常微分方程—可降阶、解的结构

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A8.3 8.3 几种高阶微分方程的解法几种高阶微分方程的解法8.3.1 8.3.1 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程8.3.2 8.3.2 二阶线性微分方程二阶线性微分方程解的结构解的结构 8.3 8.3 几种高阶微分方程的解法几种高阶微分方程的解法8.3.1 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程()( )nyf x 模型模型1习例习例1-2模型模型2( ,)yf x y 习例习例3-4( ,)yf y y 习例习例5-68.3.2 二阶线性微分方程二阶线性微分方程模型模型3二阶线

2、性方程的定义二阶线性方程的定义 函数组的线性相关和线性无关函数组的线性相关和线性无关二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构习例习例8-10可降阶微分方程与二阶线性方程可降阶微分方程与二阶线性方程tFO,00tx模型模型1 1 质量为质量为m m的质点受力的质点受力F F的作用沿的作用沿OxOx轴作直线运动轴作直线运动, ,设力设力F F,)0(0FF随着时间的增大随着时间的增大, ,此力此力F F 均匀地减均匀地减小小,直到直到 t =T 时时 F(T) = 0.如果开始时质点在原点如果开始时质点在原点, ,且且初速

3、度为初速度为0,求质点的运动规律求质点的运动规律. 解解: : 据题意有据题意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtF仅是时间仅是时间t t的函数的函数: :F F = = F F ( (t t).).在开始时刻在开始时刻t = 0时时对方程两边积分对方程两边积分, , 得得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT一、可降阶的高阶微分方程一、可降阶的高阶微分方程 120)2(ddCTttmFtx利用初始条件利用初始条件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx两边再积分得两边再积分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02C得故所求质点运动规律为故所求质

4、点运动规律为)3(2320TttmFx0dd0ttx)()(xfyn令令,) 1( nyz)(ddnyxz则因此因此1d)(Cxxfz即即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过依次通过 n 次积分次积分, 可得含可得含 n 个任意常数的通解个任意常数的通解 ., )(xf21CxC1、 型的微分方程型的微分方程 01 xyxexyyy 求求方方程程满满足足时时，的的特特解解。.cose2xyx 求解求解例例1.例例2.例例1. .cose2xyx 求解求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy

5、2e81 1121CC 此处此处xsin21xC32CxCxcos21CxC例例 2130，所以，所以得得再由再由Cyx, 01 xyxexyyy 求求方方程程满满足足时时，的的特特解解。解解()dxyxex 21 2xxeC ，011,2 xyC 由由得得，所所以以22 2xxye ，2(2)d2xxyex 322.6xxexC 021,0 xyC 由由得得，所所以以32 ,6xxyex 3(2 )6xxyex dx 423.24xxexC 031,2xyC 再再由由得得，所所以以422.24xxyex 为为所所求求的的特特解解模型模型2. 作用而下垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线作用而下

6、垂，问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解解: 取坐标系如图取坐标系如图.考察最低点考察最低点 A 到任意到任意点点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: sg( : 密度密度, s :弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, 有有,cosHTMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 设有一均匀柔软的绳索，两端固定设有一均匀柔软的绳索，两端固定,绳索仅受重力绳索仅受重力T A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得HAyxO1tansa )1(lnshAr2ppp211yya , aO

7、A 设则得定解问题则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为原方程化为pdxad1两端积分得两端积分得,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有则有axysh两端积分得两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬悬 链链 线线a21pMsgTHAyxO),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为设其通解为),(1Cxp则得则得),(1Cxy再一次积分再一次积分, 得原方程的通解得原方

8、程的通解21d),(CxCxy2、例例3. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy例例4. 设有一均匀设有一均匀, 柔软的绳索柔软的绳索, 两端固定两端固定,绳索仅受绳索仅受 重力作用而下垂重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 例例. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得代入方程得pxpx2)1(2分离变量分离变量)1(d2d2xxxpp积分得积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用利用, 31C得于是有于是有)1(32xy两端再积分得两端再积

9、分得233Cxxy利用利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为因此所求特解为例例4. 绳索仅受绳索仅受重力作用而下垂重力作用而下垂,解解: 取坐标系如图取坐标系如图. 考察最低点考察最低点 A 到到sg( : 密度密度, s :弧长弧长)弧段重力大小弧段重力大小按静力平衡条件按静力平衡条件, 有有,cosHTMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有故有211yay 设有一均匀设有一均匀, 柔软的绳索柔软的绳索, 两端固定两端固定, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 任意点任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况弧段的受力情况: T

10、 A 点受水平张力点受水平张力 HM 点受切向张力点受切向张力T两式相除得两式相除得HAyxO1tansa 211yya , aOA 设则得定解问题则得定解问题: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 则原方程化为原方程化为pdxad1两端积分得两端积分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得则有则有axysh两端积分得两端积分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求绳索的形状为故所求绳索的形状为axaych)ee(2axaxa悬悬 链链 线线a21pMsgTHAyxO3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令令),(ypy xp

11、ydd 则xyypddddyppdd故方程化为故方程化为),(ddpyfypp设其通解为设其通解为),(1Cyp即得即得),(1Cyy分离变量后积分分离变量后积分, 得原方程的通解得原方程的通解21),(dCxCyy.02 yyy例例. 求解求解例例. 解初值问题解初值问题0e2 yy,00 xy10 xy例例. 求解求解.02 yyy代入方程得代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程)故所求通解为故所求通解为xCCy1e2解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd例例.

12、 解初值问题解初值问题解解: 令令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得代入方程得yppyded2积分得积分得1221221eCpy利用初始条件利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据根据ypxyedd积分得积分得,e2Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解为故所求特解为xye1得得当重力与弹性力抵消时当重力与弹性力抵消时, 物体处于物体处于 平衡状态平衡状态, 模型模型3. 质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,xxO解解:阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速

13、度下拉物体使它离开平衡位置后放开下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图建立坐标系如图. 设时刻设时刻 t 物体位移为物体位移为 x(t).(1) 自由振动情况自由振动情况.弹性恢复力弹性恢复力物体所受的力有物体所受的力有:(胡克定律胡克定律)xcf成正比成正比, 方向相反方向相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程.二、二阶线性微分方程二、二阶线性微分方程据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动

14、方程:0dd2dd222xktxntx阻力阻力txRdd(2) 强迫振动情况强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力若物体在运动过程中还受铅直外力作用，t pHFsin，令mHh 则得则得强迫振动方程强迫振动方程:t phxktxntxsindd2dd222n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为模型模型3的两个方程的的两个方程的共性共性 (二阶线性微分方程二阶线性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x 可归结为可归结为同一形式同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; 0)(xf时时, 称为齐次

15、方程称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy通解通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Yy0)(xf定义定义8.3.1)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这则称这 n个函数在个函数在 I 上线性相关上线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故

16、它们在任何区间 I 上都线性相关上都线性相关;又如，又如，,12xx若在某区间若在某区间 I 上上,02321xkxkk则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点 ,321,kkk必需全为必需全为 0 ,可见可见2,1xx故在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数1. 函数组的线性相关和线性无关函数组的线性相关和线性无关 1sin cos 22关关的的。线线性性相相在在任任何何区区间间上上均均为为与与证证明明： xx ) ,( 1 21时，有时，有，则当，则当取取 xcc 01sincos)1(sincos22222

17、1， xxxcxc 1sin cos 22线线性性相相关关的的。在在任任何何区区间间上上均均为为与与故故 xx结论结论 )()( 21上有定义。上有定义。在区间在区间、设函数设函数Ixyxy )()(11是是上上线线性性相相关关的的充充要要条条件件在在区区间间与与则则Ixyxy )(/ )( 21常数。常数。上上在区间在区间 xyxyI例例.证证朗斯基朗斯基 ( Wronsky ) 行列式行列式 )()( 21上有定义，且有一阶上有定义，且有一阶在区间在区间、设函数设函数Ixyxy )()()()( )(),(212121xyxyxyxyxyxyW )()( 21上的朗斯基行列式。上的朗斯基行

18、列式。在区间在区间、称为函数称为函数Ixyxy 导数，则行列式导数，则行列式朗斯基行列式可以推广到朗斯基行列式可以推广到 n 个函数的情形。个函数的情形。 0)(),( 21，若若IxxyxyW )()(21上上线线性性无无关关。在在，则则函函数数Ixyxy 例例 )2 , 0( 1 cossinsincos sin,cos。 xxxxxxxW )2 , 0( sin cos 上线性无关。上线性无关。在区间在区间与与故故 xx 2. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构定理定理8.3.1 叠加原理叠加原理是是二二阶阶齐齐线线性性微微分分方方程程和和若若 )(

19、 )( 21xyxy 0)()( yxqyxpy的解，则它们的线性组合的解，则它们的线性组合)()(2211xycxyc 也是方程也是方程 (2) 的解，的解，)2( ) ( 21。不一定相互独立不一定相互独立为任意常数为任意常数、其中其中cc )2( )()()( 2211中，得中，得，代入方程，代入方程令令xycxycxy ) )()()() )()(22112211 xycxycxpxycxyc)()()(2211xycxycxq )()()()()(22112211xycxycxpxycxyc )()()(2211xycxycxq )()()()()(1111xyxqxyxpxyc )

20、()()()()(2222xyxqxyxpxyc 000， )2( )()()( 2211的解。的解。为方程为方程即即xycxycxy 证证0)()()(1)1(1)( yxpyxpyxpynnnn ) ., 2 , 1 ( )( 阶齐线性微分方程阶齐线性微分方程是是若若nnixyi 的解，则它们的线性组合的解，则它们的线性组合 niiixycxy1)()(也是方程也是方程 (2) 的解。的解。 ) ( ) , 2 , 1 ( 。不不一一定定相相互互独独立立为为任任意意常常数数其其中中nici )2(在什么情况下，叠加所得可以成为方程在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？的通解？

21、定理定理 8.3.2)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, )()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为xCxCysincos21(自证自证) 推论推论. nyyy,21若是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC则

22、则3. 线性非齐次方程解的结构线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 8.3.3)()()(xfyxQyxPy 则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程左端代入方程左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例

23、如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程对应齐次方程0 yy有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕证毕因而因而 也是通解也是通解 .定理定理8.3. 4( ) (1,2)kyxk 设设分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程( )( )( )(1, 2)kyP x yQ x yfxk12yyy则则12( )( )( )( )yP x yQ x yfxfx的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理8.3.3和和 定理定理8.3.4 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次

24、方程阶线性非齐次方程. 定理定理 8.3.5)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解是方程是方程若若 )(i)(* 21xyxyy )(i)()()(21xfxfyxqyxpy )()()(1xfyxqyxpy 的一个特解。

25、的一个特解。 )( 1是方程是方程的一个特解，则的一个特解，则xy )( 2是方程是方程的一个特解；的一个特解；xy)()()(2xfyxqyxpy 定理定理8.3.6常数常数, 则该方程的通解是则该方程的通解是 ( ).321,yyy设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程)()()(xfyxQyxPy 的解的解, 21,CC是任意是任意例例;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCD例例. 已知微分方程已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x个解个解,e,e,2321xxyyxy求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .有三有三 例例10 设设是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求这个是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求这个微分方程微分方程.常数常数, 则该方