用曲线积分求旋转曲面的面积

1、http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 1蜀南竹海http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 2 作为定积分的几何应用，旋转曲面作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。的面积一般是用定积分来计算。 本课件用对弧长的曲线积分来建立本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。求旋转曲面的面积的公式。 将曲线积分化为定积分可以得到计将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。算旋转曲面面积的定积分公式。http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小

2、湛6.2 定积分的几何应用 3先看特殊的情形先看特殊的情形旋转轴为坐标轴旋转轴为坐标轴http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 4 设设L是上半平面内的一条平面曲线。是上半平面内的一条平面曲线。 将将L绕绕x轴轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积旋转曲面的面积Ax。 我们用元素法来建立旋转曲面面积的我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。曲线积分公式。Lhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 5ds( , )x yL在曲线在曲线L的的(x,y)处取一弧微分处取

3、一弧微分 ds它到它到x轴的距离是轴的距离是 y （如图）。（如图）。该弧微分绕该弧微分绕x轴轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：旋转而成的旋转曲面的面积约为：2xdAsdy（面积元素）（面积元素）于是整个曲线绕于是整个曲线绕x轴轴旋转而旋转而成的旋转曲面的面积为：成的旋转曲面的面积为：2xxLLAsdAdyyhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 6命题命题1：上半平面内一条曲线：上半平面内一条曲线L绕绕x轴轴旋转旋转而成的旋转曲面的面积为：而成的旋转曲面的面积为：2xLy sAdds( , )x yyLhttp:/ June 30, 2012四

4、川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 7命题命题2：右半平面内一条曲线：右半平面内一条曲线L绕绕y轴轴旋转而旋转而成的旋转曲面的面积为：成的旋转曲面的面积为：同理同理x2yLx sAdds( , )x yLhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 8下面针对不同的曲线方程下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式得到熟悉的旋转曲面的面积公式http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 9直角坐标方程直角坐标方程http:/ June 30, 20

5、12四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 10:( ) ()L yy xaxbxy=f(x)bLa如果如果2( ) 1 )2(2bxaLyy xdsy xdxAL绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：21 ( )ysxdxd 则21 ( )(2)bxaAy xxy xdhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 11:( ) ()L yy xaxbxy=f(x)bLa如果如果21 ( )22byaLxxdsydxAxL绕绕 y轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：21 ( )ysxdxd 则21 (

6、)2byay xdxAxyhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 12参数方程参数方程http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 13:( ),( ) ()L xx tyy tatb L如果如果22 ( )( )( )22byaLdsx ty tdtyAytL绕绕 x轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：22 ( )( )x tytddst则22 ( )( )2( )bxax tyy tAtdtyxhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用

7、 14:( ),( ) ()L xx tyy tatb xL如果如果22 ( )( )( )22byaLdsx ty tdtxAxt则则L绕绕 y轴轴旋转的旋转曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：22 ( )( )x tytddst则22 ( )( )2( )byax tyx tAtdtyhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 15极坐标方程极坐标方程http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 16:( ) ()L ( ) 如果如果22( )( )sin22xLdyAds L绕绕 x轴轴旋转的旋转

8、曲面的面积为：旋转的旋转曲面的面积为：22 ( )( )dsd 则x22 ( )( )sin( )2xAd http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 17我们来推导一个有关曲线我们来推导一个有关曲线L的的形心形心(质心质心)和和旋转曲面面积旋转曲面面积之间的关系的定理：之间的关系的定理：古尔丁定理古尔丁定理Paul Guldin（古尔丁）（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity. http:/ June 30, 2012四川大学数学学

9、院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 18( , )x yL上半平面内一条上半平面内一条曲线曲线L绕绕x轴旋转而成的旋转轴旋转而成的旋转曲面的面积曲面的面积等于等于该曲线的该曲线的形心形心所经过的路程所经过的路程与与L的弧长的弧长s的乘积的乘积。12xLydAs证 由命题 y古尔丁定理古尔丁定理2Lsyd12Lssdsy 2sy 形心形心http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 19如果你很容易求得曲线如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。( , )x yLy形

10、心形心http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 20下面来看一般的情形下面来看一般的情形一般的曲线一般的曲线&一般的旋转轴一般的旋转轴http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 21 设设L是是xOy坐标平面内的一条曲线。坐标平面内的一条曲线。L在在直线直线 l 的一侧（如图）的一侧（如图） 。 将将L绕直线绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面，旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积求该旋转曲面的面积A。 我们用元素法来建立旋转曲面面积的我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。曲线积分公式

11、。Llhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 22ds( , )x yL在曲线在曲线L的的(x,y)处取一弧微分处取一弧微分ds它到直线它到直线 l 的距离是的距离是 ：该弧微分绕该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：旋转而成的旋转曲面的面积约为：2dAsdd于是整个曲线于是整个曲线L绕直线绕直线 l 旋转旋转而成的旋转曲面的面积为：而成的旋转曲面的面积为：2LLAddAdsd设直线设直线 l 的方程为的方程为 ax+by+c=0。22axbycdablhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何

12、应用 23222LAaxbysadcb命题命题3 曲线曲线L绕直线绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋转而成的旋转曲面的面积为：旋转曲面的面积为：ds( , )x yLdlhttp:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 24下面举几个例子来说明下面举几个例子来说明命题中的公式的应用命题中的公式的应用由于其中积分较难由于其中积分较难计算用数学软件计算用数学软件Maple完成完成http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 25例例1 求曲线求曲线y=x2(0 xx2;f:=(x,y)-2*x-y;a:=0:b

13、:=2:(2*Pi/sqrt(5)*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=(2*Pi/sqrt(5)*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);D22yx2yxwith(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);255d02()2 xx214 x2x255 37174816364( )ln 2164ln121788.5542306168.5542

14、30612http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 26例例2 求求y=x2 (0 xx2;f:=(x,y)-y-x+1;a:=0:b:=1:sqrt(2)*Pi*Int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b)=sqrt(2)*Pi*int(f(x,y(x)*sqrt(1+D(y)(x)2),x=a.b);evalf(%);D12yx2 d01() x2x114 x2x2 1532( )ln 2355961564ln12541125.4954841665.495484162http:/ June 30, 2012四川大学数学学院 徐小湛6.2 定积分的几何应用 27例例3