复变函数第五章留数第一节孤立奇点

1、第一节第一节 孤立奇点孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考2一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心邻域的某一去心邻域 00zz内处处解析内处处解析, 则称则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.注意注意: : 孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.3例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zz

2、zf1sin)(2 的奇点特性的奇点特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因为因为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在的奇点存在, 函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以4孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点1可去奇点可去奇点; 2极点极点; 3本性奇点本性奇点.如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 0zz 0z)(zf那末孤立奇点那

3、末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.1) 定义定义5其和函数其和函数)(zF为在为在0z解析的函数解析的函数. 000, )()(zzczzzFzf说明说明: (1),)(0的的孤孤立立奇奇点点若若是是zfz.)()()(0010 nnzzczzcczf)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz ,)(00czf (2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, )(zf0z补充定义补充定义则函数则函数在在0z解析解析.)(zf6 2) 可去奇点的判定可去奇点的判定(1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负0z)(zf在在如果如果幂项则幂项则0z为为)(zf的可去奇点的可去

4、奇点.(2) 判断极限判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.7如果补充定义如果补充定义:0 z时时, 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含负幂项中不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点 . 8例例4 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点的可

5、去奇点.为为zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 92. 极点极点 1012020)()()()( zzczzczzczfmm)0, 1( mcm )(010zzcc, )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1) 定义定义 0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项, 10说明说明: 20201)()()(zzczzcczgmmm1.内内是是解解析析函函数数在在 0zz2.0)(0 zg特点特点:

6、(1)(2)的极点的极点 , 则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函数有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二级极点是二级极点, 0 z2 z是一级极点是一级极点.112)极点的判定方法极点的判定方法)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 由定义判别由定义判别(2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(3) 利用极限利用极限 )(lim0z

7、fzz判断判断 .12课堂练习课堂练习求求1123 zzz的奇点的奇点, 如果是极点如果是极点, 指出它的指出它的级数级数.答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函数数的的一一级级极极点点所所以以 z.1是是函函数数的的二二级级极极点点 z,)1)(1(12 zz13本性奇点本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim

8、0zfzz不存在且不不存在且不为为. 为为本本性性奇奇点点，所所以以0 z同时同时zze10lim不存在不存在.14综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)( zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为15二、函数的零点与极点的关系二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zz

9、zzfm )(z 0z其中其中在在, 0)(0 z 解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点.例例6的一级零点，的一级零点，是函数是函数3)1()(0 zzzfz注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.)1()(13的三级零点的三级零点是函数是函数 zzzfz162.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:)()()(0zzzzfm 设设0)(zz 在在 的泰勒展开式为的泰勒展开式为:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在

10、在解析解析, 那末那末为为的的级级)(zf)(zfm0z如果如果为为的的级零点级零点)(zf; )1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn. 0)(0)( zfm17的的泰泰勒勒展展开开式式为为在在从从而而0)(zzf10100)()()( mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:);1, 2 , 1 , 0( , 0)(0)( mnzfn并且并且. 0!)(00)( cmzfm充分性证明略充分性证明略 .18(1)由于由于123)1( zzf知知1 z是

11、是)(zf的一级零点的一级零点 .课堂练习课堂练习0 z是五级零点是五级零点,iz 是二级零点是二级零点.知知是是)(zf的一级零点的一级零点.0 z解解 (2)由于由于0cos)0( zzf答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:, 1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225)1()( zzzf的零点及级数的零点及级数 .求求193.零点与极点的关系零点与极点的关系定理定理如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点, 那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点. 反过来也成立反过来也成立.证证如果如果0z是是)(zf的的 m

12、 级极点级极点, 则有则有)()(1)(0zgzzzfm )0)(0 zg当当 时时 ,0zz )(1)()(10zgzzzfm )()(0zhzzm ( )h z. 0)(0 zh函数函数在在0z解析且解析且20由于由于, 0)(1lim0 zfzz只要令只要令, 0)(10 zf 那末那末0z)(1zf的的 m 级零点级零点. 就是就是反之如果反之如果 0z)(1zf的的 m 级零点级零点, 是是那末那末),()()(10zzzzfm 当当 时时,0zz ),()(1)(0zzzzfm )(1)(zz 解析且解析且0)(0 z 所以所以0z是是)(zf的的 m 级极点级极点.21说明说明

13、此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法. .例例8 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是. )2,1,0( kkz是孤立奇点是孤立奇点. kzkzzzcos)(sin因因为为的一级零点，的一级零点，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一级极点的一级极点.即即22),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二级极点不是二级极点,

14、而是一级极点而是一级极点.0 z是是3sinhzz的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问0 z是是21zez 的二级极点吗的二级极点吗?注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 .23三、函数在无穷远点的性态三、函数在无穷远点的性态1. 定义定义 如果函数如果函数)(zf在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心邻域邻域 zR内解析内解析, 则称点则称点 为为)(zf的孤的孤立奇点立奇点.Rxyo24令变换令变换:1zt 规定此变换将规定此变换将: tfzf1)(则则映射为映射为 z, 0 t扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为)( nnzz)0(

15、1 nnntzt映射为映射为 zRRt10 映射为映射为),(t 25结论结论: 在去心邻域在去心邻域 zR内对函数内对函数)(zf的研究的研究在去心邻域在去心邻域Rt10 内对函数内对函数)(t 的研究的研究Rt10 因为因为 )(t 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇点的孤立奇点.规定规定: m级级极极点或本性奇点点或本性奇点 .)(t 的可去奇点、的可去奇点、m级极点或级极点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇点、的可去奇点、 那末就称点那末就称点261)不含正幂项不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂

16、项且mz为最高正幂为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇点可去奇点 ;2) m 级极点级极点;3)本性奇点本性奇点 .判别法判别法1 (利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)2.判别方法判别方法:)(zf zR在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果27例例10 (1)函数函数1)( zzzf在圆环域在圆环域 z1内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为: nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正幂项不含正幂项所以所以 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点 .(2)函数函数zzzf1)( 含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项

17、幂项,所以所以 z是是)(zf的的 1级极点级极点.28(3)函数函数zsin的展开式的展开式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以 z是是)(zf的本性奇点的本性奇点.课堂练习课堂练习.0,是本性奇点是本性奇点是一级极点是一级极点 zzzezzf1)( 的奇点及其的奇点及其类型类型.说出函数说出函数答案答案29判别法判别法2 : (利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限)(limzfz1)存在且为有限值存在且为有限值 ; 2)无穷大无穷大; 3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇点可去

18、奇点 ;2)m级极点级极点 ;3)本性奇点本性奇点 .30例例11 函数函数332)(sin)2)(1()(zzzzf 在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点? 如果是极点如果是极点, 指出它的级指出它的级.解解 函数函数)(zf除点除点2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin处均不为零处均不为零在在因因 zzz所以这些点都是所以这些点都是z sin的一级零点的一级零点,故这些点中除故这些点中除1, -1, 2外外, 都是都是)(zf的三级极点的三级极点. z内解析内解析 .在在31),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11级极点级极点的的是是与与zf )(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇点的可去奇点.为为一一级级零零点点，与与以以11 因为因为时，时，当当2 z3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 32时时，当当 z使分母为零，使分母为零，nn1, 0 z不是不是)(zf的孤立奇点的孤立奇点.所以所以,sin)2