定轴转动刚体的角动量守恒

1、第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律1第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律2质点系的角动量定理的微分形式：质点系的角动量定理的微分形式：dtLdMMii外外质点系的角动量的质点系的角动量的时间变化率时间变化率质点受外力矩质点受外力矩的矢量和的矢量和质点系的角动量定理的积分形式：质点系的角动量定理的积分形式：000LLLddtMLLtt 质点系所受质点系所受的冲量矩的冲量矩 质点系的角质点系的角动量增量动量增量某给定参考点某给定参考点成对成对相消，矢量相消，矢量和为零。和为零。内内内内外外外外

2、d第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律3 若各质点的若各质点的速度或所受外力与参考点共面速度或所受外力与参考点共面，则其则其只含正反两种方向，可设顺时只含正反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。针为正向，用代数和代替矢量和。000LLLddtMLLtt 由由质点系的角动量定理的积分形式：质点系的角动量定理的积分形式： 若：若：0 M则：则：0LL 或：或：恒恒矢矢量量 L第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律4角动量守恒定律角动量守恒定律 iiiiiiirmrmL)(2vOirim

3、ivJL z(所有质元的动量矩之和所有质元的动量矩之和)质点对点质点对点的的角动量：角动量：作圆周运动的质点作圆周运动的质点的的角动量：角动量：vmrprLmrrmL2sin 强调：强调：对于刚体的定轴转动，对于刚体的定轴转动，只能用角动量来描述，而不能只能用角动量来描述，而不能用动量来描述。用动量来描述。第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律5dtLddtJ(ddtdJMzz) )(zzLdJdt dM 122121 JJJddtMttz（角动量定理的积分形式）（角动量定理的积分形式）定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩，等于定轴转动刚体所受合外

4、力矩的冲量矩，等于其角动量的增量。其角动量的增量。（角动量定理的微分形式）（角动量定理的微分形式）第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律6 tJrmii2定轴转动的角动量定理：定轴转动的角动量定理：112221 JJtdMtt说明：说明： 当当绕某轴转动时，若其上各点（质元）绕某轴转动时，若其上各点（质元）转动的角速度相同，则转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量变形体对该轴的角动量为：为：定轴转动的角动量定理：定轴转动的角动量定理：1221 JJdtMttz第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒

5、定律7 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。 内力矩不改变系统的角动量。内力矩不改变系统的角动量。刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理1221 JJt dMtt0M常量常量 JL，则，则若若外外内内MM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量当刚体受到的合外力矩为当刚体受到的合外力矩为0 时，其角动量保持不变。时，其角动量保持不变。第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律81）刚体定轴转动的角动量守恒条件：）刚体定轴转动的角动量守恒条件：, 0 M合外力矩合外力矩当合外力不为当合外力不为 0 时

6、，时，合外力矩可以为合外力矩可以为 0。 F FFO当合外力为当合外力为 0 时，时，合外力矩不一定为合外力矩不一定为 0；2） 角动量守恒的两种情况：角动量守恒的两种情况：若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变。不变。JJLJ第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律9即刚体在受合外力矩为即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。保持静止，原来转动的将永远转动下去。 定轴转动的刚体，定轴转动的刚体， 不变，不变，J若若0 izM则则恒恒量量 JL不不变变，大小方向

7、都不变。大小方向都不变。比如：比如：可用在飞机、火箭、轮船上的定向装置，其可用在飞机、火箭、轮船上的定向装置，其转轴的方向始终不变。转轴的方向始终不变。例如：例如：地球所受的力矩近似为零，因而角动量守恒，地球所受的力矩近似为零，因而角动量守恒，其转轴总是指向同一方向，即指向北极星。地球自转轴的其转轴总是指向同一方向，即指向北极星。地球自转轴的方向与公转平面的垂线成方向与公转平面的垂线成 2327角。角。 地球在轨道上不同位地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律

8、10就就增增大大，减减小小时时，当当就就减减小小；增增大大时时，当当JJ 定轴转动的定轴转动的刚性物体刚性物体，如如花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。花样滑冰，跳水，芭蕾舞等。2211JJ角动量守恒，则有：角动量守恒，则有：保保持持不不变变从从而而J第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律11定轴转动的定轴转动的刚性物体刚性物体， J J2211JJ 即即第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律12张臂张臂先使自己转动起来先使自己转动起来收臂收臂大小大小第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5

9、.5 角动量守恒定律角动量守恒定律133）物体系的角动量守恒）物体系的角动量守恒 若系统由几个物体组成，各物体对同一个转若系统由几个物体组成，各物体对同一个转轴的角动量分别为轴的角动量分别为 ，332211,JJJ则则总角动量总角动量为：为： ，iiJ 比如：比如：当研究当研究时，可以把质时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受点和刚体看成一个系统，在碰撞过程中，系统所受的合外力矩为零，所以的合外力矩为零，所以系统的系统的守恒守恒。 只要整个系统受到的合外力矩为只要整个系统受到的合外力矩为0，则系统，则系统的总角动量守恒，即：的总角动量守恒，即： iiJ 恒量恒量第第5 5章章

10、 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律14 例如：例如：直升飞机直升飞机在未发动前总角动量为零，在未发动前总角动量为零，发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况，人们在机尾上的反向旋转。为了避免这种情况，人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼，由此产生水平安装一个在竖直平面旋转的尾翼，由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。 与此类似，与此类似，鱼雷鱼雷尾部采用左右两个沿相反方尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进，也是为了避免向转

11、动的螺旋浆来推动鱼雷前进，也是为了避免鱼雷前进中的自旋。鱼雷前进中的自旋。 安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪（也叫转仪（也叫“陀螺陀螺”）的导航作用，也是角动量）的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。守恒应用的最好例证。 角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。 第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律15万万向向支支架架基基 座座回转体回转体 （转动惯量（转动惯量 ）回转体质量呈轴对称分布；回转体质量呈轴对称分布；轴摩擦及空气阻力很小。轴摩擦及空气阻

12、力很小。合外力矩为零，合外力矩为零， 角动量守恒。角动量守恒。恒矢量恒矢量其中转动惯量其中转动惯量为常量。为常量。若将回转体转轴指向任一方向，若将回转体转轴指向任一方向，使其以角速度使其以角速度 高速旋转，高速旋转，则转轴将保持该方向不变，则转轴将保持该方向不变，而不会受基座改向的影响。而不会受基座改向的影响。回转仪定向原理回转仪定向原理第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律16直升飞机防止机身旋动的措施：直升飞机防止机身旋动的措施：用尾浆或用两个对转的顶浆用尾浆或用两个对转的顶浆第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动

13、量守恒定律角动量守恒定律17直升飞机防止机身旋动的措施直升飞机防止机身旋动的措施用用 两两 个个 对对 转转 的的 顶顶 浆浆（支奴干（支奴干 CH47)用用 尾尾 浆浆（美洲豹（美洲豹 SA300）（ 海豚海豚 ）装置尾浆推动大气产生装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消反向角动量而相互抵消第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律18第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律19自然界中存在多种守恒定律自然界中存在

14、多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2 能量守恒定律能量守恒定律2 角动量守恒定律角动量守恒定律2 电荷守恒定律电荷守恒定律2 质量守恒定律质量守恒定律2 宇称守恒定律等宇称守恒定律等第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律20o 1o 2例：例：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0，伸臂时，伸臂时臂长为臂长为 l1，收臂时臂长为，收臂时臂长为 l2。人站在人站在不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，不计摩擦的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量为每只手抓有质量为 m的哑铃。伸臂时的哑铃。伸臂时转动角速度为转动角速度为 1，求：求：收臂时的角速

15、度收臂时的角速度 2 。解：解：整个过程合外力矩为整个过程合外力矩为0， 角动量守恒，角动量守恒，2211JJ ,22101mlJJ22022mlJJ 2112JJ 转动惯量减小，转动惯量减小，角速度增加。角速度增加。第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律21例：例：匀质圆盘（匀质圆盘（M、R）与人（）与人（ m，视为质，视为质 点）一起以点）一起以角速度角速度 o 绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。 当此当此人从人从盘的盘的边缘走到边缘走到盘心时，盘心时，求：求：圆盘的角速度是多少？圆盘的角速度是多少？ 解：

16、解：系统（圆盘系统（圆盘 + 人）什么量守恒？人）什么量守恒？omRMR )21(22 221MR oMm )21( o系统角动量守恒：系统角动量守恒：第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律22解：解：两飞轮通过摩擦达到两飞轮通过摩擦达到共同速度，合外力矩为共同速度，合外力矩为0，系统角动量守恒系统角动量守恒。1J2J12JJJJ)(212211 212211JJJJ 共同角速度：共同角速度：例例两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分，角速度分别为别为 1 、 2，求：求：两飞轮啮合后共同的角速度两飞轮啮合后共

17、同的角速度 。第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律23解：解：1）杆杆 + 子弹：竖直位置，外力（轴子弹：竖直位置，外力（轴 O 处的处的 力和重力）均不产生力矩，力和重力）均不产生力矩， )32(313222lmMllmo 解得：解得：)43(6mMlmo 例：例：长为长为l、质量为质量为M 的匀质杆，可绕水平光滑固定轴的匀质杆，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 o射入杆上的射入杆上的A点，并嵌在杆中，点，并嵌在杆中，OA=2l/3，求：求：1）子子弹射入后瞬

18、间杆的角速度；弹射入后瞬间杆的角速度；2）杆能转过的最大角度杆能转过的最大角度 。故碰撞过程中故碰撞过程中角动量守恒：角动量守恒：m oOA 32l第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5 5.5 角动量守恒定律角动量守恒定律24222)32(3121 lmMl )lmglMg()l(mMl)lm(coso32232312321222 2）杆在转动过程，机械能守恒：杆在转动过程，机械能守恒：2lMg )mMlmo43(6 由前：由前：221 JEk 转动动能转动动能 cos32-cos2lmglMg 零势面零势面3l2mgm oOA 32l第第5 5章章 刚体的定轴转动刚体的定轴转动5.5