM波的性质波的性质1. 同轴线中的场方程同轴线中的场方程 01122222rrrr0222drdrdrdr该方程的一般解为 nrBB110第八章 导行电磁波 zjzjrerEEerEE00 将以及式(8 -

13、22d)代入式(8 - 22a)，可得到同轴线中TEM波的横向场分量为 式中E0是电场的振幅，是TEM波的波阻抗。 第八章 导行电磁波 2. 传输参数传输参数 设同轴线内、外导体之间的电压为U(z)，内导体上的轴向电流为I(z)， 则 20002)(1)(zjbazjreEdrHdlHzIeabnEdrEzU由特性阻抗的定义可知其特性阻抗Z0为 abnabnIUZr160120第八章 导行电磁波 其相移常数和相速vp分别为 rpvvk0 (v0=光速) 其波导波长(相波长)为 rpgfv2第八章 导行电磁波 3. 传输功率与衰减传输功率与衰减设z=0时，内、外导体之间的电压为U0， abnUE

14、100zjrerabnUE110zjerabnUH110第八章 导行电磁波 同轴线传输TEM波的平均功率： 02020222112212|21|21ZUabnUrdrEEPbatSt同轴线的功率容量Pbr可按下式计算： 0221ZUPbrbrabnaEUbrbr1Ubr与Ebr的关系： 第八章 导行电磁波 故功率容量的计算公式可写成 abnEaPbrrbr112022)/(1112mNpabnbaRSc)/(tan0mNprd第八章 导行电磁波 8.5.2 同轴线中的高次模同轴线中的高次模 ,.)2 , 1()(2)(nabnEmne 对于同轴线内的TE或TM高阶模来说，其截止波数kc所满足的

15、方程都是超越方程，严格求解是很困难的，一般采用近似的方法得到其截止波长的近似表达式。对于TM波， 最低波型为TM01，其截止波长c(E01)=2(b-a)。 当m0、n=1时，对于TE波，其截止波长为 ,.)2 , 1()()(1mmbaHme第八章 导行电磁波 最低波型为H11， 其截止波长为 )()(11baHc在m=0时，TE01模的截止波长为 )(2)(01abHc第八章 导行电磁波 8.5.3 同轴线尺寸的选择同轴线尺寸的选择 1. 保证同轴线中单模保证同轴线中单模(TEM)传输传输 为了保证在同轴线中只传输TEM波，其工作波长与同轴线尺寸的关系应满足 )()(11baHc第八章 导

16、行电磁波 2. 保证传输电磁波能量时导体损耗最小保证传输电磁波能量时导体损耗最小 为了保证获得最小的导体损耗，将c表达式(8-100a)中b保持不变，对a求导并令 ，可求得c取最小值时b/a的比值为 0/ac59. 3ab此尺寸相应空气同轴线的特性阻抗约为77 。 第八章 导行电磁波 3. 保证同轴线具有最大的功率容量保证同轴线具有最大的功率容量 为了保证获得最大的功率容量，可将Pbr的表达式(8-99)中b保持不变，对a求导并令 ， 可求得Pbr取最大值时b/a的比值为 0/aPbr65. 1ab此尺寸相应空气同轴线的特性阻抗约为33。 第八章 导行电磁波 8.6 谐谐 振振 腔腔 8.6.

17、1 空腔谐振器的一般概念空腔谐振器的一般概念 图 8 - 18 集总参数LC电路向空腔谐振器过渡 第八章 导行电磁波 1. 谐振波长谐振波长0 空腔谐振器的谐振波长0是指在空腔谐振器中工作模式的电磁场发生谐振时的波长。这时谐振器内的电场能量的时间平均值与磁场能量的时间平均值相等。谐振波长0取决于谐振器的结构形式、尺寸大小和工作模式。f0=v/0(空气填充时， v为自由空间的光速)称为谐振频率。 第八章 导行电磁波 2. 固有品质因数固有品质因数Q0 品质因数Q是空腔谐振器的另一个重要参数。它表征了空腔谐振器的频率选择性和谐振器能量损耗，其定义为 LPWQ00系统中每秒的能损耗系统中的平均储能一

18、个与外界没有耦合的孤立空腔谐振器的品质因数称为固有品质因数，以Q0表示。对孤立的空腔谐振器，式(8 - 101)中系统中每秒的能量损耗仅包括空腔谐振器本身的损耗， 如导体损耗和介质损耗等。 (8 - 101)第八章 导行电磁波 当场量用瞬时值定义时，总储能的时间平均值为 dVHdVEW21212121式中1为谐振器内部介质的介电常数，1为介质的磁导率，V为谐振器的体积。对于孤立的金属空腔谐振器，其损耗主要来自导体壁的损耗，所以PL为 dSHRdSRJPStSSSSL222121第八章 导行电磁波 StSVdSHRdVHQ22100由于 21SR所以式(8 - 104)也可以写成 (8 - 10

19、4)StVdSHdVHQ2202第八章 导行电磁波 8.6.2 矩形空腔谐振器矩形空腔谐振器 图 8 - 19 矩形波导谐振腔 第八章 导行电磁波 1. 谐振频率谐振频率 矩形波导谐振腔内的场分量可由入射波和反射波叠加来求得。),(),(0zjkzjkzzeAeAyxEzyxE式中，E0(x, y)为该模式横向电场的横向坐标函数，A+、A-分别为正向和反向行波的任意振幅系数。TEmn和TMmn的传输常数为 2220bnamkkz式中， ，和是腔体内填充介质的磁导率和介电常数。 0k第八章 导行电磁波 将z=0处的边界条件Et=0代入式(8 -106)，得到A+=A-，再将z=l处的边界条件Et

20、=0代入式(8 - 106)，可得E(x, y, l)=-E0(x, y)2jA+sinkzl=0，由此可得 ), 3 , 2 , 1(plpkz2222lpbnamkmnp这表明， 谐振腔的长度必须为半波导波长的整数倍。由此得矩形波导谐振腔的谐振波数为 第八章 导行电磁波 这样与矩形波导的模式相对应，矩形谐振腔可以存在无限多个TEmnp模和TMmnp模，下标m、n、p分别表示沿a、b、l分布的半驻波数。TEmnp模和TMmnp模的谐振频率为 222022lpbnamcvkfrrmnpomnp式中c为真空中的光速。最低的谐振频率或最长的谐振波长为谐振腔的主模。矩形波导谐振腔的主模是TE10p模

21、，其谐振频率为 22102lpacfrrp第八章 导行电磁波 2. TE10p模的固有品质因数模的固有品质因数Q0 zlpaxakEjHzlpaxZjEHzlpaxEEzTExysincoscossinsinsin00010矩形波导腔TE10p模的电磁场分量为 第八章 导行电磁波 图 8 - 20 TE101模的场结构 第八章 导行电磁波 TE10p模的电场储能为 202222220*16116)(410EablakZEabldVHHHHWTEVxzzxm第八章 导行电磁波 allapabllabpERdxdzyHyHdxdyxHdxdyzHRdxHRPSzxalzblxbaSStSL228|

22、 )0(| )0(|2| )0(|2| )0(|22|212222202022002002002)22(12)(3323322200allapbllapRbkalRWQSLm第八章 导行电磁波 一般情况下，矩形波导谐振腔的填充介质为干噪的空气，介质损耗不计。若填充的介质为有耗介质，其有耗介质引起的Q值为Qd， 其值为 tan1dQ式中，tan为介质损耗角正切。由腔体导体壁引起的Q值为Qc， 则总的固有品质因数Q0为 1011dcQQQ第八章 导行电磁波 例例8-1 用BJ48铜波导做成矩形波导谐振腔，a=4.775cm， b=2.215cm，腔内填充聚乙烯介质(r=2.25, tan=410-

23、4)，其谐振频率f0=5 GHz。若谐振模式分别为TE101或TE102，其要求腔长应为多少，并求出它们的无载Q值。 解解： 当用BJ48波导传输f0=5GHz的电磁波时，其波数k应为 1000208.1572mcfkrr得到谐振时的腔长l(m=1, n=0)为 22akpl第八章 导行电磁波 当工作在TE101模式时，其腔长应取为 cml204. 204775. 0)08.157(22当工作在TE102模式时，其腔长应取为 cml409. 404775. 0)08.157(222第八章 导行电磁波 铜的导电率=5.813107 S/m，则表面电阻为 201084. 12SR而 3 .2513

24、77r对于TE101模式： 3380cQ第八章 导行电磁波 对于TE102模式： 3864cQ对于TE101和TE102模式其介质损耗的Q值为 2500tan1dQ对于TE101模式： 14371110dcQQQ对于TE102模式： 15181110dcQQQ第八章 导行电磁波 8.6.3 圆柱形谐振腔圆柱形谐振腔 图 8-21 圆柱形波导谐振腔 第八章 导行电磁波 1. 谐振频率谐振频率 对于TE模： )sin()cos(cos)(21zkczkcmrkJAHzzcmmnz式中，kc=xmn/a, xmn是第一类m阶贝塞尔函数导数的第n个根。 利用边界条件 z=0和z=l处Hz=0，可得 ,.)2 , 1 , 0(, 01plpkczmn对于TM模，其纵向场分量为 )sin()cos(cos)(21zkczkcmrkJAEzzcmmnz第八章 导行电磁波 采用与TE模同样的方法可以确定： ,.)2 , 1 , 0(, 02plpkczmn在8.3节中，已经给出 220220axkkaxkkmnzmnmnzmn(TE模)(TM模)在谐振腔中， lpkzmn第八章 导行电磁波 所以谐振波数应为 220220axkkax