微波技术基础：Chapter3_2 规则金属波导

1、厦门大学信息科学与技术学院3.2 圆形波导厦门大学信息科学与技术学院圆形波导(circular waveguide)简称圆波导，是截面形状为圆形的空心金属管，如图所示，其内壁半径为a，与矩形波导一样，圆波导也只能传输TE和TM导波。圆波导的加工方便，具有损耗小和双极化特点，常用于要求双极化模的天线馈线中。圆波导段广泛用作各种谐振腔、波长计等。厦门大学信息科学与技术学院1. 圆形波导的导模在横截面内采用极坐标系，h1=1 ，h2=r。沿波导正z方向传播的导波场为，zjzzjtztzjzzjtzterHerzrHzrzrerEerzrEzrzr,0000zHzHHzEzEE厦门大学信息科学与技术学

2、院横-纵向场关系为，rEHrkjHErrHkjHrHErkjEHrrEkjEzzczzcrzzczzcr2222厦门大学信息科学与技术学院zzzzrrErHrEHrrrrEHHE00000000矩阵形式，2,222kkkctg10jr对有耗介质，厦门大学信息科学与技术学院 0002020202tHktHtEktEzcztzczt纵向场分量满足Helmholtz方程22222211rrrr0,10022222rHrEkrrrzzc厦门大学信息科学与技术学院边界条件0,0arrETE导波0,0arzrETM导波厦门大学信息科学与技术学院(1) TE模(TE mode)0,00zjzzzezrHzr

3、HE此时 rRrHz,0令 22222221ddrkdrrdRrRrdrrRdrRrc则厦门大学信息科学与技术学院引入分离变量常数2k 2221kdd 0222kdd则 0222222rRkrkdrrdRrdrrRdrc以及厦门大学信息科学与技术学院 0222kdd先考虑 kBkBsincos21一般解为,2 , 1 , 0 ,2,00mmrHrHzz考虑到圆对称性,必然有,2 , 1 , 0 ,mmk厦门大学信息科学与技术学院于是， 2 , 1 , 0 ,sincossincos21mmmBmBmB后一种表示形式考虑到了圆波导的轴对称性质，此时场的极化方向具有不确定性，导波场沿任一方向存在两

4、种可能，它们独立存在，相互正交，截止波长相同，构成同一导模的极化简并(polirization degenerate)模。 0222222rRkrkdrrdRrdrrRdrc再考虑，厦门大学信息科学与技术学院k为整数，则变为， 0222222rRmrkdrrdRrdrrRdrc考虑，厦门大学信息科学与技术学院一般解为， rkYArkJArRcmcm210rcmrkY圆波导中心处场应取有限值，因此02A厦门大学信息科学与技术学院场的纵向分量为，zjcmzemmrkBJAzrHsincos,1根据场的横-纵关系,zjcmcemmrkJBAkjzrEsincos,10,0arrE考虑边界条件,厦门大

5、学信息科学与技术学院则应有,0akJcm令mnu 0 xJm表示方程的根.本征值为，, 2 , 1 ,naukmncmnn=1n=2n=3m=03.8327.01610.174m=11.8415.3318.536m=23.0546.7069.970mnu厦门大学信息科学与技术学院场的纵向分量的基本解为，zjmnmmnzemmrauJHzrHsincos,一般解为，01sincos,mnzjmnmmnzemmrauJHzrH厦门大学信息科学与技术学院根据场的横-纵关系，可求得传输型TE导模的全部场分量为, 0 sincoscossin010122zmnztjmnmmnmnmnztjmnmmnmn

6、rEemmrauJHuajEemmrauJHrumajE厦门大学信息科学与技术学院01012201sincoscossinsincosmnztjmnmmnzztjmnmmnmnmnztjmnmmnmnmnremmrauJHHemmrauJHrumajHemmrauJHuajH厦门大学信息科学与技术学院上述分析结果表明，圆波导中可以存在无穷多种TE导模，以TEmn表示。场沿半径按Bessel函数或其导数的规律变化，波型指数n表示沿半径分布的最大值个数，场沿圆周方向按余弦或正弦函数形式变化，波型指数m表示沿圆周分布的整波数。TEmn导模的波阻抗kHEHEZrrTE厦门大学信息科学与技术学院TEmn

7、导模的传播常数，2222aukkkmncmnmn截止波长，mncuamn2截止频率，aukfmnccmnmn22厦门大学信息科学与技术学院例TE11模841. 111 u具有最小值ac41. 3最常用圆波导导模TE01模auc64. 1 ,832. 301厦门大学信息科学与技术学院(2) TM模(TM mode)0,00zjzzzezrEzrEH此时采用与TE模类似的类似的分离变量法，可以求得电场的纵向分量，zjcmmnzemmrkJEzrEsincos,厦门大学信息科学与技术学院考虑边界条件0,0arzrE则要求，0akJcm令mnu 0 xJm表示方程的根.本征值为，, 2 , 1 ,0,

8、1,2m ,naukmncmn厦门大学信息科学与技术学院n=1n=2n=3m=02.4055.5208.654m=13.8327.01610.174m=25.1358.41711.620mnu于是电场纵向分量的基本解和一般解为，01sincos,sincos,mnzjmnmmnzzjmnmmnzemmrauJEzrEemmrauJEzrE厦门大学信息科学与技术学院应用场的横-纵关系，可得传输型TM导模场的所有分量，01012201sincoscossinsincosmnztjmnmmnzztjmnmmnmnmnztjmnmmnmnmnremmrauJEEemmrauJErumajEemmrau

9、JEuajE厦门大学信息科学与技术学院0sincoscossin010122zztjmnmmnmnmnztjmnmmnmnmnrHemmrauJEuajHemmrauJErumajH结果表明，圆波导中可以存在无穷多种TM导模，以Tmn表示，波型指数m、n的含义与TE模相同。厦门大学信息科学与技术学院TMmn导模的波阻抗kHEHEZrrTMTMmn导模的传播常数，2222aukkkmncmnmn截止波长，mncuamn2厦门大学信息科学与技术学院截止频率，aukfmnccmnmn22如TM01模auc62. 2 ,405. 201厦门大学信息科学与技术学院总结(1) 圆波导中导模的传输条件是c

10、(工作波长)或者fcf (工作频率)；导模的截止也是由于消失模的出现。圆形波导中导模的传输特性与矩形波导相似。(2) 圆波导的导模存在两种模式简并现象：一种是TE0n与TM1n模简并；另一种是m不等于零时TEmn和TMmn模的极化简并。(3) 圆波导的主模是TE11，其截止波长最长；TM01模则为次主模。厦门大学信息科学与技术学院2. 三个常用模(1) 主模TE11模此时ac41. 3取sin解，相应的场分量为，zjccrerkJHrkjE1112cos厦门大学信息科学与技术学院zjczzjcczjccrzzjccerkJHHerkJHrkjHerkJHkjHEerkJHkjE11111121

11、11111sincossin0sin厦门大学信息科学与技术学院其场结构如图所示，由图可见，TE11模场结构和矩形波导TE10模场结构相似，实际应用中，圆波导TE11模便是由矩形波导TE10模来激励，将矩形波导的截面逐渐过渡成圆形，矩形波导TE10模便会自然地过渡变成圆波导TE11模。厦门大学信息科学与技术学院TE11模虽然是圆波导的主模，但它存在极化简并，当圆波导出现椭圆度时，就会分裂，如图所示，所以一般情况下不宜采用TE11模来传输微波能量和信号。这也是实际应用中不用圆波导而采用矩形波导作微波传输系统的基本原因。不过，利用TE11模的极化简并可以构成一些双极化元件，如极化分离器、极化衰减器等

12、。厦门大学信息科学与技术学院TE11模圆波导的传输功率，akJukHdrrdrkJkrkJrkHdrrdHEHEdrdzPccaccccarrrar21211221111020212221222211110200201112 sincos12 Re21 Re21 HE厦门大学信息科学与技术学院有限导电率金属圆波导单位长度功率损耗为，akJakHaRadHHRadRPccszsssl2124211211202222012 22JTE11模圆波导的导体衰减常数，)Np/m( 12211221111ukkakRPPccslc介质衰减常数，(Np/m) 2112tgkd厦门大学信息科学与技术学院(2)

13、 圆对称TM01模TM01模是圆波导的最低型横磁模，是圆波导的次主模，没有简并，其c=2.62a，令m=0,n=1，得TM01模的场分量，0405. 2405. 2405. 2405. 2405. 2101101101EHHeraJEajHeraJEEeraJEajEzrzjzjzjr厦门大学信息科学与技术学院场结构如图所示，具有如下特点：(1) 电磁场不沿极角方向变化，场分布具有圆对称性；(2) 电场相对集中在中心线附近，磁场则相对集中于波导壁附近；(3) 磁场只有极角分量，因而管壁电流只有z分量。因此TM01模特别适于作天线扫描装置的旋转铰链的工作模式。厦门大学信息科学与技术学院(3) 低

14、损耗TE01模TE01模是圆波导的高次模，其c=1.64a ，其场分量为，0832. 3832. 3832. 3832. 3832. 3101101101HEEeraJHHeraJHajHeraJHajEzrzjzzjrzj厦门大学信息科学与技术学院场结构如图所示，具有如下特点：(1) 电磁场沿极角方向不变化，亦具有轴对称性；(2) 电场只有极角分量，在中心和管壁附近为零；(3) 在管壁附近磁场只有z分量，故电流密度矢量只有极角分量。因此，当传输功率一定时，随频率增高，损耗将减小，衰减常数变小。厦门大学信息科学与技术学院 TE01模的低损耗特性，使它适合作毫米波长距离低损耗传输，与高Q值圆柱谐

15、振腔的工作模式。在毫米波段， TE01模圆波导的理论损耗约为TE10模矩形波导的1/41/8，但是TE01模不是圆波导的主模，使用时需设法抑制其他的低次传输模。例求半径为0.5 cm，填充r为2.25(tg=0.001)的圆波导前两个传输模的截止频率，设其内壁镀银，计算工作频率为13.0 GHz时50 cm长波导的dB衰减值。厦门大学信息科学与技术学院解前两个传输模是TE11和TM01 ，其截止频率分别为，(GHz) 31.1525. 2005. 02103405. 22(GHz) 72.1125. 2005. 02103841. 1280181101TM11TErcrcacufacuf显然，

16、当工作频率为13.0 GHz时该波导只能传输TE11模，其波数为，)m( 4 .40810325. 21013221890cfkr厦门大学信息科学与技术学院TE11模的传播常数，)(m 7 .176005. 0841. 14 .4081 -22211211 auk介质衰减常数为，(Np/m) 47. 07 .1762001. 04 .40822112tgkd银的导电率及其表面电阻， 029. 02 S/m, 1017. 67sR厦门大学信息科学与技术学院金属导体的衰减常数，(Np/m) 066. 012112211ukkkRcsc总的衰减常数，Np/m 536. 0dc50 cm长波导的dB衰

17、减值(dB) 33. 2lg20lg205 . 0536. 0eeLal厦门大学信息科学与技术学院厦门大学信息科学与技术学院3.3 同轴线厦门大学信息科学与技术学院同轴线(coaxial line)是由两根同轴的圆柱导体构成的导行系统，内导体外半径为a，外导体内半径为b，两导体之间填充空气(硬同轴线)或相对介电常数为的高频介质(软同轴线，即同轴电缆)。同轴线是一种双导体的导行系统，显然可以传输TEM导波，同轴线以TEM模工作，广泛用作宽频带馈线，设计宽带元件。但当横向尺寸与工作波长比拟时，同轴线中也会出现TE和TM模，它们是同轴线的高次模。厦门大学信息科学与技术学院1. 同轴线的TEM导波场采

18、用柱坐标系，对于TEM模，zjttzzezrzrzrHE,00EEE而，0zttHzjE厦门大学信息科学与技术学院于是引入标量位函数，,0rrttE因，0tE因此位函数满足Laplace方程，0,2rt在柱坐标系中，0,1,1222rrrrrrr厦门大学信息科学与技术学院设边界条件为，0, 0,Vba应用分离变量法，令 FrRr,代入Laplace方程， 0122dFdFdrrdRrrrRr厦门大学信息科学与技术学院上式要成立，每项必须等于常数即 22221kdFdFkdrrdRrrrRrr022kkr nBnAFsincosnk 周期性厦门大学信息科学与技术学院进一步考虑到边界条件不随极角变

19、化，所以位函数也不随极角变化，故必有，0n 0rkAF因此， 0drrdRrr DrCrRln其解为，厦门大学信息科学与技术学院因此，位函数为，21lnln,CrCADrCr代入边界条件，21210ln0,ln,CbCbCaCVa最后得到位函数的解，abrbVrlnln,0厦门大学信息科学与技术学院由此可求得横向电场为，abrVrrrrrrrrttln ,00E电场为，zjmzjjteEreabrVrerzrln,00EEabrVEmln0为电场振幅 k为传播常数厦门大学信息科学与技术学院横向磁场为，zjmzjzjteEeabrVerzzrln,1,00EH上式中厦门大学信息科学与技术学院2.

20、 传输特性(1) 相速度和波导波长对于TEM模kkcc, 0相速度rpcvv波导波长rg0c为自由空间光速0为自由空间波长厦门大学信息科学与技术学院(2) 特性阻抗同轴线内外导体的电位差，zjbarrbaabeVdrzrEVVV0,内导体上的总电流，zjzjaeIeabVadzrHI0020ln2,特性阻抗，)( ln602ln0ababIVZraab厦门大学信息科学与技术学院(3) 衰减常数同轴线的导体衰减常数为，(Np/m) 11ln2baabRsc介质衰减常数为，(Np/m) 2ktgd空气同轴线导体损耗最小的尺寸条件为，0ac591. 3ab此尺寸相应的空气同轴线特性阻抗为76.71。

21、厦门大学信息科学与技术学院(4) 传输功率同轴线上的功率流为，00212121IVdsdsPSrSHEHE此结果与电路理论结果相符。这说明传输线上的功率流完全是通过导体之间的电场和磁场而不是导体本身传输的。前述电场表达式表明，同轴线内导体附近的电场最强，由此可得击穿最大电压为，abaEVbrlnmax厦门大学信息科学与技术学院Ebr为介质的击穿场强，对于空气，V/m 1036brE空气同轴线的最大功率容量为，abEaZVPbrln20202maxmax似乎选用较大的同轴线(就相同的Z0而言，即对固定的b/a，采用较大的b和a)可增大功率容量，但这会导致高次模的出现，从而限制其最大工作频率。因此

22、对于给定最大工作频率fmax，存在同轴线的功率容量上限，厦门大学信息科学与技术学院2max122max0max108 . 5025. 0fEfcEPbrbr例如，10 GHz时无高次模的任意同轴线的最大峰功率容量约为520 kW。实用时，考虑到驻波的影响及安全系数，通常取Pmax值的四分之一作为实用功率容量。固定b不变，令0maxaP可得功率容量最大的尺寸条件，649. 1ab此尺寸相应的空气同轴线特性阻抗为30。厦门大学信息科学与技术学院3. 同轴线的高次模在一定的尺寸条件下，除TEM模以外，同轴线中也会出现TE模和TM模。实用中，这些高次模(higher-order mode)通常是截止的

23、，只是在不连续性或激励源附近起电抗作用。重要的是要知道这些波导模式，特别是最低次波导模式(the lowest-order waveguide-type mode)的截止波长和截止频率，从而避免这些模式在同轴线中传播。厦门大学信息科学与技术学院(1) TM模(TM mode)同轴线TM模的分析方法和圆波导TM模的分析方法相似。由于r=0不属于波的传播区域，故Ez解应为，zjcmcmzemmrkYArkJAEsincos21边界条件为，barEz, , 0厦门大学信息科学与技术学院于是得到，002121bkYAbkJAakYAakJAcmcmcmcm因此得到决定TM模本征值的方程为，bkYakYbkJakJcmcmcmcm这是一个超越方程，可用数值计算方法求得近似解，厦门大学信息科学与技术学院, 2 , 1