第二节二重积分的计算法(1)

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1一、 利用直角坐标计算二重积分二、 小结 思考题第二节第二节 二重积分的计算法（一）二重积分的计算法（一）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2【复习与回顾复习与回顾】(2)回顾一元函数定积分的应用回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积元素dxxAdV)( 体积为体积为 badxxAV)(在点在点x处的平行截面的面积为处的平行截面的面积为 )(xA(1)上节思考题上节思考题 ),(lim),(10 niiiiDfdyxf 0k代替代替0 ？不能

2、用不能用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3, bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续. .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 【X型区域的特点】型区域的特点】 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .1. 【预备知识预备知识】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域

3、)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D【Y型区域的特点】型区域的特点】穿过区域且平行于穿过区域且平行于x 轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如图如图3D2D1D在分割后的三个区域上分别都在分割后的三个区域上分别都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )则必须分割则必须分割. .321 DDDD由二重积分积分区域的可加性得由二重积分积分区域的可加性得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6(1).若积分区域为若

4、积分区域为X型域：型域：, bxa ).()(21xyx 0),( yxf且且设设为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以则则),(),( yxfzDdyxfD 2. .【二重积分公式推导二重积分公式推导】【方法方法】根据二重积分的几何意义根据二重积分的几何意义以及计算以及计算“平平行截面面积为已知的立体求体积行截面面积为已知的立体求体积”的方法来求的方法来求. .,0bax 0 xx 作作平平面面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7)(01x )(02x )()(000201),()(xxdyyxfxA badxxAV)( .),()

5、,()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 即得即得公式公式1 的的二二次次积积分分后后对对上上式式称称为为先先对对xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA ),()( )()(21 xxdyyxfxA ),( yxfzoyxz)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xyab0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8【几点小结几点小结】计计算算方方法法实实现现了了二二重重积积分分的的一一种种通通过过体体积积作作为为过过渡渡 , .)( 来求解来求解单积分单积分通过计算两次定积分通过计算两次定积分投影穿线法投影穿线法定限：

6、定限：二重积分的计算关键是二重积分的计算关键是 ).()(, :21xyxbxaDX baxxDdxdyyxfdxdyyxf),(),()()(21 aboxyDx)(1xy )(2xy abdx )(1x )(2x dy Ddyxf ),(),(yxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9).()( , 21yxydyc xyoD yx1 yx2 cd:).2(型型域域若若积积分分域域为为 Yy Ddxdyyxf),( . 的二次积分的二次积分后对后对即化二重积分为先对即化二重积分为先对yx3.【二重积分的计算步骤可归结为二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标

7、出边界线方程画出积分域的图形，标出边界线方程根据积分域特征，确定积分次序；根据积分域特征，确定积分次序；根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。 )()(21),(yydxyxf dcdy公式公式2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10【说明说明】(1)使用公式使用公式1必须是必须是X型域，型域， 公式公式2必须是必须是(2) 若积分区域既是若积分区域既是X型区域又是型区域又是Y 型区域型区域 , Dyxyxfdd),(为计算方便为计算方便, ,可可选择积分次序选择积分次序, , 必要时还可必要时还可交换积分次序交换积分次序.

8、 .则有则有yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干X- -型域或型域或Y- -型域型域. . 321DDDDoxy1D2D3DY型域型域.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束114. 【例题部分例题部分】【例例1】.2, 1,所所围围闭闭区区域域及及：由由其其中中计计算算xyxyDxydD 【解解】 看作看作X型域型域 xyxDX121: 21121212dxyxxydydxxydxxD 811)22(

9、213 dxxx12oxy y=xy=1Dx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12【解解】看作看作Y型域型域 221:xyyDY 21222212dyxyxydxdyxydyyD 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2Dy12机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13【例例2】. 1, 1,: ,122所所围围闭闭区区域域和和由由计计算算 yxxyDdyxyD 【解解】 D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1 122111xdyyxydx上上式式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy

10、 y机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14法法2 yxyDY111: ydxyxydy122111原式原式注意到先对注意到先对x 的积分较繁，故应用法的积分较繁，故应用法1 1较方便较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！注意两种积分次序的计算效果！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15【例例3】所所围围闭闭区区域域及及：由由其其中中计计算算2,2 xyxyDxydD 【解解】 D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交点先求交点(4,2) (1,-1) 2 2或或由由 xyxy机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回

11、 结束结束16法法1 221:2yxyyDY法法2 2212yyDxydxdyxyd 855 视为视为X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 则必须分割则必须分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 计算较繁计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17【小结小结】以上三例说明，在化二重积分为二次以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域序；既要考虑积分区域D的形

12、状，又要的形状，又要考虑被积函数的特性考虑被积函数的特性( (易积易积) )机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18D【例例1】【解解】围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束195.【简单应用简单应用】【例例4】 求两个底圆半径都等于求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的直交圆柱面所围成的立体的体积的体积V.【解解】xyzRRo 设两个直圆柱方程为设两个

13、直圆柱方程为,222Ryx 利用对称性利用对称性, , 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分, ,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为 DyxxRVdd822 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022 222Ryx222RzxD机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束20【例例5】 2, 2的的面面积积所所围围区区域域应应用用二二重重积积分分求求由由曲曲线线Dxyxy 【解解】 据二重积分的性质据二重积分的性质4（几何意义）（几何意义） Ddxdy 交点交点 22xyxy)

14、4 , 2( )1 , 1(， 221:2xyxxDX 212221)2( 2dxxxdydxxx 29 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束216.【补充补充】 改变二次积分的积分次序例题改变二次积分的积分次序例题【补例1】交换下列积分顺序 22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI【解】【解】 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,020:2211 xyxDX822 yx2D22yxo21D221xy 2 2280222:xyxDX21DDD 将将 :D视为视为Y型区域型区域 , 则则282yxy 20 y DyxyxfIdd),( 282d),(yyxyxf 20dy