主成分分析法及其在SPSS中的操作

1、一、主成分分析基本原理概念：主成分分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。思路：一个研究对象，往往是多要素的复杂系统。变量太多无疑会增加分析 问题的难度和复杂性，利用原变量之间的相关关系，用较少的新变量代替原来较 多的变量，并使这些少数变量尽可能多的保留原来较多的变量所反应的信息，这样问题就简单化了。原理：假定有n个样本，每个样本共有p个变量，构成一个nXp阶的数据 矩阵，x11X12X1 pX21X22X2p记原变量指标为X1,X2,XXp,漏它们降维处理后的综合指标，即新变量为 Z1,Z2, Z3, , Zm(mWp),则Zilii

2、Xil12X2l1 p XpZ2l21X1l22X22 pXp系数lij的确定原则：zm lmlX1 lm2X2lmpXpz与Zj (iwj； i, j=1, 2,，m)相互无关；zi是X1,X2,XP的一切线性组合中方差最大者,Z2是与Z1不相关的Xi, X2,XP的所有线性组合中方差最大者；Zm是与Zi, Z2, ；Zm-1都不相关的Xi,X2, -XP ,的所有线性组合中方差最大者。新变量指标Zi, Z2,，Zm分别称为原变量指标Xi, X2,，XP的第i,第2, 第m主成分。从以上的分析可以看出，主成分分析的实质就是确定原来变量Xj (j=i, 2 , p)在诸主成分Zi (i=i,

3、2,，m)上的荷载lij ( i=i, 2,，m； j=i, 2 , p)。从数学上可以证明，它们分别是相关矩阵m个较大的特征值所对应的特征向量。ri pr2P二、主成分分析的计算步骤 i、计算相关系数矩阵riiri222rij (i, j=i, 2,，p)为原宓量rp右Xj的幅关系数,rj=rji,其计算公式为2、计算特征值与特如同展解特征方程排列(XkiXi)(Xkj Xj)ki)j)求出特征值，并使其按大小顺序2 eij分别求出对应于特征值的特征向量其中ej表示向量ei的第j个分量。3、计算主成分贡献率及累计贡献率ei(i1,2,L,源求=1,即贡献率:累计贡献率:k 1-P-k(i 1

4、,2,L, p)一般取累计贡献率达85%-95%勺特征值，k 1第m （m&p）个主成分。4、计算主成分载荷 _lij P（Zi,Xj）. i，（i,j 1,2，L，p）5、各主成分得分1, 2,印对应的第1、第2、Z11Z12z1mZ21Z22Z2m(i 1,2,L,p)三、主成分分析皆卉SPSSW勺操作1、指标数据选取、收集与录入（表1）表1沿海1 0个看市经济赳据地区GDP人均GDP农业墙加值T业 烟加值第三产业烟加值固定责产投资基本建设投资社会消熨拙零售息幅海关出口总棘地方财政收入过十545821300014883.31376.22258.41369529.02258.4123

5、.7399,7山东期瞅。116431390035025那L02288.71070.73181.92114610.2河北6076.69047950.21406.72092.61161.6597.119158345 93023天滓2022,62206883,9822.8960.0703.7况】.9941.4115.7171朝江苏10636.014597L 122.6353633兆7 22320H4L.33215.8384J643.7上海5408.840627S6.2219622755.81970.2779.32035.2320,5709,0新江7670.016570680.02356.53065.

6、02296-6】1瞅62S77-5294.2566.9福建4682.01J510663.01047.118SM)9S4-.5沿7.9166331717272.9广东)1770,015030102394224.6479H.63022.9127155013.61843.71202.0广西2437.25062591.4367.0995.7542.2352.71025.551186.72、Analyze 一Data Reduction -Factor Analysis 弹出 Factor Analysis对话框:表2 Factor Analyze对话框与Descriptive右子对话框此地区里出向tt

7、e士:“GDP XI/人均GDP阳OK :Paste !弛aor J合农业增加值陋电工业勤1值卜用i色第三产业将加倩广分固定资产投资区E金基本建设投赛W?W升硼蕾旦需点gSelesiionVaiabfeScores.HesetCancef ；Qpfartt”次r阐曲OtiM曲黑V £ciefhcien时SiiSicance lewefc-' MeimnMStatetics. I ,I in- r-thtmimiuimiiiirinaB iim»Jiiivariate descrptiwe.Q Hi溯 sckXionJ IjlVSfSi且叩田立joed Arit-im

8、age" KMO and BarlkN's rest of 泊抬西叩3、把指标数据选入 Variables 框，Descriptives: Correlation Matrix 框组中选中 Coeficients,然后点击 Continue,返回 Factor Analysis 对话框，单击 OK。注意：SPSS在调用Factor Analyze过程进行分析时，SPSS会自动对原始数据进行标准化处理，所以在得到计算结果后的变量都是指经过标准化处理后的变量，但SPSS并不直接给出标准化后的数据，如需要得到标准化数据，则需调用Descriptives过程进行计算。表3 相关系数矩

9、即Correlation NfctrixGDP人均GDP农业增加值工业增加值第三产业帽加值固定费产投镣本设资SB投社会消普品事售后就海美 出口 总蒯才政人 地财收GDP1.000-0.094-00520.5670&790 92J0.9220 9410.6370.826人均GDP-0.094000-0.1710,1130.07402J40 093-0.0430.0810.273电业娟加伯-0.052-0 171LOOO-0.132-0 054)-0.09®-0.1760 0B-0 125&6匚业增加值0 9670.113-01321.W0O.9S50 9630.9390

10、9350.7050.S98第三产业增加电0.9790.074-0 0500.98500009730 9400 9620.7140 913周定贵产假便0.9230.21430弼09630.731.0000.9710.9370.7170.934基本建没设瓶05220 093-0.17609390即0 9711.0000.3970.6240.$4S社会消快品军售尊题0.941-0 0430.0130.9350.9620.9370.8971.0000.8360.929梅美出口苞颗0 6370 081-0.1250.70i0.714071706240 8361.0000.S82地方时政收入0 8260.

11、273-0.0860 8980.?130.934o.m0.9290.E&21.00。S型ImhaD Ei匿nvahi旌ExmcGaoiL Suuk of Sqwed LoadingToed00 uf Ijirinnr?CumuJAtn 售 MTcnal/ (rf Vanaisce1Z22O72.20572,2057.22072.2057220521.33512346BJ 5511.23512,346845513。仃；8.76993.31940.5475.46fi98 78650.0850.85499.64060.0210.21199 85070.0120.L 1999.970-80(X

12、)2001S始射&90.0010012100.000100.OTQ0.000100,000表4 省差分解十:战分提取分析表Tcrfjil VhmMiice Explan昵dExtnichixi. 心Elupd ftinripal CbnnjKcientComponent12GDP口目的0495人均GDP0:112-0.S24我业增加假-0.1090.677工业虏却但0.9TB-0.005第主产业墙加值0.9B60.070固定费产投凄o.sei-0.06S基本建/投选0.947-0.024社会消犹品零售息施0.977Q.176麻美出口感颗0 8W 0Q5地方财政收入0 954-0.128

13、表5 初蛤因子做荷矩降CornMiieikE Xfatris1Emi嵋敏机 Mrttwd Pnnripal Ctanffflnetil Anal”代 m 2 CXETXXlFDtS Edplddl从表3可知GDP与工业增加值,第三产业增加值、固定资产投资、基本建设投 资、社会消费品零售总额、地方财政收入这几个指标存在着极其显著的关系，与海关出口总额存在着显著关系。可见许多变量之间直接的相关性比较强，证明他 们存在信息上的重叠。主成分个数提取原则为主成分对应的特征值大于1的前m个主成分。特征值在某种程度上可以被看成是表示主成分影响力度大小的指标，如果特征值小于1,说明该主成分的解释力度还不如直接

14、引入一个原变量的平均解释力度大，因此一般可以用特征值大于1作为纳入标准。通过表4（方差分解主成分提取分析）可 知，提取2个主成分,即m=2,从表5（初始因子载荷矩阵）可知GDR工业增加 值、第三产业增加值、固定资产投资、基本建设投资、社会消费品零售总额、海 关出口总额、地方财政收入在第一主成分上有较高载荷，说明第一主成分基本反 映了这些指标的信息；人均GDP和农业增加值指标在第二主成分上有较高载荷, 说明第二主成分基本反映了人均 GDP和农业增加值两个指标的信息。所以提取 两个主成分是可以基本反映全部指标的信息，所以决定用两个新变量来代替原 来的十个变量。但这两个新变量的表达还不能从输出窗口中

15、直接得到，因为“Component Matrix”是指初始因子载荷矩阵，每一个载荷量表示主成分与对应 变量的相关系数。用表5（主成分载荷矩阵）中的数据除以主成分相对应的特征值开平方根便得到 两个主成分中每个指标所对应的系数。将初始因子载荷矩阵中的两列数据输入 （可用复制粘贴的方法）到数据编辑窗口（为变量B1、B2）,然后利用“Transform f Compute Variable"，在 Compute Variable 对话框中输入 “ A1=B1/SQR 注：第 二主成分SQR后的括号中填，即可得到特征向量Ai（见表6）。同理，可得到特征 向量A2o将得到的特征向量与标准化后的数

16、据相乘，然后就可以得出主成分表达 式注：因本例只是为了说明如何在 SPSS进行主成分分析，故在此不对提取的主 成分进行命名，有兴趣的读者可自行命名。F1=0.353ZXi -H3.042ZX： -0.041ZX3 +0.364ZX4 + 0367ZX.m366ZX, +0,352ZX? +0,3643 +0298本 + 0.3 55ZXioF: =0.175ZX -0.741ZX： +0.609ZX，- 0.004Z + 0.063ZX< -O.OfilZX, -0.022ZX? +0A58ZX8 - 0.046ZX,- 0.1150蚓由§ anabih:Compute Var

17、iable 对话植Ntfrtrt E*pm'c,''8 降口Hi二* B1- f B? ASYlle:(IQ3 elec! *附目所走即I! I QfFNgMlzvi 此 ICDF.BEFtNOUtUtaiir. I飞总 CWlLSl标准化：通过 AnalyzeDescriptive Statisticsf Descriptives 对话框来实现：弹出 Descriptives 对话11后，把 Xi Xi0 选入 Variables 框，在 Save standardized values as variables前的方框打上钩，点击“OK”，经标准化的数据会自动填入数

18、据窗口 中，并以Z开头命名。表 7 Descriptives 对话框ji*Tiar* dJfbd' «*'以每个主成分所对应的特征值占所提取主成分总的特征值之和的比例作为权重 计算主成分综合模型，即用第一主成分F1中每个指标所对应的系数乘上第一主 成分F1所对应的贡献率再除以所提取两个主成分的两个贡献率之和，然后加上第二主成分F2中每个指标所对应的系数乘上第二主成分F2所对应的贡献率再除以所提取两个主成分的两个贡献率之和，即可得到综合得分模型：F=0.327ZX:- 0.072次PO54ZX0310Z5G也签3空十03042X2 9 7ZX7-K).334ZX+0,248ZX.-HJ286ZXk,根据主成分综合模型即可计算综合主成分值,并